1、第 35 卷第 6 期大学物理实验Vol35 No62022 年 12 月PHYSICAL EXPEIMENT OF COLLEGEDec2022收稿日期:2022-07-24基金项目:教育部产学合作协同育人项目(202002281001);高等学校教学研究项目(DWJZW202142xn);教育部新工科项目(E-SXWLHXLX20202605);云南省“万人计划”教学名师专项(YNW-JXMS-2019-020)及云南师范大学本科线下一流建设课程 热学(2020 xxkc51)*通讯联系人文章编号:1007-2934(2022)06-0079-06基于智能手机的均质圆弧微振动研究杨祎图1，
2、邓招华2，杨琴1，冯洁1，刘应开1*(1云南师范大学 物理与电子信息学院，云南 昆明650500;2龙陵县河头初级中学，云南 保山678300)摘要:利用智能手机中 phyphox 软件和磁力计功能，将磁性小球固定在均质圆弧中心处，测得磁性小球的磁感应强度周期，即为均质圆弧的微振动周期，再把数据导入 origin 软件，绘制周期图像，计算均质圆弧微振动周期。并对理论值进行修正，测量结果与理论值符合得很好，其相对误差为 011%。此项工作对于利用智能手机开展复杂系统的微振动研究提供了有效的实验方法。关键词:均质圆弧;微振动周期;磁力传感器;磁性小球中图分类号:O 4-39文献标志码:ADOI:1
3、014139/jcnkicn22-1228202206017微振动与一般振动相比振动幅值较小，但是对精度较高的仪器和设备的影响却不可忽略。微振动的研究是振动工程领域内较为重要的一个方面，其研究的主要目的是要进行振动控制，以满足机械生产工作时的性能指标要求1。微振动是一个相对的概念，不能一概而论，以工程学中的微振动问题为例，一般较大振幅的振动，如地震引起的房屋振动、较大风荷载引起的结构振动等，这些振动有可能引发结构构件的变形甚至造成破坏，而微振动一般振动水平较低，引起的结构响应处于线性弹性阶段，但会影响一些精密设备和仪器的正常工作，如地铁运行经过周边低矮建筑时，很容易引发振动，这类振动一般不足以
4、造成破坏。从已有的文献及相关报告来看，对微振动的研究大多采用高精度光学仪器测量微振动振幅或者利用高精度传感器测量微振动振幅。工程学中微振动的研究采用激光干涉测量微振动振幅。多数研究是对微振动的振幅进行测量。然而在物理教学或习题中，对微振动研究主要体现在微振动的周期，如秋千的研究2，且主要集中在垂直于圆弧方向的摆动，对于沿圆弧方向的摆动则研究的不多。本文主要研究均质圆弧沿圆弧方向的一维微振动问题。考虑这一问题时，空气阻力和转轴处的摩擦对周期的影响较大。但是在摆角很小的情况下，空气阻力和转轴处的摩擦力对周期的影响极小，可以把均质圆弧的微振动看作一维的无阻尼振动。理论研究表明了:微振动周期与物体的质
5、量、转动惯量和物体质心到转轴的距离以及当地重力加速度有关，因为微振动振幅较小，不易观察，所以用智能手机的可视化来研究这一微振动的周期，从而对这一问题进行深入的研究和讨论。1理论原理将一段半径为 的均质圆弧两端用细线连接，在其圆心位置 O 点处固定一铁钉，使圆弧绕过 O 点并与弧面垂直的轴摆动，研究其微振动周期。设 l 为均质圆弧质心到转轴处的距离，I 为均质圆弧的转动惯量，M 为转动力矩，为角频率。由力矩公式得m?=I?f?(5)(1)M=mglsin(2)由转动惯量与力矩的关系得mglsin=I=Id2dt2(3)由于均质圆弧微振，摆角很小，sinId2dt2+mgl=0(4)d2dt2+m
6、glI=0(5)+mglI=0(6)故角频率=mglI(7)T=2=2Imgl(8)2设计实验21实验仪器实验仪器由均质圆弧(实验用的均质圆弧是圆的 1/3)、磁性小球、铁钉、细线、智能手机组成(图 1)。均质圆弧两端用细线连接，两段细线长度与圆弧半径相等，圆弧悬挂在固定好的铁钉上，用石蜡打磨细线和细线悬挂的铁钉部分，圆弧中心放置磁性小球并固定。选用 316 不锈钢制作均质圆弧，由于均质圆弧质量要比磁性小球质量大得多，其运动状态才符合复摆的运动，而其他材料，如塑料、铝合金，存在质量不能远大于磁性小球质量或者成本过高的问题，因而不宜采纳。图 1实验仪器22实验方案将智能手机安装好 phyphox
7、 软件，将其放置在准备好的均质圆弧的正下方。然后让均质圆弧摆动，摆角在 610。开始时圆弧的运动并非一维振动，存在着垂直圆弧方向的前后振动。经过3040 min 后，摆角小于等于 5时，圆弧的运动近似为一维振动。此时，打开手机中的 phyphox 软件，用内置的磁力计功能测量磁性小球的磁感应强度周期，取 25 个周期为一组，利用 origin 软件绘制周期图像，计算出均质圆弧微振动的周期数值，作误差分析。根据系统误差对理论值进行修正，最后将均质圆弧微振动周期的测量值与理论值比较，计算出相对误差，得出最后的结论。3实验步骤31测量均质圆弧和磁性小球的半径在均质圆弧上取两点，在两点作圆弧的切线，过
8、两点作两条切线的垂线，取两垂线相交的点为O，用直尺量出点 O 到其中一点的长度，得到均质圆弧的半径。量取 3 个数值计算平均值，且实验用的均质圆弧厚度为 3 mm，故内径 1=3608 cm，外径 2=3638 cm。游标卡尺测量出磁性小球的半径为 r=495 mm。32测量均质圆弧和磁性小球质量用电子秤测得均质圆弧质量为 M=27331 g，磁性小球质量为 m=386 g。33测量当地重力加速度 g用智能手机 phyphox 软件界面上的“含(g)的加速度”可以直接显示出当地重力加速度 g 的数值。其原理是:重力传感器不会扣除手机自身的重力，所以手机静止放置时，也能测量出当地重力加速度的值3
9、。取 3 个重力加速度数值，如图 2。计算平均值，获得当地重力加速度。(a)(b)08大学物理实验2022 年(c)图 2当地重力加速度g=973+974+9713=973 m/s2经查阅，实验室通过精确实验测量得的本地重力加速度为 9728 m/s2，与之对比，手机软件测得的本地重力加速度数值可取。34推导均质圆弧微振动周期理论式341均质圆弧对圆心轴的转动惯量半径为，厚度为d 的薄圆弧环，h 为均质圆弧的宽，为均质圆弧的密度，均质圆弧质量 M=13h(2 1)积分求解:dM=dV=23hd(9)dI=2dM=233hd(10)I=dI=21233hd(11)=16h 42 41()=16h
10、(22 21)(22+21)代入 M 得i1=12M(21+22)(12)置于均质圆弧上的磁性小球不可忽略，磁性小球对圆心轴的转动惯量为i2=m(1 r)2(13)均质圆弧和磁性小球对应同一转轴，据平行轴定理，均质圆弧和磁性小球整体的转动惯量为I=i1+i2=12M 21+22()+m(1 r)2(14)342均质圆弧质心到转轴的距离质心定义法得c1=ydmm=26sin2d2=22 cos2623=3 32(15)代入数据，均质圆弧质心到转轴处的距离rc1=0299 6 m磁性小球质心到转轴处的距离，由均匀的规则物体的质心即为几何中心直接得到 rc2=1r均质圆弧和磁性小球整体的质心到转轴的
11、距离C=Mc1+mc2M+m4(16)代入数据 rC=02992 m将(14)式和 rC代入(8)式中，得到均质圆弧微振动周期理论式t0=212M 21+22()+m(1r)202992(M+m)g(17)35用磁力计测量磁性小球磁感应强度周期用智能手机软件 phyphox 内的磁力计功能进行测量。将手机如图 1 水平放置，磁力计中的 X轴、Y 轴、Z 轴分别对应手机的窄边方向、长边方向和垂直于手机平面的方向。其中 Z 轴的磁感应强度与时间的图像只与磁性小球竖直方向的位移有关，与运动路径无关。由于磁力计本身存在于手机自身的磁场中，对测量外部磁场均有影响，使用前需要先校准磁力计。操作步骤为:打开
12、磁力计，点击右上方的 3 个小点，再点击“使用已校准的磁力计”，再开始测量5。测量磁场时注意将手机远离容易产生磁场的仪器和设备，如通电线圈等，以避免产生较大的测量误差。从均质圆弧摆角小于等于 5，做一维振动时打开磁力计开始记录，取 Z 轴图像导入数据，得到磁感应强度周期。4结果41用磁性小球磁感应强度周期计算均质圆弧微振动周期从均质圆弧摆角小于等于 5时开始计时，将智能手机 phyphox 软件中磁力计的测量数据导18第 6 期杨祎图，等:基于智能手机的均质圆弧微振动研究出，取 25 个周期为一组实验数据，使用 origin 软件绘制磁性小球磁感应强度周期图像，如图 3，图4，图 5。时间/s
13、图 3实验 1 磁场强度周期时间/s图 4实验 2 磁场强度周期时间/s图 5实验 3 磁场强度周期由于磁性小球的磁感应强度周期反映的是均质圆弧的微振动周期，计算各组实验的平均值，即磁感应强度周期图中相邻两个峰值的时间差值，就是均质圆弧微振动的周期。取多个周期为一组数据，再计算周期，可以减小取峰值时出现的随机误差，实验数据列入如表 1。表 1均质圆弧微振动周期实验25 个周期(25T/s)周期(T/s)133381335 2233351334 0333371334 8三组实验测量得到的周期平均值为:T=13352+13340+133483=1334 6 s42误差分析421均质圆弧微振动理论周
14、期数值根据公式(17)，可得均质圆弧理论值为 T0=1335 5 s421对均质圆弧微振动周期理论值进行修正本实验研究产生误差主要有系统误差和随机误差，根据本实验测量均质圆弧微振动周期的理论公式和实验条件以及测量方法。重点分析均质圆弧的摆角、空气阻力和转轴处的摩擦(复合阻力)对实验结果的影响6。圆弧运动时受到的空气阻力与圆弧大小、形状、运动状态有关7。转轴处的摩擦也有影响。但是由于空气阻力非常小，且转轴处用石蜡打磨细线和钉子转轴处部分。实验数据取均质圆弧摆动小于等于 5的微振动周期，取 25 个周期，由振动周期图像可知均质圆弧微振动可视为无阻尼振动。由复合阻力对复摆周期的影响 T=T 2h8m
15、gI和阻力系数=2Iltln018。测量出摆角从 5减小到 4的变化时间，计算复合阻力对均质圆弧微振动周期影响的数量级 106s，而智能手机 phyphox软件中磁力计对时间的测量精度为 104s。二者相差两个数量级，即复合阻力对均质圆弧微振动周期的影响不能明显体现出来。再利用 origin 软件拟合数据，从 25 个周期中取几个周期的峰值来绘拟合直线，如图 6 所示。时间/s(a)28大学物理实验2022 年(b)图 6磁感应强度峰值拟合从图 6 可看出，在 25 个周期时间范围内，磁感应强度没有发生明显的衰减，而磁感应强度周期反映了均质圆弧微振动周期，故可视为均质圆弧微振动在所取周期时间范
16、围内的振幅没有明显的衰减，因此忽略空气阻尼和转轴处摩擦，在 25个周期时间范围内，均质圆弧做无阻尼微振动。影响均质圆弧微振动周期的因素中，摆角对周期的影响通过理论计算，在时间的测量精度104s 就能明显得到体现。通过以上实际测量和理论计算，以及拟合图像分析，实验中影响均质圆弧微振动周期的因素是摆角大小，空气阻力和转轴处摩擦力可不予考虑。考虑摆角的均质圆弧微振动周期修正9。?=ddt(18)=12d?2d(19)将(19)式代入(3)式得12d?2d=2sin(20)(20)式两边积分得?2=220sind=22(cos cos0)(21)?=2(cos cos0)=2sin202 sin22(22)令 k=sin02，ksin=sin2，对时间 t 积分，设均质圆弧从最小振幅开始摆动得t=120dsin202 sin22=10d1 k2sin2(23)均质圆弧摆动到最大振幅时消耗了四分之一个周期时间，此时=0=5，=2，由(15)式得T4=120d1-k2sin2(24)(16)式是第一类勒让德椭圆积分10，模数为 k=sin02，解得T=2(1+14sin202+3282sin402