1、第 卷第 期 年 月广 州 化 工 .晶面表征中密勒指数的几何含义熊信柏，万学娟，马 俊，黎晓华（深圳大学材料学院，广东省功能材料界面工程技术研究中心，深圳特种功能材料重点实验室，深圳陶瓷先进技术工程中心，广东 深圳）摘 要：密勒指数，即晶面指数，是晶体学中的重要参数之一。现有教材仅给出了晶面指数的确定过程，未给出其背后的几何含义。本文从空间解析几何和向量代数分析入手，结合晶体点阵性质，给出了密勒指数能够表征晶面特征的原因，以方面学生理解和掌握这方面的教学内容。关键词：晶面指数；晶面；表征；几何含义；教学方法中图分类号：；文献标志码：文章编号：（）基金项目：广东省高等教育教学改革项目（）；深圳
2、大学教学改革项目（）。第一作者：熊信柏（），男，博士，教授，主要研究方向为陶瓷基复合材料。，（，）：，.，.，.，.：；晶面指数，又称为密勒指数，是晶体结构的主要常数之一，描述晶体中原子所处在的晶面特征，是晶体点阵教学体系中一项重要内容，在物理、物质结构分析起着举足轻重的重要作用。晶面指数为什么可以表征晶面，有的教材中并未予以解释，绝大数教材仅仅只是给出了它的确定方法，一般如下：（）在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相同；（）求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行，则在此轴上截距为无穷大；若该晶面与轴负方向相截，则在此轴上截距为一负值；（）取各截距的倒数；（）将三倒数
3、化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面的指数，记为（）。晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相互平行，且面间距相等的晶面的晶面。在这些晶面上，结点分布规律完全相同。除此之外，教材中并未给出更多晶面指数的数学或者物理学内涵。本文旨在借助空间平面几何和向量数学，解释晶面指数所代表的几何意义。晶面指数的几何含义要解释晶面指数可以表征晶面特征，首先必须知道晶面的几何特征是什么。根据空间点阵以及晶体结构规律，晶面是其由一组不同的等距平行平面构成。描述晶体中原子这种所处在的同一平面以及和其相互平行的平面，可以用两个特征数学量：晶面法向和晶面间距，来表示。下面我们用空间解析几何以及向量代数来
4、讨论为什么晶面指数可以反映晶面的这两个特征量。图 截距分别为 、的晶面 在正点阵三个基元方向，上的示意图.、首先，我们证明晶面的指数组成的向量 与该晶第 卷第 期熊信柏，等：晶面表征中密勒指数的几何含义 面垂直。设 平面是正点阵（其基元矢量为、）中平行晶面中距原点最近的平面，该面上原子所在的位置用坐标（，）表示，其在三个晶轴上的截距分别为 、，如图 所示，那么该平面可表示为：（）即：（）其中 表示离原点最近的平面。对于平面 上的两个任意点（，）和（，），有下列等式存在：（）（）（）（）写成点乘形式：（，）（，）（）由式（）可知，矢量 与晶面 的任意两点组成的线段垂直，所以该向量与晶面垂直。这说
5、明，指数 是可以反映晶面特征之一的。接着，我们需要阐明指数 与晶面 间距的关联性。由晶体点阵的性质可知，点阵中的阵点位于与任一个点阵面平行的所有平面内。所以，从原点到该点阵面的任一阵点的距离必然为整数，设其为。因此，从原点到该点阵的垂直距离一定是晶面间距 的整数。假设平面 的法向量为，那么有：，（）由式（）可知：，（）由式（）可知，三个基元矢量构成的向量与晶面 间距的比值可用一组常数，来表示。在晶面方向已知的条件下，指数 与晶面间距成反比，这说明指数 也可以反映晶面的另一特征，晶面间距。如果让该组常数互为质数，记为，那么 就是教材中所定义的晶面指数，即密勒指数，晶面记为（）。以上分析表明，采用
6、密勒指数法能够反映了晶面的两个特征量：晶面方向和晶面间距，因此它可以用来表征晶面。讨 论通过以上过程的阐述，我们可以知道晶面指数定义背后的几何含义，这为学生理解晶面特征提供理论依据。值得注意的是，在记忆晶面指数的含义时，我们可将晶面指数的构建过程进行简化。晶面指数可以定义为基元矢量除以晶面在基元矢量的截距后值的最小互质数。基于此，或者结合式（），我们可知，晶面间距越大，指数越小，反之，晶面间距越小，晶面指数越大，两种呈互为倒数的比例关系。值得注意的是，我们也可以这样理解晶面指数，（）晶面可将基元矢量的大小分别分成，份。指数 越大，基元矢量被分后的长度越小，晶面间距也越小，反之亦然。基于以上讨论
7、，我们还可进一步引申到衍射指数的概念记忆中去。晶体衍射时，衍射面的间距总小于或等于晶面间距，为对应晶面间距的 倍，所以其衍射指数总是为晶面指数的 倍。我们也可以这样基于，由于衍射面将晶面间距，即将基元矢量分得更细，所以其指数越大。结 语晶面特征由晶面法向量以及晶面间距构成。借助空间解析几何和向量代数工具，结合晶体点阵性质，推导了密勒指数能够反映晶面特征的原因。晶面指数可简化理解为是晶面截取基元矢量的份数，这方便了晶面指数的理解，也方便了衍射指数概念的记忆。参考文献 陶杰.材料科学基础北京：化学工业出版社，：.：，：.潘金生，田民波，仝健民.材料科学基础北京：清华大学出版社，：.胡赓祥，蔡珣.材
8、料科学基础第 版上海：上海交通大学出版社，：.刘智恩.材料科学基础西安：西北工业大学出版社，：.余永宁.材料科学基础第 版北京：高等教育出版社，：.（上接第 页）参考文献 周丹，李海霞，付煜荣.教学法在无机化学元素部分教学中的应用广东化工，（）：.王冬梅，马小艳.基于 模式的无机化学元素知识探究性教学研究广东化工，（）：.钟刘洁，陈燕.美国大学化学 教学课例研究化学教育，（）：.刘杰.基于 的对分课堂在物理化学教学中的实践当代教育实践与教学研究，（）：.殷金玲，曹殿学，温青，等.“电化学研究方法”多元化教学模式与考核方式改革研究教育教学论坛，（）：.方玉宇，马鸿雁，黄珍，等.“”教学模式在无机化学教学中的应用分析广东化工，（）：，.