1、具有领导者的高阶线性多运动体系统的群智汇集趋同马翠芹1,杜梅1,赵云波2*1.曲阜师范大学数学科学学院,曲阜 273165;2.中国科学技术大学自动化系,合肥 230026*E-mail:收稿日期:2021-08-14;接受日期:2021-10-14;网络版发表日期:2022-08-05国家自然科学基金(批准号:61973183、62173317)、山东省自然科学基金(编号:ZR2019MF041)和山东省高等学校青创科技计划(编号:2019KJI007)资助项目摘要本文研究了具有领导者的高阶线性多运动体系统的群智汇集趋同问题.利用运动体与其邻居的信息,分别为跟随者设计了状态反馈型和输出反馈型
2、控制协议,并利用矩阵Riccati代数方程、矩阵分析等工具,给出了系统实现领导-跟随者群智汇集趋同的充分条件.研究表明,当领导者和跟随者所组成的多运动体系统的通信拓扑交互平衡并且存在一棵生成树时,只要合理地选取满足条件的控制增益,系统在所给出的控制协议作用下可以实现领导-跟随者群智汇集趋同.特别地,当为跟随者设计输出反馈型控制协议时,借助误差系统可以将领导-跟随者群智汇集趋同问题转化为静态输出反馈问题.当系统的输入输出矩阵满足一定的秩条件时,系统在所设计的输出反馈型控制协议作用下可以实现领导-跟随者群智汇集趋同.关键词多运动体系统,群智汇集趋同,领导-跟随者,加权符号图1引言多运动体系统(mu
3、lti-agent systems,MASs)是由多个相互作用的运动体所组成的系统,各运动体之间通过协作完成单个运动体所不能完成的大量复杂工作.近年来,多运动体系统的分布式协调控制在无人机编队系统1,2、交通车辆系统3、分布式传感网络系统4等领域广泛应用,受到了众多学者的关注.该问题已成为当前控制学科中的热点问题.趋同问题(consensusproblem)是多运动体系统分布式协调控制中的一个基本问题.所谓趋同是指系统中各运动体的状态通过相互作用最终达成一致5,6.目前,趋同问题的相关研究都是假设各运动体之间的相互作用是合作的512.但在现实生活中,各运动体之间不仅存在合作关系,也存在竞争关系
4、,如两党制社会中的政治问题13、竞争双方的企业联合问题14.合作和竞争关系并存的多运动体系统在宏观上往往呈现出更加复杂的行为.实际上,在许多现实场景中,如混合动物种群的觅食15、机器人的分拣16、大规模无人机群为完成作战任务进行的分组汇集17等,系统中的运动体通常被分成多引用格式:马翠芹,杜梅,赵云波.具有领导者的高阶线性多运动体系统的群智汇集趋同.中国科学:技术科学,2023,53:307316Ma C Q,Du M,Zhao Y B.Cluster consensus for leader-following high-order linear multiagent systems(in
5、Chinese).Sci Sin Tech,2023,53:307316,doi:10.1360/SST-2021-0375 2022 中国科学杂志社中国科学:技术科学2023 年第 53 卷第 2 期:307 316SCIENTIA SINICA T群体智能激发汇聚及应用专辑论 文个簇/群,在同一个簇/群内的运动体的状态实现趋同,而处于不同簇/群内的运动体的状态可以不同,多运动体系统的这种行为被称为群智汇集趋同.含有领导者的多运动体系统在生物、社会等领域比较常见.例如,在蜜蜂种群中,研究发现种群中5%的蜜蜂(称为“领导者”)能够引导其余的蜜蜂(称为“跟随者”)到达新的蜂巢地点18.根据多运动
6、体系统是否含有领导者,群智汇集趋同的研究可以分为两类:无领导者的群智汇集趋同1921和有领导者的群智汇集趋同2225.目前,针对具有领导者的多运动体系统的群智汇集趋同问题的研究成果丰富.例如,文献22针对二阶非线性多运动体系统,给出了确保系统实现领导-跟随者群智汇集趋同的判定准则;文献23将文献22中运动体的动力学推广到离散时间情形;文献24针对两种不同的通信框架,研究了二阶积分器型多运动体系统的领导-跟随者群智汇集趋同问题,给出了保证系统在两种框架下实现群智汇集趋同的关于耦合强度的通信拓扑条件;文献25针对一般线性多运动体系统,为每个跟随者设计了事件驱动型控制器,证明了无论运动体状态的估计值
7、如何,只要在控制器中选取合适的参数,系统就可以实现领导-跟随者群智汇集趋同.然而,以上研究都是基于运动体间的关系仅是合作的或者运动体间是要么合作要么竞争的二分关系.需要指出的是,系统中运动体之间的关系绝不止是合作、竞争这两种简单的二分关系.例如,在意见形成问题中,意见的形成过程可以看作是各运动体对所接收到的信息进行加权的过程.在此类问题中,我们通常用加权符号图表示系统中运动体间的相互作用关系,其中加权表示运动体间合作或者竞争关系的程度.文献26用加权符号图表示运动体间的竞争-合作关系,并且将加权的合作-竞争关系拓扑分为三类,分别针对这三种类型的拓扑设计了控制协议,证明了一阶积分器型的多运动体系
8、统在所设计的控制协议作用下可以实现群智汇集趋同.进一步,文献27将文献26中的拓扑分类进一步推广,主要考虑了两种拓扑结构:多路径和有向循环,并且分别研究了这两类拓扑结构下一阶积分器型多运动体系统的群智汇集趋同问题.目前,针对加权的合作-竞争关系下多运动体系统群智汇集趋同的研究还比较少,主要集中于一阶、二阶28多运动体系统.本文将针对具有领导者的高阶线性多运动体系统,研究加权的合作-竞争关系下的群智汇集趋同问题.我们为每个跟随者分别设计了状态反馈型和输出反馈型控制协议,并且证明了系统在这两类控制协议作用下都可以实现领导-跟随者群智汇集趋同.本文结构如下:第2部分,介绍文中用到的图论的相关知识及所
9、研究的问题;第3部分,设计了两种类型的控制协议,分别给出了系统在这两种协议作用下实现群智汇集趋同的充分条件;第4部分,给出了仿真实例,验证了理论结果的有效性;第5部分,对全文进行了总结.2预备知识和问题描述2.1预备知识一般地,如果我们将系统中的每个运动体都看作一个节点,运动体之间的通信关系看作边,那么,可以用加权符号图GV E H R=(,)来表示运动体间的通信拓扑.其中Vn=1,表示所有节点组成的集合,EVj ii jji(,):,表 示 所 有 边 组 成 的 集 合,RhH=()ijn n表示邻接矩阵,hij0并且hij0(j,i)E.由此可见,邻接矩阵H仅表示运动体间有无通信.而运动
10、体间的合作或竞争关系的程度则用加权矩阵RrR=()ijn n表示,其中rij0(j,i)E.若rij0,则表示运动体i与j之间是合作的关系;若rij0(0,i)E.rrR=diag(,)N0100,其中ri0表示领导者与第i个跟随者之间合作或竞争关系的程度,并且Eri0(0,)i0.用L表示由领导者和跟随者所组成的加权符号图G的Laplacian矩阵,则由定义知()h rhrhhLL0H R 1LH=00+diag,=0+,NNNN10 1000100000式中,L表示仅由跟随者所组成的加权符号图G的Laplacian矩阵.注1文献29研究了无领导者的高阶线性多运动体系统的群智汇集趋同问题,那
11、里要求系统矩阵A的特征根均在左半平面内,并且至少有一个特征根的实部为零.本文中,对于含有领导者的多运动体系统,我们要求(A,B)是能稳的即可.本文旨在针对具有领导者的多运动体系统,为每个跟随者设计分布式控制协议,使跟随者能够在加权的合作-竞争关系下实现领导-跟随者群智汇集趋同.系统实现领导-跟随者群智汇集趋同的定义如下.定义1对于系统(1),若存在控制协议ui(t),i=1,N,使得对于任意给定的初始状态xi(0),i=1,N,都有ttiNxxlim()()=0,=1,tii0式中,Ri由自主体之间的相互作用关系所决定,则称系统(1)在加权的合作-竞争关系下能够实现领导-跟随者群智汇集趋同.注
12、2由定义1可知,系统实现领导-跟随者群智汇集趋同后,跟随者们最终被分成多个群,若i=j,则表示跟随者i与j处于同一个群;若ij,则表示跟随者i与j处于不同群.特别地,若i=1,i=1,N,则表示系统中所有跟随者的状态都与领导者的状态达成一致,即领导-跟随者群智汇集趋同退化为领导-跟随者趋同;若i1,i=1,N,则表示领导者-跟随者群智汇集趋同退化为领导-跟随者双向趋同.对于系统(1)-(2),作如下假设:(U1)(A,B)是能稳的;(U2)(A,C)是能检测的;(U3)GV E H R=(,)是交互平衡的;中国科学:技术科学2023 年第 53 卷第 2 期309(U4)GV E H R=(,
13、)存在一棵生成树.为了使系统实现领导-跟随者群智汇集趋同,下面我们将分别为跟随者设计状态反馈型控制协议和输出反馈型控制协议.3主要结果3.1状态反馈型控制协议为第i个跟随者设计如下状态反馈型控制协议:()()u thrtthrttFxxxx()=()()+()(),(3)ij Nijijjiiii000i式中,R是增益常数,RFp n是增益矩阵.控制协议的设计与通信拓扑密切相关.由式(3)可知,第i个跟随者的控制协议仅利用了它自身和与它有通信关系的邻居运动体的信息.下面,将证明系统(1)在控制协议(3)作用下可以实现领导-跟随者群智汇集趋同.定理1对于系统(1),如果(U1),(U3)-(U4
14、)成立,并且下列条件满足:(i)Re12min()ii,其中=i:Re(i)0,i为LH+0的特征根,i=1,N;(ii)FW B S=1 T,其中S是矩阵Riccati的代数方程A SSAESBW B S+=0(4)T1 T的唯一半正定对称解阵,REE=n nT,WW=TRp p均是给定的正定矩阵.那么,系统(1)在控制协议(3)作用下可以实现领导-跟随者群智汇集趋同.证明:记RttttXxxX1()=(),(),()=NnNN1TTT0tx()0.将控制协议(3)代入系统(1),可得闭环系统:ttttXIA XL+HBFXH RBF X()=()()()()+()().(5)N0000由(
15、U3)-(U4)及引理1可知,存在可逆矩阵PY=diag(p10,p11,p1N),使得lP LPL=()YYss ij1,其中l=s ii,Nhlh,=,jijs ijij,ii,j=0,1,N,即()pppppppp0H R 1L H0H 1LHdiag,0+diag(,)=0+,(6)NNNNs00101111121110101112100式中,Ls=(ls,ij),ls,ii=Nhjiji,ls,ij=hij,i,j=1,N,由此可知Ls1N=0,并且当(j,i)E时,pi 11rijp1j=1,i,j=0,1,N.记(t)=(1(t),N(t)TRnN,其中i(t)=p10pi 11
16、xi(t)x0(t),i=1,N.注意到()ppppdiag,N1011112111H RH=000.结合式(5)得ttIALHBF()=(+)().(7)Ns0由式(6)可知,G的Laplacian矩阵L与Ls有相同的特征根.由(U4)及引理2可知,Ls有且仅有一个零根并且其余特征根都在右半开平面内.进而由式(6)可知LH+s0的特征根全在右半开平面内.设iN,=1,i为LH+s0的全部特征根,则ReiN()0,=1,.i由条 件(i)可 知Re12min()ii,进 而Re2()iiN1 0,=1,.下面证明AiBF,i=1,N的特征根都具有负实部.事实上,用反证法.假设对某个i,矩阵A-iBF有特征根,具有非负实部,即Re()0.设 为对应的特征向量,则0,并且(A-iBF)=.由条件(ii)可知:iNABFABW B S=,=1,.ii1 T注意到:()()ReReABF SS ABFA SSASBW B SESBW B S +=+2()=2()1,iiii*T1 T1 T或等价地,()()ReABF SS ABFESBW B S +2()1=0,iii*1 T式中,*表示共轭