1、具具有有临临时时免免疫疫的的随随机机 传传染染病病模模型型的的动动力力学学行行为为仲崇阳，杨春雨，韩七星（长春师范大学数学学院，吉林 长春）摘 要研究了具有非单调发病率的随机 传染病模型，建立了彩色噪声和白色噪声同时干扰下的随机 传染病模型，运用反证法以及不等式放缩研究了全局正解的存在唯一性，构造适当的 函数并运用 公式得到了疾病持久性的充分条件关键词 切换；公式；函数；随机 传染病模型中图分类号 文献标志码 文章编号（）引言尽管科学的进步与医疗水平的提高有效控制了一些传染病的流行，但依旧有很多传染病没有被攻克，威胁着人类健康以数学建模为工具研究传染病，可以使人们对传染病有更加全面的认识确定性
2、传染病模型是学者们感兴趣的热点问题之一在过去的几十年里，许多 流行病模型被提出，等得到了隔离调整发生率的确定性 的基本再生数然而，临时免疫的康复个体在未来可能会再次变为易感者具有临时免疫的确定性 传染病模型由以下四维 表示：（）（）（）（）（）()，（）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）其中，（），（），（），（）分别是时间 时易感者、染病者、隔离者、恢复者的数量，所有参数均为正 为新的易感个体增长率，是群体自然死亡率，是感染率，是患病平均因病死亡率，是隔离平均因病死亡率，为感染者的隔离率，为免疫消失率，为感染者的康复率，为被隔离者的康复率对传染病模型的研究，发病率起
3、不可忽视的作用 年，等提出非单调发病率（），具有非单调发病率的确定性 传染病模型为收稿日期基金项目国家自然科学基金项目“带有疾病的随机种群模型动力学行为的研究”（）；吉林省科技厅项目“白噪声及彩色噪声摄动的种群系统动力学性质的研究”（）；长春师范大学 年研究生创新项目“白噪声扰动下随机生态传染病模型的动力学行为”（第 号）。作者简介仲崇阳，女，硕士研究生，从事随机微分方程研究。通信作者韩七星，女，教授，博士，从事随机微分方程研究。（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）其中，为非单调发病率，为比例常数，描述了当感染个体数量非常大时，易感个体
4、的行为变化所产生的心理或抑制效应，为抑制效果的参数事实上，大多数传染病不可避免地受到环境噪声的影响，环境噪声有各种类型，常见的随机干扰有白噪声、彩色噪声彩色噪声表现为系统在不同环境状态间进行随机转换，切换是无记忆的，切换的等待时间呈指数分布本文研究具有非单调发病率的随机 传染病模型设白噪声主要影响人群的疾病传播率为，运动与 链相互独立，因此模型（）受白色噪声和彩色噪声干扰有如下表示：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）其中，（
5、）表示标准的布朗运动，为白噪声强度本文中，设（，）是一个有域流的完备概率空间，满足通常条件（即递增、右连续、包含 零测集）其中，链（）是适应的，（）在有限状态空间 ，中取值，表示不同的环境 预备知识 链的生成矩阵 （）定义为（）（）()，；()，其中，是 到 的转移概率，当 时，保证 链（）不可约，有唯一的平稳分布 （，），由 确定，并且满足：，对任意向量 （），（），（），定义 （），（）记（，）：，考虑随机微分方程：（）（），（）（），（）（），（），（）二次连续可微的函数 与扩散算子 被定义为以下形式：（，）（，）（）（，）（）（，）（）（，），其中，（，）（，），（，）（，），（，），
6、（，）（，）由广义的 公式可知，如果（），那么有（），（）（），（）（），（）（），（）（）引理 假设初始值为 （）（）（）（），则系统（）的解满足：（）（）（）（）证明部分类似于文献的备注，因此略去定义（）（）（）（）（）?（），（），（），（）()：（）（）（）（）其中，?为不变集考虑系统（）在?上的动力学行为 全局正解的存在唯一性首先考虑系统的全局正解是否存在，通过构造 函数证明全局正解的存在唯一性定理 对任意给定的初值（），（），（），（），（），系统（）存在唯一正解（），（），（），（），（），并且此解依概率 停留在 ，即对所有的 ，有（），（），（），（），（）几乎必然成立证明 系
7、统（）的系数满足局部 条件，故对任意给定的初值：（），（），（），（），（），），系统（）都存在唯一的局部解（），（），（），（），（），其中，为爆破时间往证解为全局解，只需证明 是几乎必然成立的设 ，充分大，使得（），（），（），（），对任意 ，定义停时：，)：（），（），（），（）（），（），（），（）记 ，表示空集显然 是单调递增函数令 ，则 若 是几乎必然的，则有 几乎必然成立下证 ，假设 ，则存在 和 （，），有（），故存在整数 ，使得对任意 时，有（）定义一个 函数：，有（，）（）（）（）（）此函数的非负性可由 ，得到由 公式可得：（）（）（）（），这里，（）（）（）（）（）（）（
8、）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）其中，为正常数，证明的其余部分类似于文献的定理，因此略去 疾病在均值意义下的持久性为了研究传染病系统的动力学行为，下面研究疾病在均值意义下的持久性定理 假设 （）（）（）（）（）（），其中，（）（）（），则对任意初值（），（），（），（），（）?，系统（）的解满足：（）（），其中，为正数证明 运用 公式可得：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）
9、（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）其中，（）（）（）生成矩阵 是不可约的，（），（），（），（），（），（）为下列泊松系统的解：（）（）()所以，（）（），故有（）（）（）（）（）（）（）（）令 （）（），其中，（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），其中，（）（）（）（）（）（）（）（）对上式两边从 到 进行积分，再除以 ，可得（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）由（）（）（）（），有 （）（）（）由强大数定理可得（）（）（），（）（）（）（）对（）式取极限，结合
10、式（）（）可得（）（）（）（）（）（）（）（）其中，（）（）（）（）（）参考文献，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，：，（）：，（）：，（）：，：，（）：，（）：（下转第 页）因为 的特征为 ，所以（，）（），（），（），其中，（），则（）为（）的 理想同理，（）为（）的 理想对（），取 ，令（）（），（）（），可以得到（），（）由 得到（）（），（）（）（），则有（）（）（）参考文献，（）：董艳芹限制李三系长春：东北师范大学，（）：，（）：刘秀娟限制李三系的若干性质长春：东北师范大学，刘秀娟，陈良云限制李三系的 子系数学的实践与认识，（）：，（，）：，（），：；（责任编辑：周巧姝）（上接第 页），（，）：，：；（责任编辑：周巧姝）