1、第 39 卷 第 2 期 福 建 电 脑 Vol.39 No.2 2023 年 2 月 Journal of Fujian Computer Feb.2023 本文得到国家自然科学基金(No.62171131、No.61976053、No.61772134)、福建省自然科学基金(No.2018J01776)、福建省高等学校新世纪优秀人才支持计划资助。赵乾坤(通信作者)，男，1996年生，主要研究领域为量子机器学习。E-mail:。量子迭代相位估计算法在 IBM 超导平台的实现 赵乾坤 (福建师范大学计算机与网络空间安全学院 福州 350117)摘 要 本征值估计在许多学科和工程领域都有重要应用
2、，但是本征值的计算一般非常麻烦，尤其当矩阵的阶数比较高时，因此设计快速的高精度的估计算法是十分必要的。本文利用量子计算中的迭代相位估计算法来估计矩阵的本征值信息，将该算法应用到解线性方程组问题中并设计了具体线路。在 IBM 的量子超导平台上运行该算法。实验结果表明，该算法的成功概率远超于基本的量子相位估计算法，能提供合理的本征值估计值。关键词 量子计算；本征值估计；量子迭代相位估计；量子超导系统；线性系统 中图法分类号 TP181 DOI:10.16707/ki.fjpc.2023.02.002 Implementation of Quantum Iterative Phase Estimat
3、ion Algorithm on IBM Superconducting Platform ZHAO Qiankun (College of Computer and Cyber Security,Fujian Normal University,Fuzhou,China,350117)Abstract Eigenvalue estimation has important applications in many disciplines and engineering fields,but the calculation of eigenvalues is generally very tr
4、oublesome,especially when the order of the matrix is relatively high,so it is very necessary to design a fast and high-precision estimation algorithm.In this paper,the iterative phase estimation algorithm in quantum computing is used to estimate the eigenvalue information of the matrix,and the algor
5、ithm is applied to the problem of solving linear equations and a specific circuit is designed.On IBMs quantum superconducting platform,the algorithm running the algorithm The experimental results show that the success probability of the algorithm is much higher than that of the basic quantum phase e
6、stimation algorithm,and it can provide reasonable eigenvalue estimates.Keywords Quantum Computing;Eigenvalue Estimation;Quantum Iterative Phase Estimation;Quantum Superconducting System;Linear System 1 引言 在经典的计算领域，矩阵本征值的计算十分困难，常采用由矩阵元素的简单关系式估计出本征值的范围。近年来，量子信息的发展彻底改变了估计本征值的方式，借助量子力学的叠加和纠缠特性，提出了相位估计算法
7、（Quantum phase estimation，QPE）1。该方法的复杂度比统计采样方法的复杂度指数级别的减少，总实验时间达到海森堡极限。量子相位估计算法是许多量子算法的基本模块，如量子线性方程求解算法、量子幅度估计算法、量子因式分解算法2-4。前两者是量子机器学习的基础算法，后者是量子加密方向的重要工具。作为目前量子计算最重要的算法，QPE 算法的实现需要大量的量子比特、单量子门、双量子门。由于环境噪声等不可控的因素影响，目前的量子设备无法有效执行该算法。这直接限制算法的实现规模。基于量子相位估计算法的主要思想设计了迭代相位估计算法（Iterative quantum phase est
8、imation 2023 年 福 建 电 脑 7 algorithm，IQPE）5。该算法在一次迭代过程中只用到一个辅助量子比特，且用到的双量子门与 QPE算法相比有指数级别的减少。这简化了在真实量子设备上运行的难度。本文将 IPEA 算法应用到线性方程组求解问题，对方程组的系数矩阵构造用于量子计算的量子门，设计了面向量子设备的算法线路。在 IBM 的超导量子云平台的实验表明，在一定的误差存在下，IQPE 算法仍是目前可以广泛应用的本征值估计方法。根据对 IQPE 算法的误差分析，提出了合理的改进方案。2 算法线路设计及实验 2.1 QPE算法介绍 量子计算中的相位估计算法，也称量子本征值估计
9、算法，是用来估计酉矩阵对应本征向量的相位信息或本征值。问题描述为给定酉矩阵 U 和其对应的本征态|，满足2|iUe =，算法需要估计出相位的值。其中2 ie 是酉矩阵 U 的本征值或特征值，|可看作是酉矩阵 U 的特征向量，量子计算中的态等价于代数学中的向量，且用狄拉克符号|表示。2.2 IQPE算法线路设计 量子线路，也称量子逻辑电路，是最常用的通用量子计算模型，表示在抽象概念下，对于量子比特进行操作的线路。线路中包括量子比特、线路（时间线）以及各种逻辑门。新的量子算法的设计对应新的线路结构。量子相位估计算法，针对相位的二进制表示120.m=，使用 m 位的量子辅助寄存器，经过傅里叶变换制备
10、初态，再经过对酉矩阵的受控旋转，相位信息编码到辅助寄存器中量子态的相对相位上，逆傅里叶变换进一步将相位信息编码到量子态上。这样可以通过对辅助寄存器的测量，进而获取到相位信息。根据 QPE 算法思想重新设计的迭代相位估计算法的算法过程：（1）选择 QPE 算法线路中量子寄存器的第1mq位观察，经过对酉矩阵12Um的受控旋转，选取合适的基底测量，即得到相位估计值的第 m 位m，且作为条件值1cm存储。11|0(|0|1)|2:mimmqe +（2）再选择第2mq位观察，经过对酉矩阵22Um的受控旋转，再根据第一次观察到的条件值1cm进行相位修正。选取合适的基底测量，得到相位估计值的第 m-1 位1
11、m，且作为条件值2cm存储。112(0.)211|0(|0|1)21(|0|1)|2:mmmimimqee +（3）重复该过程，存储每次观察得到的条件值。结合之前得到的条件值，作为下一次观察相位修正的依据。每次都能得到相位估计值的一位信息，最终经过 m 次迭代过程可以得到相位估计值的所有信息。1112(0.)01q 1|0(|0|1)21(|0|1)|2:mmiiee +以上每一次观察都执行相同的过程，在辅助量子比特上执行制备初态、相位编码、相位修正、测量并存储测量值。据此设计了量子迭代相位估计算法，具体的量子线路如图 1 所示，减少对量子比特和单量子门和双量子门的使用。原始 QPE 算法虽然
12、在理论上有着广泛的应用，但在目前的量子设备上的运行结果失败概率较高；而作为面向应用的 IQPE 算法的线路模型输出的采样结果表明成功率较高，基本上可以直接采纳采样概率较大的为最终结果，且可验证其是正确的值。IQPE 算法线路设计中的相位修正阶段的旋转角度为122(0.0)kkkm+=。图 1 迭代相位估计算法线路的设计 8 赵乾坤：量子迭代相位估计算法在 IBM 超导平台的实现 第 2 期 2.3 对4阶矩阵执行算法 量子线性方程求解算法用来求线性方程组的解向量，相比最好的经典算法有着指数级别的加速，是众多量子机器算法的基础算法6-9。由于线性系统出现在几乎所有科学和工程领域，线性方程组的量子
13、算法具有广泛应用的潜力。相位估计是量子线性方程求解算法的第一步，只有获取到方程组系数矩阵的本征值信息才能对算法进一步处理。目前有许多关于量子线性方程求解算法在不同介质的量子系统的实现10-12，但受限于量子设备的不完善，算法的相位估计阶段获取的相位信息具有较大的错误概率。如果能采纳线路更加简单的 IQPE 算法来作为相位提取模块，即能通过 m 次迭代过程达到QPE 算法 m 位的精度，且几乎是无误差的。以 Yudong Cao 关于量子线性方程求解算法线路设计中提供的方程组系数矩阵为例13，在 IBM提供的可供远程访问的超导量子设备上，分别应用QPE 和 IQPE 算法来提取系数矩阵的本征值：
14、前者的成功概率不超过 50%，以至于不能选择正确的相位估计值；后者的多次迭代过程都能以大于 50%的概率输出相位估计值的某一位，最终得到精度控制范围内最好的相位估计值。用到的方程组系数矩阵为：()15953915351A53159163591511595316IIZXXZYY|=|=+其中，为矩阵张量。构 造 酉 矩 阵iAtUe=，本 征 向 量 选 取1|1,1,1,12T=，则对应的本征相位的理论值为0.111=。在 IBM 的超导平台执行量子线路，选取高相干行、高可靠性、更低的错误概率的量子比特，分别执行 QPE 算法和 IQPE 算法。酉矩阵 U 的构造形式中，,II YY ZX X
15、Z两两对易，因此酉矩阵 U 可通过基本的泡利旋转门来表示，用基本的单量子门和双量子门来实现。为了使线路执行的误差控制在不影响正确值的观测，从线路的编译方面进行了优化，使得优化后的线路可以有效地执行 IQPE 算法。量子线路的优化从两个方向进行，其一是对用于构造酉矩阵的系数矩阵进行数学上简化，用简单的泡利矩阵的张量形式的线性组合表示；其二是在将线路提交到量子设备上时依据量子位之间的拓扑关系和可供使用的基本量子门单元得到面向硬件的线路。对于优化后的线路，直观地表现在量子线路的深度上的“指数级减少”，加上 IQPE 算法的量子线路宽度较小，保证了算法可以在维持量子相干的时间完成。矩阵指数的分解如下：
16、)()(85)(93/8/8YYZXXZURRR=()()(X)()(X)()2222iYYYYxxzxxReRRCIRCRR=（）()()()(X)()()()iZXZXzReIH CIRCXIH=)XZ(X()iZRe=图 2 求解系数矩阵本征相位的 QPE 算法线路 图 3 求解系数矩阵本征相位的 IQPE 算法线路 2.4 实验结果的分析 实验用到的设备是由 IBM 提供的 5 qubits 的超导设备 ibmq-quito。该设备是由世界领先的量子处理器、低温组件、控制电子和经典计算技术构建，关于设备量子比特的详细结构图和参数如图 4、5所示。图 4 超导量子系统 ibmq-quito 结构图 2023 年 福 建 电 脑 9 图 5 超导量子系统 ibmq-quito 的相关系数 本文用到量子门的矩阵表示为：()/221 11000,111010,002221110100210R01cossincossin,sincosso2()2i222nc s()kkkykiixiziHIXYiZiRRSeeeRi|=|=|=|=，22100,0()0iieeCXIXP|=|=用到量子