1、书书书!#$!%!&!(!)*+,-./!0123!45!6!7!#$%&!#(!89:;?=ABCDEFG#HIJ#KL#M$IN!OPQRST#%&()*!+,-.*(/*/0 1.&/%&/(!)8%!#)E%$H%K%!&)U=V/;RST%!&!INbcdefcg%4&1&1 0!(!OPQRST)!*!+,-.*(/*/0 1.&/%&/(+!,!hijk4lm-./0!(05 56%1&5 5+!1!2!3!%*(n$!4!%&(o p_S+!4!%&(o p_q4l5!6!4 1)&r!$789:7;PstuvXZ#wxXTyz|(?!&%(0 4&(4&(&%(0 4&1*&
2、%(0 4&(&%3!u?#?!1&1 0QXTYZ?4?B#w?RST?(?!7 8 8 9!#9:;);?)=前 言高考试题是精心之作,有些题目立意深刻、构思巧妙、设计新颖,可谓独具匠心。高考试题是知识、能力和思想方法的载体,是命题思想、命题理念的程序化展现,具有典型性、示范性和权威性。因此,高考试题是应对高考的“最佳原型”。研究高考试题是复习备考中“有的放矢”的最优选择。纵观历年高考试题,不乏情境新颖、探究性强、思路宽广、解法多样、结论丰富的优秀试题,这些好题不仅是当年高考的一道亮丽风景线,而且具有重要的教学和研究价值。同时这些试题的变式和拓展也是再次编写高考试题的良好素材。一线的数学教
3、师将这些试题作为高考复习的例题或研究性学习的材料,既能避免题海战术,又能有效地促进学生数学核心素养的不断提升。因此,数学教师需要深入研究高考试题,认真把握高考动态,领会命题改革精神。近年来,部分省份逐步取消了高考自主命题,回归全国统一命题。因此,深入研究历年全国卷高考试题,把握试卷考点分布、试题特点、难易程度等,对复习备考显得尤为重要。本书继 全国卷高考数学函数客观题解题分析的出版,在高考自主命题回归全国统一命题的背景下,以高中函数知识为例,研究近十五年全国卷函数压轴题,旨在更全面地把握全国卷函数命题方向,为应对全国卷高考、服务一线教学提供一定的参考和帮助,同时,也为数学类师范专业学生学习提供
4、高考试题研究案例。本书在撰写过程中力求实现以下目标:(1)突出重点内容的研究。结合2 0 0 32 0 1 7年这十五年高考数学全国卷函数压轴题,对函数考查的几个重要专题,如函数的单调性、函数图像交点问题、切线问题、极值问题、最值问题、零点问题、恒成立问题等进行了探讨,并从试题立意、试题解法、蕴含数学思想等不同视角对试题进行了点评。(2)研究典型案例。通过精选历年全国卷高考试题,从试题立意、试题背景、试题解法、试题变式、试题推广等不同角度进行了详细剖析。这些内容保留了论文的规范格式,为学习者撰写研究数学高考方面的论文提供了样式。衷心感谢为本书的出版提供大力支持和资助的内江师范学院数学与信息科学
5、学院和科研处、教育部本科教学工程内江师范学院“数学与应用数学专业综合改革试点”项目1(Z G 0 4 6 4)、四川省教育厅“数学与应用数学专业教学综合改革项目”、四川省“西部卓越中学数学教师协同培养计划”项目(Z Y 1 6 0 0 1)、内江师范学院“数学与应用数学专业转型发展改革试点”项目(Z X 1 7 0 0 3)、内江师范学院2 0 1 6年度校级学科建设特色培养项目(T 1 6 0 0 0 9,T 1 6 0 0 1 0,T 1 6 0 0 1 1)、内江师范学院教材出版基金;感谢为本书的出版付出辛勤劳动的四川大学出版社的编辑们;感谢为本书的出版提供热情帮助的彭家寅、曾意、赵思林
6、、王新民、潘超、李红霞、吕晓亚、徐小琴等老师;感谢本书所引用研究成果的作者。同时也真诚感谢关心、支持本书出版的所有亲人、朋友们,谢谢您们的支持和帮助!由于时间及知识水平所限,本书在编写过程中难免有不足之处,恳请读者批评指正。编 者2 0 1 8年8月2全国卷高考数学函数压轴题研究目 录专题篇第1章 函数的单调性(5)1.1 两组相似概念辨析(5)1.2 求已知函数单调区间(6)1.3 求含参函数的单调区间(8)1.4 单调区间求参数(9)1.5 区间单调求参数(1 0)第2章 三个“二次”(1 5)2.1 直接考查三个“二次”之间的关系(1 5)2.2 一元二次方程根的分布问题(1 5)第3章
7、 绝对值函数(2 3)3.1 解绝对值不等式(2 3)3.2 已知绝对值解集求参数范围(2 7)3.3 已知解集特征求参数范围(2 7)第4章 函数图像交点问题(3 1)4.1 函数性态的刻画(3 1)4.2 f(x)与直线的交点问题(3 2)4.3 f(x)与g(x)的交点问题(3 4)4.4 曲线的切线条数问题(3 6)4.5 方程根的问题(3 9)第5章 切线问题(4 1)第6章 极值问题(4 6)6.1 求极值(4 6)6.2 极值存在性问题(4 7)6.3 极值点偏移问题(5 2)第7章 最值问题(5 6)7.1 直接求最值(5 6)1 7.2 已知最值范围求参数范围(5 7)7.3
8、 最值综合问题(5 8)第8章 函数零点问题(6 4)8.1 零点个数问题(6 4)8.2 已知零点个数求参数范围(6 7)第9章 恒成立问题(7 0)9.1 恒成立、能成立和恰成立(7 0)9.2 关于“任意”与“存在”的四对相似问题(7 2)9.3 直接法(7 5)9.4 分离参数法(7 8)9.5 分类讨论+单调性(8 0)9.6 图像法(8 7)9.7 先猜后证法(9 2)9.8 构造函数法(9 3)9.9 放缩法(9 6)9.1 0 变换主元法(9 7)9.1 1 反面求解法(9 9)第1 0章 函数与其他章节交汇问题(1 0 0)1 0.1 函数与集合、不等式的交汇问题(1 0 0
9、)1 0.2 函数与命题的交汇问题(1 0 0)1 0.3 函数与立体几何的交汇问题(1 0 1)1 0.4 函数与线性规划的交汇问题(1 0 2)1 0.5 函数与概率、不等式的交汇问题(1 0 3)1 0.6 函数与数列的交汇问题(1 0 4)第1 1章 高考试题中的高等数学背景(1 1 0)1 1.1 以凹、凸函数为背景(1 1 0)1 1.2 以拉格朗日中值定理为背景(1 1 2)1 1.3 洛必达法则(1 1 5)1 1.4 级数背景(1 2 0)1 1.5 重要极限背景(1 2 3)1 1.6 以不动点为背景(1 2 4)1 1.7 高等数学背景下高考命题的问题及建议(1 2 5)
10、案例篇案例1:2 0 1 7年高考数学全国卷理科第2 1题的多角度分析(1 3 3)案例2:对2 0 0 9年全国卷(理)第2 2题解法的研究(1 4 1)2全国卷高考数学函数压轴题研究案例3:函数不等式恒成立问题的求解策略 以2 0 0 7年全国卷理科第2 0题为例(1 4 5)案例4:2 0 0 5年高考全国卷2 2题的多解和推广(1 4 9)案例5:对2 0 0 7年全国高考数学四川卷理科第2 2题的研究(1 5 2)案例6:导数定义法求高考压轴题中一类00型函数极限(1 5 6)案例7:关于l n(x+1)的不等式链及应用(1 6 0)参考文献(1 6 5)3目 录专题篇本篇作者为余小
11、芬.美国著名学者布鲁纳认为:“不论我们选教什么学科,务必使学生理解学科的基本结构.这是在运用知识方面的最低要求,它有助于解决学生在课外所遇到的问题和事件,或者在日后训练中遇到的问题.”由此可见,厘清知识脉络,构建数学知识体系,对高三复习意义重大,这不仅有助于夯实基础知识、掌握基本技能,而且能启发学生积极主动地思考,使学生提升数学学习能力、提高应试能力和应试技巧.因此,本书在总结历年全国卷函数解答专题之前,先对人教版函数与导数部分的知识,从宏观和微观两个角度进行知识体系的建构.数学是研究数量关系和空间形式的科学.如果说中学数学的研究对象可分为较单纯状态的“数量关系”“空间形式”,或两者混合状态的
12、“数形结合”,那么从宏观角度分析,函数就将不同研究对象有机地联系了起来,具有绝对的概括引导作用:数可以看成特殊函数;数的运算可以看成特殊的二元函数;代数式可以容易地被改造成一个函数;数列是特殊的函数;解方程也可纳入函数问题的讨论中;解三角形可化归为一个三角函数问题;函数与平面曲线具有影子一样的密不可分关系.函数与中学数学中各知识点的关系如图1所示.?，?，?，?。?图1从微观角度看,高中函数与导数知识分布在必修1、选修2-2两个模块.包括集合与函数概念、基本初等函数、函数的应用、导数及其应用四个学习专题,涉及的概念、公式、法则相当多,且知识零散,不利于学生对知识的系统把握.因此,笔者结合教材正
13、2全国卷高考数学函数压轴题研究刘绍学.普通高中课程标准实验教科书数学1教师教学用书 M.北京:人民教育出版社,2 0 1 2.文、习题、阅读材料等内容,围绕函数的概念、基本性质、图像问题和导数等核心知识展开梳理,构建了如图2所示的思维导图.该思维导图意义深刻:首先,具有“索引”功能,能让学生“按图索骥”,为复习巩固、查缺补漏提供线索和图示;其次,具有整合功能,实现零散知识的有效整合、相关知识的紧密衔接,最终保障知识的融合与内化;最后,具有育人功能,在培养学生形成自主学习、独立思考、归纳整理、交流合作等良好习惯方面能发挥独特作用.陶行知先生曾说:“活的人才教育不是灌输知识,而是将开发文化宝库的钥
14、匙,尽我们知道的交给学生.”由此可见,厘清知识脉络,构建知识体系,正是陶行知先生所倡导的“不是教学生,乃是教学生学”的积极尝试,是激发学习兴趣、孕育创新精神的良好途径.结合教材对函数与导数部分的要求,本书对2 0 0 32 0 1 7年高考数学全国卷函数解答题按知识考点进行分类,从函数的单调性、三个“二次”、绝对值函数、函数图像交点问题、切线问题、极值问题、最值问题、函数零点问题、恒成立问题、函数与其他章节交汇问题、高考试题中的高等数学背景这十一个专题展开具体分析.3专题篇倪仲.构建历史知识体系,厘清历史发展脉络 以历史必修高三一轮复习为例 J.文教资料,2 0 1 2(2 2):1 8 6-
15、1 8 7.图24全国卷高考数学函数压轴题研究第1章 函数的单调性1.1 两组相似概念辨析数学概念是反映现实世界、空间形式和数量关系本质属性的思维形式.李邦河院士认为:“数学根本上是玩概念,而不是纯粹技巧.”概念是推理的基本单元,基于概念本身的演绎更接近于问题本质.因此,对相似概念进行辨析十分有必要.本节将对“单调区间”与“区间单调”,“在区间A上不单调”与“定义在区间A上不单调”这两组易混淆的概念进行辨析.【例1-1】“单调区间”与“区间单调”辨析.已知f(x)=x2-2(a-1)x+2.(1)若f(x)在(-,-4上单调递减,求a的取值范围;(2)若f(x)的单调递减区间为(-,-4,求a
16、的值.【辨析】f(x)的单调递减(递增)区间为M是指f(x)所有减(增)区间的并集为M,即最大的减(增)区间为M,f(x)在M的任意子区间都是递减(增)函数;f(x)在区间N上单调递减(增)仅仅表示N为最大减(增)区间M的一个子集,即NM.【解析】f(x)=x2-2(a-1)x+2的对称轴为x=a-1,得f(x)的减区间为(-,a-1.(1)由题意得(-,-4(-,a-1.故-4a-1,解得a-3,+).(2)由题意得(-,-4=(-,a-1.故-4=a-1,解得a=-3.【例1-2】“在区间A上不单调”与“定义在区间A上不单调”辨析.(1)若函数g(x)=exx2+k在区间(2,3)上不单调,求k的取值范围;(2)若定义在区间(2,3)上的函数g(x)=exx2+k不单调,求k的取值范围.【辨析】函数在区间A上不单调有两层含义:函数在区间A处没有定义或函数在区间A的一些点没有定义,即区间A上存在一些间断点,此时函数在区间A上不单调;函数在区间A上有定义,但不单调.定义在区间A上的函数不单调是指函数在区间A上有定义,但不单调.【解析】(1)若x2+k=0,即k=-x2(-9,-4)时,