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2008—考研数一真题、标准答案及解析.doc

1、2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内。(1)设函数则的零点个数( )01 23(2)函数在点处的梯度等于( ) - (3)在下列微分方程中,以(为任意常数)为通解的是( ).(4)设函数在内单调有界,为数列,下列命题正确的是( )若收敛,则收敛. 若单调,则收敛.若收敛,则收敛.若单调,则收敛.(5)设为阶非零矩阵,为阶单位矩阵. 若,则( )不可逆,不可逆.不可逆,可逆.可逆,可逆. 可逆,不可逆. (6)设为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程在正交变换下的标

2、准方程的图形如图,则的正特征值个数为( )0.1.2.3. (7)设随机变量独立同分布且分布函数为,则分布函数为( ) . . . . (8)设随机变量,且相关系数,则( ) . 二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9)微分方程满足条件的解是. (10)曲线在点处的切线方程为.(11)已知幂级数在处收敛,在处发散,则幂级数的收敛域为.(12)设曲面是的上侧,则.(13)设为2阶矩阵,为线性无关的2维列向量,则的非零特征值为.(14)设随机变量服从参数为1的泊松分布,则.三、解答题:1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字

3、说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求极限.(16)(本题满分10分) 计算曲线积分,其中是曲线上从点到点的一段.(17)(本题满分10分)已知曲线,求曲线距离面最远的点和最近的点.(18)(本题满分10分)设是连续函数,(1)利用定义证明函数可导,且;(2)当是以2为周期的周期函数时,证明函数也是以2为周期的周期函数. (19)(本题满分10分),用余弦级数展开,并求的和.(20)(本题满分11分),为的转置,为的转置.(1)证;(2)若线性相关,则.(21)(本题满分11分)设矩阵,现矩阵满足方程,其中,(1)求证(2)为何值,方程组有唯一解,求(3)为何值,方程组有无穷多

4、解,求通解(22)(本题满分11分)设随机变量与相互独立,的概率分布为,的概率密度为,记(1)求(2)求的概率密度(23)(本题满分11分) 设是总体为的简单随机样本.记, (1)证 是的无偏估计量.(2)当时 ,求.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题(1)【答案】【详解】,即是的一个零点又,从而单调增加()所以只有一个零点.(2)【答案】【详解】因为,所以,所以 (3)【答案】 【详解】由微分方程的通解中含有、知齐次线性方程所对应的特征方程有根,所以特征方程为,即. 故以已知函数为通解的微分方程是(4)【答案】【详解】因为在内单调有界,且单调. 所以单调且有界. 故

5、一定存在极限(5)【答案】【详解】,故均可逆(6)【答案】【详解】图示的二次曲面为双叶双曲面,其方程为,即二次型的标准型为,而标准型的系数即为的特征值.(7)【答案】【详解】(8)【答案】 【详解】 用排除法. 设,由,知道正相关,得,排除、由,得 所以 所以. 排除. 故选择二、填空题(9) 【答案】【详解】由,两端积分得,所以,又,所以.(10) 【答案】【详解】设,则,将代入得,所以切线方程为,即(11)【答案】【详解】幂级数的收敛区间以为中心,因为该级数在处收敛,在处发散,所以其收敛半径为2,收敛域为,即时级数收敛,亦即的收敛半径为2,收敛域为. 则的收敛半径为2,由得,即幂级数的收敛

6、域为(12)【答案】【详解】加的下侧,记与所围空间区域为,则(13)【答案】1【详解】记,则因为线性无关,所以可逆. 从而,即与相似.由,得及为的特征值.又相似矩阵有相同的特征值,故的非零特征值为1.(14)【答案】【详解】由,得,又因为服从参数为1的泊松分布,所以,所以,所以 三、解答题(15) 【详解】方法一:方法二: (16) 【详解】方法一:(直接取为参数将对坐标的曲线积分化成定积分计算) 方法二:(添加轴上的直线段用格林公式化成二重积分计算) 取为轴上从点到点的一段,是由与围成的区域 方法三:(将其拆成,前者与路径无关,选择沿轴上的直线段积分,后者化成定积分计算) 对于,因为,故曲线

7、积分与路径无关,取到的直线段积分 所以,原式(17) 【详解】点到面的距离为,故求上距离面的最远点和最近点的坐标,等价于求函数在条件与下的最大值点和最小值点. 令 所以 由(1)(2)得,代入(4)(5)有 ,解得 或 (18)【详解】(I) 对任意的,由于是连续函数,所以 ,其中介于与之间由于,可知函数在处可导,且.(II) 方法一:要证明以2为周期,即要证明对任意的,都有,则 又因为 所以 ,即方法二:由于是以2为周期的连续函数,所以对任意的,有即是以2为周期的周期函数.(19)【详解】由于 所以 令,有 又,所以 (20)【详解】(I) (II) 由于线性相关,不妨设. 于是(21)【详

8、解】(I)证法一:证法二:记,下面用数学归纳法证明当时,结论成立当时,结论成立假设结论对小于的情况成立将按第1行展开得 故 证法三:记,将其按第一列展开得 ,所以 即 (II)因为方程组有唯一解,所以由知,又,故由克莱姆法则,将的第1列换成,得行列式为所以 (III)方程组有无穷多解,由,有,则方程组为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为,所以方程组有无穷多解,其通解为为任意常数(22)【详解】 (I) (II) 所以 (23) 【详解】(I) 因为,所以,从而因为 所以,是的无偏估计(II)方法一:,所以因为,所以,有,所以因为,所以,又因为,所以,所以所以 .方法二:当时(注意和独立)

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