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2004—考研数一真题、标准答案及解析.doc

1、2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题一、 填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)(1)曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为_ .(2)已知,且f(1)=0, 则f(x)=_ .(3)设为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为_.(4)欧拉方程的通解为. _ .(5)设矩阵,矩阵B满足,其中为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则 _ .(6)设随机变量X服从参数为的指数分布,则= _ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把时的无穷小量,使排在后面的是

2、前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A) . (B) . (C) . (D) . (8)设函数f(x)连续,且则存在,使得 (A) f(x)在(0,内单调增加. (B)f(x)在内单调减少.(C) 对任意的有f(x)f(0) . (D) 对任意的有f(x)f(0) . (9)设为正项级数,下列结论中正确的是 (A) 若=0,则级数收敛.(B) 若存在非零常数,使得,则级数发散.(C) 若级数收敛,则. (D) 若级数发散, 则存在非零常数,使得. (10)设f(x)为连续函数,则等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. (11)设A是3阶方阵,将A的

3、第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为(A) . (B) . (C) . (D) . (12)设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有(A) A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关. (B) A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关. (C) A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关. (D) A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关. (13)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的,数满足,若,则等于(A) . (B) . (C) . (D) . (14)设随机变量独立同分布,且其方差为 令,则(A) Cov( (B)

4、. (C) . (D) . (15)(本题满分12分)设, 证明.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h. 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注kg表示千克,km/h表示千米/小时.(17)(本题满分12分)计算曲面积分 其中是曲面的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程,其中n为正整数. 证明此方程存在惟一正实根,并证明当时,级数收敛.(19)(本题满分1

5、2分)设z=z(x,y)是由确定的函数,求的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分) 设矩阵的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化. (22)(本题满分9分)设A,B为随机事件,且,令 求:(I)二维随机变量(X,Y)的概率分布; (II)X和Y的相关系数(23)(本题满分9分)设总体X的分布函数为 其中未知参数为来自总体X的简单随机样本,求:(I) 的矩估计量;(II) 的最大似然估计量.2004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在

6、题中横线上)(1)曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为.【分析】 本题为基础题型,相当于已知切线的斜率为1,由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标.【详解】 由,得x=1, 可见切点为,于是所求的切线方程为 , 即 .【评注】 本题也可先设切点为,曲线y=lnx过此切点的导数为,得,由此可知所求切线方程为, 即 .本题比较简单,类似例题在一般教科书上均可找到.(2)已知,且f(1)=0, 则f(x)= .【分析】 先求出的表达式,再积分即可.【详解】 令,则,于是有 , 即 积分得 . 利用初始条件f(1)=0, 得C=0,故所求函数为f(x)= .【评注】 本题属基础题型,已知导函数求

7、原函数一般用不定积分.(3)设为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为 .【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示,相应曲线积分可化为定积分.【详解】 正向圆周在第一象限中的部分,可表示为 于是 =【评注】 本题也可添加直线段,使之成为封闭曲线,然后用格林公式计算,而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.(4)欧拉方程的通解为 .【分析】 欧拉方程的求解有固定方法,作变量代换化为常系数线性齐次微分方程即可.【详解】 令,则 , ,代入原方程,整理得,解此方程,得通解为 【评注】 本题属基础题型,也可直接套用公式,令,则欧拉方程 ,可化为 (5)设矩阵,矩阵B满足,其中为A的伴随矩阵,

8、E是单位矩阵,则 .【分析】 可先用公式进行化简【详解】 已知等式两边同时右乘A,得, 而,于是有, 即 ,再两边取行列式,有 , 而 ,故所求行列式为【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点,而题设含有伴随矩阵,一般均应先利用公式进行化简.(6)设随机变量X服从参数为的指数分布,则= .【分析】 已知连续型随机变量X的分布,求其满足一定条件的概率,转化为定积分计算即可.【详解】 由题设,知,于是 = =【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征,而不应在考试时再去推算.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前

9、的字母填在题后的括号内)(7)把时的无穷小量,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 先两两进行比较,再排出次序即可.【详解】 ,可排除(C),(D)选项,又 =,可见是比低阶的无穷小量,故应选(B).【评注】 本题是无穷小量的比较问题,也可先将分别与进行比较,再确定相互的高低次序.(8)设函数f(x)连续,且则存在,使得 (A) f(x)在(0,内单调增加. (B)f(x)在内单调减少.(C) 对任意的有f(x)f(0) . (D) 对任意的有f(x)f(0) . C 【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零,一般不

10、能推导出单调性,因此可排除(A),(B)选项,再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可.【详解】 由导数的定义,知 ,根据保号性,知存在,当时,有 即当时,f(x)f(0). 故应选(C).【评注】 题设函数一点可导,一般均应联想到用导数的定义进行讨论.(9)设为正项级数,下列结论中正确的是 (A) 若=0,则级数收敛.(B) 若存在非零常数,使得,则级数发散.(C) 若级数收敛,则. (E) 若级数发散, 则存在非零常数,使得. B 【分析】 对于敛散性的判定问题,若不便直接推证,往往可用反例通过排除法找到正确选项.【详解】 取,则=0,但发散,排除(A),(D);又取,则级数收敛,但,排

11、除(C), 故应选(B).【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式, ,而级数发散,因此级数也发散,故应选(B).(10)设f(x)为连续函数,则等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. B 【分析】 先求导,再代入t=2求即可.关键是求导前应先交换积分次序,使得被积函数中不含有变量t.【详解】 交换积分次序,得 =于是,从而有 ,故应选(B).【评注】 在应用变限的积分对变量x求导时,应注意被积函数中不能含有变量x: 否则,应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上.(11)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列

12、交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为(A) . (B) . (C) . (D) . D 【分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质,对A作两次初等列变换,相当于右乘两个相应的初等矩阵,而Q即为此两个初等矩阵的乘积.【详解】由题设,有 , ,于是, 可见,应选(D).【评注】 涉及到初等变换的问题,应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系.(12)设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有(D) A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关. (E) A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关. (F) A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关. (D) A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关. A 【分析】A,B的行列向量组是否线性相关,可从A,B是否行(或列)满秩或Ax=0(Bx=0)是否有非零解进行分析讨论.【详解1】 设A为矩阵,B 为矩阵,则由AB=O知, . 又A,B为非零矩阵,必有r(A)0,r(B)0. 可见r(A)n, r(B)n, 即A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关,故应选(A).【详解2】 由AB=O知,B的每一列均为Ax=0的解,而B为非零矩阵,即Ax=0存在非零解,可见A的列向量组线性相关.同理,由AB=O知,于是有的列向量组,从而B的行向量组线性相关,故应选(A).【评注】 A

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