1、2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题一、填空题（1）.（2）微分方程的通解是 .（3）设是锥面（）的下侧，则 .（4）点到平面的距离= .（5）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则= .（6）设随机变量与相互独立，且均服从区间0, 3上的均匀分布，则= .二、选择题（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则（A）（B）（C）（D） 【 】（8）设为连续函数，则等于（A）（B）（C）（C） 【 】（9）若级数收敛，则级数（A）收敛.（B）收敛.（C）收敛.（D）收敛. 【 】（10）设与均为可微函数，且. 已知是在约束条件下的一个极值点，下列选
2、项正确的是（A）若，则.（B）若，则.（C）若，则.（D）若，则.【 】（11）设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是（A）若线性相关，则线性相关.（B）若线性相关，则线性无关.（C）若线性无关，则线性相关.（D）若线性无关，则线性无关. 【 】（12）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则（A）（B）（C）（D） 【 】（13）设为随机事件，且，则必有（A）（B）（C）（D） 【 】（14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且（A）（B）（C）（D） 【 】三 解答题15 设区域D=,计算二重积分 .16 设数列满足 .求: ()证明存在,并求之
3、 .()计算 .17 将函数展开成x的幂级数.18 设函数满足等式.()验证.()若.19 设在上半平面D=内,数是有连续偏导数,且对任意的t0都有.证明: 对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有.20 已知非齐次线性方程组证明方程组系数矩阵A的秩求的值及方程组的通解21 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0的两个解, ()求A的特征值与特征向量 ()求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得.22 随机变量x的概率密度为为二维随机变量(X,Y)的分布函数.()求Y的概率密度()23 设总体X的概率密度为,为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值,求的最大似然估计.2006
4、年全国硕士研究生入学考试数学一真题解析一、 填空题（1）= 2 . （）（2）微分方程的通解是，这是变量可分离方程.（3）设是锥面的下侧，则 补一个曲面上侧 （为锥面和平面所围区域）（为上述圆锥体体积）而（在上：）（4）(5)设A= 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA=B +2E,则|B|= . -1 2解:由BA=B +2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得 |B|A-E|=|2E|=4,计算出|A-E|=2,因此|B|=2.（6）二、 选择题（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分.若，则(11)设a1,a2,as 都是n维向量，A是mn矩阵，则（
5、 ）成立.(A) 若a1,a2,as线性相关,则Aa1,Aa2,Aas线性相关.(B) 若a1,a2,as线性相关,则Aa1,Aa2,Aas线性无关.(C) 若a1,a2,as线性无关,则Aa1,Aa2,Aas线性相关.(D) 若a1,a2,as线性无关,则Aa1,Aa2,Aas线性无关.解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若a1,a2,as线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,cs使得 c1a1+c2a2+csas=0,用A左乘等式两边,得c1Aa1+c2Aa2+csAas=0,于是Aa1,Aa2,Aas线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它
6、们是:1. a1,a2,as 线性无关 r(a1,a2,as )=s.2. r(AB) r(B).矩阵(Aa1,Aa2,Aas)=A( a1, a2,as ),因此r(Aa1,Aa2,Aas) r(a1, a2,as ).由此马上可判断答案应该为(A).(12)设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0 P= 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C=P-1AP. (B) C=PAP-1. (C) C=PTAP. (D) C=PAPT. 解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B=PA , 1 -1 0C=B 0 1 0 =BP-1= PA
7、P-1. 0 0 1（13）根据乘法公式与加法公式有： P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B) P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)应选C（14）依题：因 即 所以 应选A三、 解答题（18）设函数内具有二阶导数，且满足等式（I）验证（II）若 求函数证：（I）（II）令（19）设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意都有证明：对D内任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有.证：把得：令 ，则再令 所给曲线积分等于0的充分必要条件为今 要求 成立，只要我们已经证明，于是结论成立.(20)已知非齐次线性方程组 x1+x2+x3+x4=-1, 4x1+3x2+5x3-x4=-1
8、， ax1+x2+3x3+bx4=1 有3个线性无关的解. 证明此方程组的系数矩阵A的秩为2. 求a,b的值和方程组的通解. 解: 设a1,a2,a3是方程组的3个线性无关的解,则a2-a1,a3-a1是AX=0的两个线性无关的解.于是AX=0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A)2,从而r(A)2.又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(A)2.两个不等式说明r(A)=2. 对方程组的增广矩阵作初等行变换: 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A|b)= 4 3 5 -1 -1 0 1 1 5 3 , a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A)=
9、2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换: 1 0 2 -4 2 0 1 -1 5 -3 . 0 0 0 0 0得同解方程组 x1=2-2x3+4x4， x2=-3+x3-5x4，求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX=0的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T, c1,c2任意.(21) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量a1=(-1,2,-1)T, a2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解. 求A的特征值和特征向量. 求作正交矩阵Q和对角矩
10、阵L,使得 Q TAQ=L. 解: 条件说明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即 a0=(1,1,1)T是A的特征向量,特征值为3.又a1,a2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于a1,a2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:ca0, c0.属于0的特征向量:c1a1+c2a2, c1,c2不都为0. 将a0单位化,得h0=(,)T.对a1,a2作施密特正交化,的h1=(0,-,)T, h2=(-,)T.作Q=(h0,h1,h2),则Q是正交矩阵,并且 3 0 0 Q TAQ=Q-1AQ= 0 0 0 . 0 0 0 （22）随机变量的概率密度为，令，为二维随机变量的分布函数.（）求的概率密度；（）解：（） ； .所以：这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y进行适当的讨论即可，在新东方的辅导班里我也经常讲到，是基本题型.（）.（23）设总体的概率密度为，其中是未知参数（01）.为来自总体的简单随机样本，记N为样本值中小于1的个数.求的最大似然估计.解：对样本按照1或者1进行分类：1，1.似然函数，在1，1时，所以.