1、希望杯第四届(1993年)初中二年级第二试试题一、 选择题:(每题1分,共10分)1.若a0,则化简得 A1B-1C2a-1D1-2a 2.若一个数的平方是5-2,则这个数的立方是 A.或; B. 或; C. 或; D. 或.3.在四边形ABCD中,AB=1,BC=,CD=,DA=2,SABD=1, SBCD=,则ABC+CDA等于 A150B180.C200D2104一个三角形的三边长分别为2,4,a,如果a的数值恰是方程4|x-2|2-4|x-2|+1=0的根,那么三角形的周长为 A.7; B.8; C.9; D.10.5如果实数x,y满足等式2x+x2+x2y2+2=-2xy,那么x+y
2、的值是 A.1.B0. C1.D26.设x=,y=,n为正整数,如果2x2+197xy+2y2=1993成立,那么n的值为 A7.B8.C9.D.107如图81,在ABC中,A=36,AB=AC、BD平分ABC若ABD的周长比BCD的周长多1厘米,则BD的长是 A0.5厘米.B1厘米. C1.5厘米.D2厘米8方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是 A-2. B0. C-2. D49如图82,将ABC的三边AB,BC,CA分别延长至B,C,A,且使BB=AB,CC=2BC,AA=3AC若SABC=1,那么SABC是 A15. B16. C17. D18.10如果方程|3x|-ax-
3、1=0的根是负数,那么a的取值范围是 Aa3.B.a3. Ca3.Da3.二、填空题(每题1分,共10分)1若两个数的平方和为637,最大公约数与最小公倍数的和为49,则这两个数是_2设x1,x2是方程x2+px+1993=0的两个负整数根,则=_.3.方程的解是_.4如图83,四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O点,如果SABD=5,SABC=6,SBCD=10,那么SOBC_5设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,记S1=x1+1993x2,S2=x12+1993x22,Sn=x1n+1993x2n,则aS1993+bS1992+cS1991=_.6.6设x表示不大于x的最
4、大整数,(例如3=3,3.14=3),那么+=_.7已知以x为未知数的二次方程abx2-(a2+b2)x+ab=0,其中a,b是不超过10的质数,且ab,那么两根之和超过3的方程是_8如图84,在ABC中,BAC=90,ADBC于D,BCA的平分线交AD于F,交AB于E,FGBC交AB于GAE=4,AB=14,则BG=_9已知k为整数,且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有两个不相等的正整数根,则k=_10某校奖励学生,初一获奖学生中,有一人获奖品3件,其余每人获奖品7件;初二获奖学生中,有一人获奖品4件,其余每人获奖品9件如果两个年级获奖人数不等,但奖品数目相等,且每个
5、年级奖品数大于50而不超过100,那么两个年级获奖学生共有_人三、解答题:(写出推理、运算的过程及最后结果每题5分,共10分)1 如图85,三所学校分别记作A,B,C体育场记作O,它是ABC的三条角平分线的交点O,A,B,C每两地之间有直线道路相连一支长跑队伍从体育场O点出发,跑遍各校再回到O点指出哪条路线跑的距离最短(已知ACBCAB),并说明理由2.如果a=,求a2+的值.答案与提示一、选择题提示:5等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化简为(x+1)2+(xy+1)2=0x+1=0,xy+1=0解之得x=-1,y=1则x+y=0应选(B)6由题设得:xy=1,x+y=4n+2由2x2+
6、197xy+2y2=1993,得2(x+y)2+193xy=1993将xy=1,x+y=4n+2代入上式得:(4n+2)2=900,即4n+2=30n=7应选(A)7由A=36,AB=AC,可得B=C=72ABD=CBD=36,BDC=72AD=BD=BC由题意,1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD应选(B)8原方程化为(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0即|x-1|2-5|x-1|+6=0|x-1|=2,或|x-1|=3x1=-1,x2=3,x3=-2,x4=4则x1+x2+x3+x4=4应选(D)9连结CB,AB=BB,SBBC=SABC=
7、1,又CC=2BCSBCC=2SBBC=2SBBC=3同理可得SACC=8,SABA=6SABC=3+8+6+1=17应选(D)10原方程为|3x|=ax+1(1)若a=3,则|3x|=3x+1当x0时,3x=3x+1,不成立(2)若a3综上所述,a3时,原方程的根是负数应选(B)另解:(图象解法)设y1=|3x|,y2=ax+1。分别画出它们的图象从图87中看出,当a3时,y1=|3x|的图象直线y2=ax+1的交点在第二象限二、填空题提示:149=77,所求两数的最大公约数为7,最小公倍数为42设a=7m,b=7n,(mn),其中(m,n)=1由ab=(a,b)a,b7m7n=742,故m
8、n=6又(m,n)=1,m=2,n=3,故a=14,b=21经检验,142+212=637这两个数为14,2121993=11993=(-1)(-1993),(1993为质数)而x1x2=1993,且x1,x2为负整数根,x1=-1,x2=-1993或x1=-1993,x2=-1则4设SBOC=S,则SAOB=6-S,SCOD=10-S,SAOD=S-1由于S(S-1)=(6-S)(10-S),解之得S=46432=184919001936=442,又193619932025=452其他都不合适此时所求方程为14x2-53x+14=08过E作EHBC于HADBCEHAD又ACE=BCE,EAA
9、C,EHBCEA=EH,AEC=HECEHAD,HEC=AFE,AEF=AFEAE=AF,EH=AF即可推出AGFEHBAG=EB=AB-AE=14-4=10BG=AB-AG=14-10=410设初一获奖人数为n+1人,初二获奖人数为m+1人(nm)依题意有3+7n=4+9m,即7n=9m+1由于503+7n100,504+9m100得n=7,8,9,10,11,12,13m=6,7,8,9,10但满足式的解为唯一解:n=13,m=10n+1=14,m+1=11获奖人数共有14+11=25(人)三、解答题1解:若不考虑顺序,所跑的路线有三条:OABCO(或OCBAO),OACBO(或OBCAO),OBACO(或OCABO)其中OABCO的距离最短记d(OABCO),d(OACBO),d(OBACO)分别为三条路线的距离在AC上截取AB=AB,连结OB则ABOABOBO=BOd(OABCO)-d(OACBO)=(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO)=AB+CO-AC-BO=AB+CO-AB-BC-BO=CO-(BC+BO)0同理可得,d(OABCO)-d(OBACO)0所以路线OABCO的距离最短因此x与-y是关于t的方程解二:由已知条件得两边加上a4+1,得显然0a1,0a21