1、希望杯第七届（1996年）初中二年级第二试试题一、 选择题:1.化简:的结果是 Ay2x2. Bx2y2. Cx24y2. D4x2y22已知：1ba0，那么ab，ab，a1，a1的大小关系是 Aababa1a1; Ba1ababa1Ca1ababa1; Dababa1a13已知x2ax12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是 A3个 B4个. C6个D8个4如图35，ABC中，AB=AC，B=36D、E是BC上两点，使ADE=AED=2BAD，则图中的等腰三角形一共有 A3个B4个. C5个D6个5如图36ABC中，AB=AC，CDAB交AB于D，ABC的平分线BE
2、交CD与E，则BEC的大小是 A.1350-; B.1350+; C.900+; D.1800-. 6三角形的三边长分别为2n22n，2n1，2n22n1（n是自然数），这样的三角形是 A锐角三角形.B直角三角形.C钝角三角形.D锐角三角形或直角三角形7暑假里父亲、儿子、女儿准备外出旅行，咨询时了解到，甲旅行社规定：若大人买一张全票，则两个孩子的费用可按全票价的七折优惠；乙旅行社规定：三人旅行可按团体票计价，即按原价的80%收费，若两家旅行社的原价相同，则当实际收费时 A 甲比乙低.B乙比甲低.C甲、乙相同.D是甲低还是乙低，视原价而定8.已知x为整数,且为整数,则符合条件的x的所有值的和为
3、A12B15C18D209在ABC中，B=2C，则AC与2AB之间的大小关系是 AAC2ABBAC=2AB. CAC2ABDAC2AB10有一架不准确的天平（左臂长为a厘米，右臂长为b厘米，ab）某人用它来计量某件重物先将重物放在左盘，砝码放在右盘，需用m1千克使天平平衡；然后再将重物放在右盘，砝码放在左盘,需用m2千克使天平平衡,于是用Q=千克估算重物的实际重量,若重物的实际重量为p千克,那么 AQPBQ=P. CQP DQP.二、填空题11因式分解：a3c4a2bc4ab2c=_12如图37，ABC中，ADBC，AE平分BAC，B=70，C=34则DAE的大小是_13.当a=时,代数式的值
4、是_.14.若=1,则的值是_.15. 若=4,则的值是_.16已知关于x的方程a（x3）b（3x1）=5（x1）有无穷多个解，那么a=_，b=_17如图38，ABCD是平形四边形，E在AC上，AE=2EC，F在AB上，BF=2AF，如果BEF的面积是2平方厘米，则ABCD的面积是_ 18如图39,在ABC中,A=30,B=45，D在AB上，E在AC上，且使AE=EC=DE，那么AD2：BC2等于_19某学校现有学生2300人，与去年相比，男生人数增加了25%，女生人数减少了25%，全校人数增加了15%，则现在全校有男生_20.如图40,P是等边三角形ABC中的一个点,PA=2,PB=2,PC
5、=4,则三角形ABC的边长为_.三、解答题21已知多项式x2ax2bxc中，a，b，c为常数，当x=1时，多项式的值是1；当x=2时，多项式的值是2；若当x是8和5时，多项式的值分别为M与N，求MN的值22如图41，在直角AOB内有一点P，OP=a，POA=30，过P点做一直线MN与OA、OB分别相交于M、N，使MON的面积最小（1）此时线段MN的位置是 AMNOPBOM=ON. COM=2ONDPM=PN（2）此时MON的面积是_（3）若AOB为一锐角，P是锐角内一定点（如图42）过P点的直线与OA、OB交于M、N，使OMN的面积最小，应怎样画出MN的位置（简述画法并保留画图痕迹），并证明你
6、的结论答案提示一、 选择题提示：选B21ba0，ababb1，a1ab又b1，aba1综上得a1ababa1，选C3设x2ax12能分解成两个整系数一次因式的乘积，即x2ax12=（xm）（xn），m，n是整数x2ax12=x2（mn）xmnm，n是整数，且mn=12而a=mn，只有6种结果，选C4ABC中，AB=AC，B=36，C=36，A=180236=108又ADE=2BAD=BADB，BAD=B=36同理EAC=C=36ADE=AED=72，DAE=36BAE=CAD=72于是等腰三角形有ABC，ADE，ABD，AEC，ABE，ADC，共6个，选D5ABC中，AB=AC，又BE是ABC
7、的平分线，BEC是BED的外角BEC=BDEDBE选A6n是自然数（2n22n1）2（2n22n）2=（2n22n1）（2n22n）（2n22n1）（2n22n）=4n24n1=（2n1）2三角形的三边长满足勾股定理三角形是直角三角形，选B7设原价为a元则甲旅行社收费=a270%a=2.4a乙旅行社收费=380%a=2.4a选C当x3=1或x3=1或x3=2或x3=2时，原式的值为整数此时x1=4，x2=2，x3=5，x4=1x1x2x3x4=12，选A9如图43，延长CB到D，使DB=AB，连接AD在ABD中，AB=BD，BAD=D又ABD是ABD的外角，ABC=2D由已知ABC=2C，C=
8、D，ADC是等腰三角形AD=AC在ABD中，ABBDAD，即2ABAC，选（D）10重物的实际重量为PPa=m1bab，（ab）20QP，选（A）二、填空题提示：11a3c4a2bc4ab2c=ac（a24ab4b2）=ac（a2b）212ABC中，B=70，C=34BAC=180（7034）=76又AE平分BAC，BAE=38RtABD中，B=70，BAD=20DAE=BAEBAD=3820=18x=|x|1若x0，则x=x1，矛盾x0有x=x1，2x=1a0，b0用ab分别除原式的分子分母得16整理关于x的方程a（x3）b（3x1）=5（x1）（a3b5）x（3ab5）=0方程有无穷多解1
9、7比较AEF和BEF，可以看作是等高不同底的三角形SAEF：SBEF=AF：BF=1：2SABF=3（平方厘米）比较ABE和CBE，它们也是等高不同底的三角形SABE：SCBE=AE：EC=2：1SABCD=2SABC=9（平方厘米）18如图44，连接CD，在ACD中，AE=EC=DECDA=90，ADC是直角三角形又A=30，AC=2CD，在RtBCD中，B=45，19解法1：设学校现有男生x人，女生为y人，则由式得y=2300xx=2000（人）解法2：设学校去年有男生x人，女生y人，则解得x=1600，y=400今年学校有男生1600（125%）=2000人20如图45，将BAP绕B点逆
10、时针旋转60，则BA与BC重合，BP移到BM处，PA移到MC处BM=BP，MC=PA，PBM=60BPM是等边三角形在MCP中，PC=4，PC2=PM2MC2且PC=2MCPCM是直角三角形，且CMP=90，CPM=30又PBM是等边三角形，BPM=60BPC=90，BPC是直角三角形三、解答题21解法1：当x=1时，1abc=1，abc=0当x=2时，84a2bc=2，4a2bc=6联立，解得当x=8时，M=51264a8bc，当x=5时，N=12525a5bcMN=51264a8bc(12525a5bc)=63739a13b=63711739=559解法2：同解法1得M=51264a8bc
11、，N=12525a5bcMN=63739a13b由得3ab=6，MN=63713（3ab）=63778=559解法3：设P（x）=x3ax2bxc则P（1）=1，P（2）=2又设Q（x）=P（x）x，则Q（1）=0，Q（2）=0Q（x）是关于x的三次多项式，可设Q（x）=（x1）（x2）（xm），其中m为常数于是MN=P（8）P（5）=Q（8）8Q（5）（5）=Q（8）Q（5）13=7.6（8m）（6）（7）(5m)13=33642m21042m13=55922（1）如图46，当PM=PN时，MON面积最小，选（D）理由同第（3）小题（2）由（1）知，当PM=PN时，MON面积最小MON是直角
12、三角形MN=2a又POM=30，PMO=30，（3）作法1：如图47从P点作PCOA交OB于C在OB上截取CN=OC连接NP并延长交OA于M则MN即为所求线段此时，PCOM，OC=CN，PM=PNOMN面积最小证明：若经过F点另有一条直线EF交OA，OB于E，F（如图47）从N作NGOA交EF于G可证明PEMPGNSPEM=SPNGSPNFSOMN=S四边形OEPNSPEMS四边形OEPNSPNF=SOEF若EF过点P交OA，OB于E，F（如图48）则作MGOB交EF于G，同理可证SOMNSOEFOMN是符合要求的面积最小的三角形说明：此题的原型源于一道常见的平面几何证明题题目：如图49，等腰