1、 普通高等教育“十三五新工科新育人”丛书 大学通识教育与素养提升丛书 大学数学与基础科学系列教材 线 性 代 数（修订版）陈万勇 主编 黄素珍 副主编 韦 俊 杨善兵 陈丽娟 卞小霞 参编 内 容 简 介 本书是第一版教材的修订版，是为满足工程类本科院校“线性代数”课程教学的需要，便于学生自学而编写的教材。全书将传统的主教材和学习指导书合二为一，充分考虑了教师讲授和学生自习的必要性与便利性。主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的相似与二次型等。本书适合作为工程类本科院校“线性代数”课程的教材，也适合作为其他数学爱好者的参考用书。未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。
2、版权所有，侵权必究。图书在版编目(CIP)数据 线性代数/陈万勇主编.修订本.北京：电子工业出版社，2018.8 ISBN 978-7-121-34801-3 I线 II陈 III线性代数高等学校教材 IVO151.2 中国版本图书馆 CIP 数据核字（2018）第 171121 号 策划编辑：王赫男 责任编辑：王赫男 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编 100036 开 本：787980 1/16 印张：14 字数：337 千字 版 次：2013 年 11 月第 1 版 2018 年 8 月第 2 版 印 次：2018 年 8 月第 1 次印刷
3、定 价：39.80 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：(010)88254888，88258888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。本书咨询联系方式：。前 言 为适应我国高等教育飞速发展的需要，根据高等教育面向 21 世纪发展与应用型工程本科的要求，结合卓越工程师教育培养计划对工科学生提出的新要求，我们组织编写了这本教材。本书是 2013 年第 1 版教材的修订版，书中修订了部分疏漏和错误，并增加了详细的习题解答。本书针对使用对象的特点，结合作者多年的教学实践和教学改革的实际经验，强化了数学在各学科中更广
4、泛的应用。在这本教材的编写过程中，将数学实验、数学软件编进教材，并关注了以下几方面的问题：一是面向工程实际，构建线性代数的知识体系；二是结合应用型本科学生的特点，完善线性代数的知识结构；三是针对学生考研的需要，讲解线性代数的解题方法。在人们的传统观念里，学习数学只要书、纸、笔就够了，怎么能像学物理、化学一样要做实验呢？我们说，计算机技术的引入使代数的计算更快捷，这是线性代数教学体系、内容和方法改革的一项尝试。本书引入 MATLAB 软件进行了相应内容实验。本书主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的相似与二次型等。参加本书编写的有黄素珍（第 1 章、第 6 章）、陈万勇（第 2 章）、
5、杨善兵（第 3 章）、韦俊（第 4 章）、陈丽娟（第 5 章），卞小霞审核了附录部分，陈万勇审阅了全书。在本教材编写过程中，得到了学校的重视和基金的支持，并得到了电子工业出版社的鼎力相助，在此一并致谢。限于学识与水平，本书的缺点与错误在所难免。恳请专家和读者批评指正。编 者 2018 年 7 月 V 目 录 第 1 章 行列式 1 1.1 二阶与三阶行列式 1 1.1.1 二元线性方程组与二阶行列式 1 1.1.2 三阶行列式 3 1.2 排列及其性质 4 1.2.1 n 级排列的定义 4 1.2.2 n 级排列的性质 5 1.3 n 阶行列式的定义 5 1.3.1 n 阶行列式的定义 6 1
6、.3.2 特殊行列式 7 1.4 行列式的性质 9 1.4.1 行列式的性质 9 1.4.2 利用行列式的性质计算行列式 10 1.5 行列式按行（列）展开 13 1.5.1 余子式和代数余子式 13 1.5.2 行列式展开定理 13 1.6 克拉默法则 19 1.6.1 线性方程组的基本概念 19 1.6.2 克拉默法则 20 习题 1 23 第 2 章 矩阵及其运算 26 2.1 矩阵的概念 26 2.2 矩阵的运算 27 2.2.1 矩阵的加（减）法 27 2.2.2 数与矩阵的乘法 28 2.2.3 矩阵的乘法 28 2.2.4 矩阵的转置 30 2.2.5 几种特殊的矩阵 31 2.
7、2.6 方阵乘积的行列式 31 2.3 逆矩阵 33 VI 2.3.1 逆矩阵的定义 33 2.3.2 逆矩阵的求法 33 2.4 矩阵的分块法 36 2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 37 2.5.1 矩阵的初等变换与等价 37 2.5.2 初等矩阵 38 2.5.3 在初等行变换下的行阶梯形矩阵与行简化阶梯形矩阵 40 2.5.4 利用初等变换求逆矩阵与解矩阵方程 40 2.6 矩阵的秩 43 习题 2 44 第 3 章 线性方程组与向量组的线性相关性 47 3.1 线性方程组的解 47 3.2 向量组及其线性组合 52 3.3 向量组的线性相关性 56 3.4 向量组的秩 60 3.5
8、向量空间 63 3.6 线性方程组解的结构 65 3.6.1 齐次线性方程组解的结构 65 3.6.2 非齐次线性方程组解的结构 68 习题 3 70 第 4 章 矩阵的特征值与特征向量 74 4.1 向量的内积与正交向量组 74 4.1.1 向量的内积 74 4.1.2 向量的长度 74 4.1.3 正交向量组 75 4.1.4 正交矩阵 77 4.2 方阵的特征值与特征向量 77 4.2.1 矩阵的特征值 77 4.2.2 矩阵特征值与特征向量的性质 81 4.3 相似矩阵与矩阵的对角化 81 4.3.1 相似矩阵 81 4.3.2 相似矩阵性质 82 4.3.3 矩阵的对角化 82 4.
9、3.4 相似矩阵的应用 85 VII 4.4 实对称矩阵的对角化 86 4.4.1 实对称矩阵的性质 86 4.4.2 实对称矩阵的对角化 86 习题 4 88 第 5 章 二次型 90 5.1 二次型及其矩阵表示 90 5.1.1 二次型 90 5.1.2 矩阵表示 90 5.2 二次型的标准形与规范形 92 5.2.1 标准形 92 5.2.2 规范形 97 5.3 正定二次型 98 5.3.1 惯性定理 98 5.3.2 正定二次型与正定矩阵 99 习题 5 101 第 6 章 MATLAB 在线性代数中的应用 103 6.1 矩阵与行列式的运算 103 6.1.1 实验目的 103 6
10、.1.2 实验内容 103 6.2 线性方程组求解 108 6.2.1 实验目的 108 6.2.2 实验内容 108 6.3 求矩阵的特征值、特征向量及矩阵的对角化问题 113 6.3.1 实验目的 113 6.3.2 实验内容 113 习题 6 116 附录 A 各章教学基本要求 119 附录 B 各章内容提要 121 附录 C 各章典型题例与分析 136 附录 D 各章练习与测试 163 附录 E 各章练习与测试答案与提示 171 习题解答 179 参考文献 214 第 1 章 行 列 式 线性代数是中学代数的继续和提高，而行列式是研究线性代数的基础工具，也是线性代数的一个重要概念，它广
11、泛应用于数学、工程技术及经济等众多领域 本章主要介绍n阶行列式的定义、性质及其计算方法此外还要介绍用n阶行列式求解n元线性方程组的克拉默（Cramer）法则 1.1 二阶与三阶行列式 1.1.1 二元线性方程组与二阶行列式 用消元法解二元线性方程组 11 1122121 12222,.a xa xba xa xb (1.1.1)为消去未知数2x，以22a与12a分别乘以上列两方程的两端，然后两个方程相减，得 11 22122111 2212 2()a aa axbaa b；类似地，消去1x，得 11 221221211 21 21()a aa axa bba 当11 2212210a aa a
12、时，求得方程组(1.1.1)的解为 1 2212 2111 221221baa bxa aa a，11 21 21211 221221a bbaxa aa a(1.1.2)式(1.1.2)中的分子、分母都是4个数分两对相乘再相减而得 其中分母11 221221a aa a是由方程组(1.1.1)中的4个系数确定的，把这4个数按它们在方程组(1.1.1)中的位置，排成两行两列（横排称为行行、竖排称为列列）的数表 11122122,aaaa(1.1.3)表达式11 221221a aa a称为数表(1.1.3)所确定的二阶行列式二阶行列式，并记为 11122122.aaaa(1.1.4)线性代数（
13、修订版）2 数ija(1,2;1,2)ij称为行列式(1.1.4)的元素元素或元元 元素ija的第一个下标i称为行标行标，表明该元素位于第i行，第二个下标j称为列标列标，表明该元素位于第j列位于第i行第j列的元素称为行列式(1.1.4)的(,)i j元元 上述二阶行列式的定义，可用对角线法则来记忆参看图1.1.1，把11a到22a的实连线称为主对角线主对角线，12a到21a的虚连线称为副对角线副对角线，于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角线上的两元素之积所得的差 例例 1.1.1 计算二阶行列式3112 解：解：313 211712 例例 1.1.2 设212D，问为何值时0D？
14、解：解：2212(12)2D，令0D，则0或12，故当0或12时，0D 利用二阶行列式的概念，式(1.1.2)中1x，2x的分子也可写成二阶行列式，即 1121 2212 2222babaa bba，11111 2121212aba bbaab 若记 11122122aaDaa,1121222baDba,1112212abDab,那么式(1.1.2)可写成 1122221111122122babaDxaaDaa，1112122211122122ababDxaaDaa 注意，这里的分母D是由方程组(1.1.1)的系数所确定的二阶行列式（称为系数行列式），1x的分子1D是用常数项1b，2b替换D中
15、1x的系数11a，21a所得的二阶行列式，2x的分子2D是用常数项1b，2b替换D中2x的系数12a，22a所得的二阶行列式 例例 1.1.3 求解二元线性方程组 12123212,21.xxxx 图 1.1.1 第1章 行 列 式 3 解：解：由于 323 1227021D ，112212 121 1411D ，23123 1 12 22121D ，因此 111427DxD，222137DxD 1.1.2 三阶行列式 类似地，可以定义三阶行列式 设有9个数排成三行三列的数表 111213212223313233aaaaaaaaa(1.1.5)记 11121321222311 22331223
16、311321 3231323311 23321221 33132231,aaaaaaa a aa a aa a aaaaa a aa a aa a a(1.1.6)式(1.1.6)称为数表(1.1.5)所确定的三阶行列式三阶行列式 上述定义表明三阶行列式含6项，每项均为不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正负号，其规律遵循如图1.1.2所示的对角形法则：图中三条实线可视为平行于主对角线的连线，三条虚线可视为平行于副对角线的连线，实线上三元素的乘积冠正号，虚线上三元素的乘积冠负号 例例 1.1.4 计算三阶行列式 132103215D 解：解：按对角线法则，有 图 1.1.2 线性代数（修订版）4 1 0 53 3 22(1)12 023(1)5 1 3 10182015328.D 例例 1.1.5 求解方程 211123049xx 解：解：方程左端的三阶行列式 2223418921256Dxxxxxx 由2560 xx，解得2x 或3x 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，四阶及更高阶行列式可用其他方法来计算 1.2 排列及其性质 在n阶行列式的定义中，要用到n级排列的一些性质 1.2.