1、新文直高等数学辅导讲义汤家凤编著虑勿 全国考研数学培训用书區 梳理知识体系 H働把握命题规律中国工信出版集团人民邮电出版社POSTS&TELECOM PRESS你-花肆八歸3么?Q新袁直基础强化提粵考研数学高等数学辅导讲义:历凤编著人民邮电出版社北京数学是全国硕士研究生招生考试工程类和经济类考生必考的一门课程，且数学课程 分值为150分,与专业课的分值相同，数学考试的成败直接关系到整个考试的成败。而高 等数学是数学试卷中分值最大的一门课程，其中高等数学在数学一、数学三试卷中的分值 为90分，占总分的60%,在数学二试卷中的分值为120分，占总分的80%,所以高等数学 是整个考研数学的重中之重。
2、高等数学所涉及的内容非常多，知识体系的系统性非常强，且题型多，方法技巧性 高，很多同学虽然在复习高等数学上花费了大量的时间，但收效甚微，甚至对数学产生 畏惧心理。复习高等数学要有正确的方法，抓好复习的几个关键环节，系统全面地掌 握高等数学的理论体系和方法体系，善于归纳和总结，通过努力才能很好地掌握这门 课程。本书是作者根据20余年考研数学辅导的心得和教案精心总结而成的，不仅使理 论更加系统化、通俗化，便于掌握和记忆，还对题型和解题方法进行了全面总结和概 括。认真阅读本书，考生分析问题、解决问题的能力将得到大幅度提高，并能尽快进入 最佳学习状态，达到事半功倍的复习效果。本书的特点如下。(1)每章
3、给出了考查要求，便于考生了解各个知识点的考查范围和要求达到的程度。(2)对每章的基本理论都给出了系统的归纳和总结。理论部分包括基本概念、基本原 理、基本公式，并对重要的原理给出了新的证明，对需要重点掌握的知识点给出了延伸解 读，同时配备基础题，以加强考生对所学知识和原理的理解。(3)重点题型讲解部分给出相应知识点的基本题型和综合题型，掌握重点题型可对 考查的重点和形式有非常深入的了解，更加适应考试要求。尤其重要的是，重点题型 部分给出了很多带新视角的新题型，很多新的题型在以往的考试中已被证明是命题者 思考的方向。本书适用于数学一、数学二、数学三科目的考前辅导，并对不同数学类别考试内容不 同的部
4、分给出了说明。01本书作者在若干年的教学过程中，借鉴和参考了国内外的若干优秀著作，得到了很多 的收获和启发，在此对这些著作的作者表示衷心感谢！由于作者水平有限，教学过程中及本书中难免有些地方需要改进和提高，恳请读者提 出宝贵的意见和建议。汤老师微博汤老师微信公众号汤老师的一直播ID是186288809。汤家凤2021年8月于南京02第一章极限与连续/01第一节函数.01第二节极限.04第三节连续与间断.11重点题型讲解.13题型一极限的概念与性质.13题型二左、右极限.14题型三不定型极限的计算问题.15题型四项和或积的极限计算.20题型五极限存在性问题.23题型六含参数的极限问题.25题型七
5、中值定理法求极限问题.26题型八含变积分限的函数极限问题.27题型九间断点及其分类.28题型十闭区间上连续函数性质.30第二章导数与微分/31第一节导数与微分的基本概念.31第二节求导公式与法则.34第三节隐函数与参数方程确定的函数的求导.36重点题型讲解.38题型一导数与微分的基本概念.38题型二基本求导类型.41题型三导数的几何应用.46题型四高阶导数.47第三章 一元函数微分学的应用/49第一节中值定理.49第二节单调性与极值、凹凸性与拐点、函数作图.54重点题型讲解.5701题型一 证明 广）（）=0.57题型二 待证结论中只有一个中值不含其他字母.59题型三结论中含W，含a,b.63
6、题型四结论中含两个或两个以上中值的问题.65题型五中值定理中关于0的问题.68题型六 拉格朗日中值定理的两种惯性思维.69题型七泰勒公式的常规证明问题.70题型八二阶导数保号性问题.73题型九不等式证明.74题型十函数的零点或方程根的个数问题.78题型十一函数的单调性与极值、渐近线.80第四章不定积分/82第一节不定积分的概念与基本性质.82第二节不定积分基本公式与积分法.83第三节两类重要函数的不定积分有理函数与三角有理函数（数学三不要求）.87重点题型讲解.88题型一不定积分的基本概念与性质.88题型二换元积分法.89题型三分部积分法.91题型四两类特殊函数的不定积分一有理函数与三角有理函
7、数的不定积分（数学三不要求）.93题型五分段函数的积分.96题型六综合型不定积分（数学三不要求）.97第五章定积分及其应用/98第一节定积分的概念与基本性质.98第二节基本理论.101第三节广义积分.104第四节定积分的应用.108重点题型讲解.111题型一定积分的概念与性质.111题型二变积分限的函数问题.112题型三定积分的计算.114题型四定积分的证明.118题型五广义积分.12602题型六定积分的应用.128第六章多元函数微分学/132第一节 多元函数微分学的基本概念.132第二节多元函数基本理论.135第三节多元函数微分学的应用.141第四节多元函数微分学的物理与几何应用（数学二、三
8、不要求）142重点题型讲解.144题型一多元函数极限、连续、可偏导、可微等基本概念的问题.144题型二各种偏导数求法.145题型三求偏导的反问题.150题型四偏导数的代数应用.150题型五多元函数微分学在几何上的应用（数学二、三不要求）.153题型六场论的概念（数学二、三不要求）.154第七章微分方程/155第一节微分方程的基本概念.155第二节一阶微分方程的种类及解法.156第三节可降阶的高阶微分方程（数学三不要求）.159第四节 高阶微分方程.159重点题型讲解.162题型一微分方程的基本概念与性质.162题型二一阶微分方程的求解.162题型三非特定类型微分方程或变换下微分方程的求解.16
9、4题型四可降阶的高阶微分方程求解（数学三不要求）.165题型五高阶线性微分方程求解.165题型六微分方程的应用.167题型七欧拉方程求解（数学二、三不要求）.169第八章重积分/170第一节二重积分.170第二节三重积分（数学二、三不要求）.175二重积分重点题型讲解.179题型一二重积分的概念与性质.179题型二改变积分次序.180题型三二重积分的计算.18203题型四二重积分的综合问题.188题型五二重积分的应用（数学二、三不要求）.189三重积分重点题型讲解（数学二、三不要求）.190题型一三重积分的计算.190题型二三重积分的应用.191第九章级 数（数学二不要求）/193第一节常数项
10、级数.193第二节幕级数.201第三节傅里叶级数（数学三不要求）.205重点题型讲解.207题型一常数项级数的基本性质与敛散性判断.207题型二常数项级数敛散性证明.210题型三幕级数的收敛半径与收敛域.212题型四函数展开成幕级数.212题型五幕级数的和函数.214题型六特殊常数项级数求和.218题型七傅里叶级数（数学三不要求）.219第十章空间解析几何（数学二、三不要求）/221第一节空间解析几何的理论.221第二节向量的应用.223重点题型讲解.227题型一向量的运算与性质.227题型二平面方程.228题型三直线方程.229题型四距离与夹角.229题型五 旋转曲面.230第章曲线积分与曲
11、面积分（数学二、三不要求）/231第一节 曲线积分.231第二节 曲面积分.237第三节场论初步.242重点题型讲解.243题型一对弧长的曲线积分.243题型二二维空间对坐标的曲线积分24404题型三三维空间对坐标的曲线积分.247题型四对坐标的曲线积分的应用.249题型五 对面积的曲面积分.250题型六 对坐标的曲面积分.252题型七场论初步.254第十二章数学的经济应用（数学一、二不要求）/256第一节 差分方程.256第二节边际与弹性.257第三节现值与利息.25905极限与连续:考查要求:(1)理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.(2)了解函数的有界性、单调性、
12、周期性和奇偶性.(3)理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.(4)掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.(5)理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左极限、右 极限之间的关系.(6)掌握极限的性质及四则运算法则.(7)掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的 方法.(8)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求 极限.(9)理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.(10)了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大
13、值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.第一节 函数J、基本概念1.函数设变量工的取值范围为D,若对任意的xED,按照某种对应关系总有唯一确 定的值夕与攵对应，称y为*的函数，记为y=f O,其中D称为函数夕=f的定义域.2.复合函数-设“=(p(工)G 6,y /(u)(u 6 D2)，且对任意的hWjDi，有卩(h)W0，称夕为*的复合函数，记为y=卩(z)l3.反函数设=/&)(工6 D)为单调函数，其值域为R,对任意的y 6 R,有唯一确 定的j?6 D与之对应，称乂为y的反函数，记为x=厂(夕).孙弘求函数y=x 1+ln(3 x2)的定义域.r(2x2 X 1$0,_ 解由
14、得函数的定义域为一罷V x W 或1 W z V 43.【3川。2昭刖求函数y=ln(x+a/j:2+1)的反函数.H 由 y=ln(z+2+1)得x+a/j;2+1=ey,01考研数学高等数学辅导讲义因为(工十 a/j：*2 3+1)(一 z+2+1)=1,所以有(1)若存在常数,对任意的夂e D,有于(工),称/(工)在D上有下界；若存在常 数 皿2,对任意的工G D,有fCx)M2,称于(工)在D上有上界.(2)若|/()|2,则于(工)豪一2且于(工)W2,即若/(工)有界，则于(工)既有下界又有 上界；若y(H)2且yQ)4,则|/()|于(工2)，称=/(-r)在D上单调递减.3.
15、奇偶性设y=心)(工e D),其中D关于原点对称，若/(工)=/(工)，称 y=/()在D上为奇函数;若/(-)=心)，称夕=/(工)在D上为偶函数.设/&)=严工一亍心，判断其奇偶性.I解显然乂 G(一 00,+),且/(-JE)=eSin(_X)_e-sm(F=e-n-gsin=_于(工)，故/(J?)为奇函数.砸 设八工)为连续函数，判断F(a-)=的奇偶性.H 令 g(t)=/(O-/(-n,则 FQ)=g(/)ck,由 g(/)=/(t)_/(/)=/(z)_/(/)=g(t),得 g(/)为奇函数；一 x+丿工2+=厂，两式相减得原函数的反函数为J-xa,a1(a0,a H 1)4
16、基本初等函数称丿log_z(a 0,a工1),为基本初等函数.sin x,cos x,tan x,cot x,sec jc,csc r,、arcsin x,arccos x,arctan jc,arccot x5.初等函数由常数及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而成的式子 构成的函数称为初等函数.二、函数的初等特性1.有界性设y=fCx)(x 6 D),若存在M0,对任意的工C D,总有|/()|0,对任意的#e D,X+T 6 D,有 f(x+T)=于(2),称y=/(_z)为周期函数，T称为=f()的周期.呃 设函数/()是以T为周期的连续函数，且F(x)=Xf(t)dt+bx也是以T为周J a期的函数,求常数b.P+T Cx 工+Tj|由 F(x+T)=f(t)dt+b(x+T)=于(/)曲+处+f(t)dt+bT,J a J a J hCx+T 再由=ff(t)dt 得CTF(x+T)=F(z)+f(t)dt+bT,J 01T当且仅当f(t)dt+bT=0,即bJ 0Tya)ck时,fg)也是以t为周期的函数.0三、特殊函数1.符号函数-称sgn x-1,X 0为符号