1、2010 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（一、选择题（共共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分，分，满分满分 60 分）分）1（5 分）设全集 U=xN+|x6，集合 A=1，3，B=3，5，则U（AB）=（）A1，4 B1，5 C2，4 D2，5 2（5 分）不等式0 的解集为（）Ax|2x3 Bx|x2 Cx|x2 或 x3 Dx|x3 3（5 分）已知 sin=，则 cos（2）=（）A B C D 4（5 分）函数的反函数是（）Ay=e2x11（x0）By=e2x1+1（x0）Cy=e2x11（xR）Dy=e2x1+1（xR
2、）5（5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值为（）A1 B2 C3 D4 6（5 分）如果等差数列an中，a3+a4+a5=12，那么 a1+a2+a7=（）A14 B21 C28 D35 7（5 分）若曲线 y=x2+ax+b 在点（1，b）处的切线方程是 xy+1=0，则（）Aa=1，b=2 Ba=1，b=2 Ca=1，b=2 Da=1，b=2 8（5 分）已知三棱锥 SABC 中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形，SA垂直于底面 ABC，SA=3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为（）A B C D 9（5 分）将标号为 1，2，3，4，
3、5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A12 种 B18 种 C36 种 D54 种 10（5 分）ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB，若=，=，|=1，|=2，则=（）A+B+C+D+11（5 分）与正方体 ABCDA1B1C1D1的三条棱 AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A有且只有 1 个 B有且只有 2 个 C有且只有 3 个 D有无数个 12（5 分）已知椭圆 T：+=1（ab0）的离心率为，过右焦点 F 且斜率为 k（k0）的直线与 T 相交于 A，B 两点，
4、若=3，则 k=（）A1 B C D2 二、填空题（二、填空题（共共 4 小题，小题，每小题每小题 5 分，分，满分满分 20 分）分）13（5 分）已知 是第二象限的角，tan=，则 cos=14（5 分）（x+）9展开式中 x3的系数是 （用数字作答）15（5 分）已知抛物线 C：y2=2px（p0）的准线 l，过 M（1，0）且斜率为的直线与 l 相交于 A，与 C 的一个交点为 B，若，则 p=16（5 分）已知球 O 的半径为 4，圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆，AB 为圆 M与圆 N 的公共弦，AB=4，若 OM=ON=3，则两圆圆心的距离 MN=三、解答题（三、解答题（共共
5、6 小题，小题，满分满分 70 分）分）17（10 分）ABC 中，D 为边 BC 上的一点，BD=33，sinB=，cosADC=，求 AD 18（12 分）已知an是各项均为正数的等比数列 a1+a2=2（），a3+a4+a5=64+）（）求an的通项公式；（）设 bn=（an+）2，求数列bn的前 n 项和 Tn 19（12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D 为 BB1的中点，E 为 AB1上的一点，AE=3EB1（）证明：DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线；（）设异面直线 AB1与 CD 的夹角为 45，求二面角 A1AC1B1的大小 20
6、（12 分）如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T1，T2，T3，T4，电流能通过 T1，T2，T3的概率都是 P，电流能通过 T4的概率是 0.9，电流能否通过各元件相互独立 已知 T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999（）求 P；（）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率 21（12 分）已知函数 f（x）=x2+ax+1lnx（）当 a=3 时，求函数 f（x）的单调递增区间；（）若 f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数 a 的取值范围 22（12 分）已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C：相交于 B、D 两点，且 BD 的中点为 M（1，
7、3）（）求 C 的离心率；（）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，|DF|BF|=17，证明：过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切 2010 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（一、选择题（共共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分，分，满分满分 60 分）分）1（5 分）设全集 U=xN+|x6，集合 A=1，3，B=3，5，则U（AB）=（）A1，4 B1，5 C2，4 D2，5 【考点】1H：交、并、补集的混合运算菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由全集 U=xN+|x6，可得 U=
8、1，2，3，4，5，然后根据集合混合运算的法则即可求解【解答】解：A=1，3，B=3，5，AB=1，3，5，U=xN+|x6=1，2，3，4，5，U（AB）=2，4，故选：C【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础知识，注意细心运算 2（5 分）不等式0 的解集为（）Ax|2x3 Bx|x2 Cx|x2 或 x3 Dx|x3 【考点】73：一元二次不等式及其应用菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】本题的方法是：要使不等式小于 0 即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论 x 的值即可得到解集【解答】解：，得到（x3）（x+2）0 即 x30 且 x+20 解得：x3 且 x2
9、所以无解；或 x30 且 x+20，解得2x3，所以不等式的解集为2x3 故选：A【点评】本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题 3（5 分）已知 sin=，则 cos（2）=（）A B C D 【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GS：二倍角的三角函数菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】先根据诱导公式求得 cos（2a）=cos2a 进而根据二倍角公式把sin 的值代入即可求得答案【解答】解：sina=，cos（2a）=cos2a=（12sin2a）=故选：B【点评】本题考查了二倍角公式及诱导公式考查了学生对三角函数基础公式的记忆 4（5 分）函数的反函数是（）Ay=e2x1
10、1（x0）By=e2x1+1（x0）Cy=e2x11（xR）Dy=e2x1+1（xR）【考点】4H：对数的运算性质；4R：反函数菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】从条件中中反解出 x，再将 x，y 互换即得解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y 换位，2、解：解出 y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数【解答】解：由原函数解得 x=e 2y1+1，f1（x）=e 2x1+1，又 x1，x10；ln（x1）R在反函数中 xR，故选：D【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式 y=f（x）反求出 x=（y）；（2）交换 x=（
11、y）中 x、y 的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）5（5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值为（）A1 B2 C3 D4 【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】31：数形结合【分析】先根据约束条件画出可行域，设 z=2x+y，再利用 z 的几何意义求最值，只需求出直线 z=2x+y 过可行域内的点 B 时，从而得到 m 值即可【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 y=x 与 3x+2y=5 的交点为最优解点，即为 B（1，1），当 x=1，y=1 时 zmax=3 故选：C 【点评】本题考查了线性
12、规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题 6（5 分）如果等差数列an中，a3+a4+a5=12，那么 a1+a2+a7=（）A14 B21 C28 D35 【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前 n 项和菁优网版权所有【分析】由等差数列的性质求解【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，a1+a2+a7=7a4=28 故选：C【点评】本题主要考查等差数列的性质 7（5 分）若曲线 y=x2+ax+b 在点（1，b）处的切线方程是 xy+1=0，则（）Aa=1，b=2 Ba=1，b=2 Ca=1，b=2 Da=1，b=2 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程
13、菁优网版权所有【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用【分析】由 y=x2+ax+b，知 y=2x+a，再由曲线 y=x2+ax+b 在点（1，b）处的切线方程为 xy+1=0，求出 a 和 b【解答】解：y=x2+ax+b，y=2x+a，y|x=1=2+a，曲线 y=x2+ax+b 在点（1，b）处的切线方程为 yb=（2+a）（x1），曲线 y=x2+ax+b 在点（1，b）处的切线方程为 xy+1=0，a=1，b=2 故选：B【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用，解题时要认真审题，仔细解答 8（5 分）已知三棱锥 SABC 中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形
14、，SA垂直于底面 ABC，SA=3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为（）A B C D 【考点】MI：直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由图，过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E，连接 SE，过 A 作 AF 垂直于 SE交 SE 于 F，连 BF，由题设条件证出ABF 即所求线面角由数据求出其正弦值【解答】解：过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E，连接 SE，过 A 作 AF 垂直于 SE 交SE 于 F，连 BF，正三角形 ABC，E 为 BC 中点，BCAE，SABC，BC面 SAE，BCAF，AFSE，AF面 SBC，A
15、BF 为直线 AB 与面 SBC 所成角，由正三角形边长 2，AE=，AS=3，SE=2，AF=，sinABF=故选：D 【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角 9（5 分）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A12 种 B18 种 C36 种 D54 种 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】本题是一个分步计数问题，首先从 3 个信封中选一个放 1，2 有 3 种不同的选法，再从剩下的 4 个数中选两个
16、放一个信封有 C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，先从 3 个信封中选一个放 1，2，有=3 种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有=6 种放法，共有 361=18 故选：B【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的 4 个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列 10（5 分）ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB，若=，=，|=1，|=2，则=（）A+B+C+D+【考点】9B：向量加减混合运算菁优网版权所有【分析】由ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案【解答】解：CD 为角平分线，故选：B【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若 AD 为三角形 ABC 的内角 A 的角平分线，则 AB：AC=BD：CD 11（5 分）与正方体 ABCDA1B1C1D1的三条棱 AB、CC1、