1、2015 考研数学一答案考研数学一答案 一、选择题一、选择题（1）设函数()f x在（-,+）连续，其 2 阶导函数()fx的图形如下图所示，则曲线()yf x的拐点个数为（）（A）0 （B）1 (C)2 (D)3 【答案】C【解析】拐点为正负发生变化的点 21123xxxyexeyaybyce（2）设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则：(A)3,1,1.(B)3,2,1.(C)3,2,1.(D)3,2,1.abcabcabcabc 【答案】（A）【解析】2211,+0231 23,1 22,321.xxxxeeababyxeyyycec 为齐次方程的解，所以2、1为特征方程的根，从
2、而再将特解代入方程得：(x)f11(3)331(A)(B)(C).(D)nnnnnaxxnax若级数条件收敛，则与依次为幂级数的：收敛点，收敛点.收敛点，发散点.发散点，收敛点发散点，发散点.【答案】B【解析】1111121110,210,2331nnnnnnnnnnnnnnaxaxaxnaxxxnax因为条件收敛，故为幂级数的条件收敛点，进而得的收敛半径为，收敛区间为；又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故的收敛区间仍为，因而与依次为幂级数的收敛点，发散点.（4）设 D 是第一象限中曲线21,41xyxy与直线,3yx yx围成的平面区域，函数(,)f x y在 D 上连续，则(,)Df x
3、 y dxdy （A）13sin2142sin2(cos,sin)df rrrdr（B）1sin23142sin2(cos,sin)df rrrdr(C)13sin2142sin2(cos,sin)df rrdr(D)1sin23142sin2(cos,sin)df rrdr【答案】B【解析】由yx得，4 由3yx得，3 由21xy 得，212cos sin1,sin2rr 由41xy 得，214cos sin1,2sin2rr 所以1sin23142sin2(,)(cos,sin)Df x y dxdydf rrrdr（5）设矩阵21111214Aaa，21bdd，若集合1,2，则线性方程组
4、Axb有无穷多个解的充分必要条件为（A）,ad（B）,ad（C）,ad（D）,ad【答案】D【解析】2211111111,12011114001212A badadadaadd Axb有无穷多解()(,)3R AR A b 1a或2a 且1d 或2d （6）设二次型123(,)f x x x在正交变换xPy下的标准形为2221232yyy，其中 123(,)Pe e e，若132(,)Qee e，则123(,)f x x x在正交变换xQy下的标准形为（A）2221232yyy（B）2221232yyy（C）2221232yyy（D）2221232yyy【答案】A【解析】设二次型对应的矩阵为A
5、,123,Pe e e二次型在正交变换xPy下的标准行为2221232,yyy则121,1P AP若132,Qee e则121,1Q AQ故在正交变换xQy下的标准型是：2221232-+y yy，故选A。（7）若,A B为任意两个随机事件，则（A）()()()P ABP A P B（B）()()()P ABP A P B（C）()()()2P AP BP AB（D）()()()2P AP BP AB【答案】C【解析】【解析】)()(),()(ABPBPABPAP 故选(8)X,Y2,1,3,2EXEYDXE X XY设随机变量不相关，且则(A)3(B)3(C)5(D)5【答案】D【解析】22
6、222225E X XYE XXYXE XE XYE XD XEXE X E YE X 二、填空题二、填空题（9）20lncoslimxxx【答案】1-2【解析】（10）2-2sin()1cosxx dxx【答案】24【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.【解析】sinx1+cosx+xdx=2-p2p2xdx0p2=p24（11）若函数(,)zz x y由方程+cos2xexyz xx确定，则(0,1)dz.【答案】-dx（12）设是 由 平 面1xyz与 三 个 坐 标 平 面 所 围 成 的 空 间 区 域，则(23)xyz dxdydz)(2)()(ABP
7、BPAP()()()2P AP BP AB（C）22220001ln coscos112limlimlim2xxxxxxxxx【答案】【答案】14【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算【解析】由轮换对称性，得 x+2y+3z()dxdydzW=6zdxdydzW=6zdz01dxdyDz 其中Dz为平面z=z截空间区域W所得的截面，其面积为121-z()2.所以 x+2y+3z()dxdydzW=6zdxdydzW=6z121-z()2dz=013z3-2z2+z()dz=0114（13）n阶行列式2002-1202002200-12【答案】【答案】n+1
8、22【解析】【解析】按第一行展开得 =2n+1-2 （14）设二维随机变量(,)X Y服从正态分布(1,0;1,1;0)N，则(0)P XYY.【答案】【答案】12【解析】(,)(1,0,1,1,0)X YN(1,1),(0,1),XNYN且,X Y独立 1(0,1)XN 0(1)0P XYYPXY 10,0100P XYP XY ，1111122222 三、解答题三、解答题（15）设函数()ln(1)sinf xxaxbxx，3()g xkx，若()f x与()g x在0 x 是等价无穷小，求a，b，k值。【解析】()ln(1)sinf xxaxbxx 23333233!xxxxa xxbx
9、 xx 233 123aaa xb xxx 3()()f xg xkx与是等价无穷小 1+0110 22133aaabbakk （16）设函数()f x在定义域I上的导数大于零，若对任意的0 xI，曲线()yf x在点00(,()xf x处的切线与直线0 xx及x轴所围成的区域的面积为 4，且(0)2,f求求()f x的表达式。的表达式。【解析】【解析】如下图：处的切线方程为：与轴的交点为：时，则，因此，.即满足微分方程：，解得：.又因，所以，故.（17）已知函数xyyxyxf),(，曲线3:22xyyxC，求),(yxf在曲线C上的最大方向导数.【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数
10、沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.，故 xyyxgradf1,1),(故),(yxf在 曲 线C上 的 最 大 方 向 导 数 为22)1(1xy，其 中yx,满 足322xyyx，即就求函数22)1()1(xyz在约束条件0322xyyx下的最值.构造拉格朗日函数),(yxF)3()1()1(2222xyyxxy 0 xxl000()()()yfxxxf xlx0y 000()()f xxxfx000()()f xABxxfx000011()()()422()f xSABf xf xfx218yy118xcy(0)2y12c 84yx令0302)1(202)1(222xyyxFxyyyF
11、yxxxF可得)1,1(),1,1()2,1(),2,2(,其中)2,1(9)1,2(,0)1,1(,4)1,1(zzzz 综上根据题意可知),(yxf在曲线C上的最大方向导数为3.（18）（本题满分（本题满分 10 分）分）（）设函数(),()u x v x可导，利用导数定义证明 ()()=()()()()u x v xu x v xu x v x（）设函数12(),().()nu x u xu x可导，12()()().(),nf xu x u xu x写出()f x的求导公式.【解析】（19）（本题满分）（本题满分 10 分）分）00()lim()()()lim ()()xxu xxv
12、xxu xv xu xv xxu xxu xv xxu xv xxv xxu xv xu xv x12121212123121212()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()nnnnnnnnfxu xu xu xuxu xu xu xu xu xux u xu xu xu xu xu xux u xu xu x uxu xu x u xu()x已知曲线L的方程为222,zxyzx起点为(0,2,0)A，终点为(0,2,0)B，计算曲线积分2222()()()LIyz dxzxy dyxy dz【详解】曲线L的参数方程为cos,2sin,
13、cos,xyz从2到2 2222()()()LIyz dxzxy dyxy dz 22222322222202(2sincos)sin2sin2cos(cos2sin)sin12sinsin2sinsin2122sin2 2sin2 22 22dddd （20）（本题满分）（本题满分 11 分）分）设向量组123,是 3 维向量空间3的一个基，11322k，222，313(1)k。（）证明向量组123,是3的一个基；（）当 k 为何值时，存在非零向量在基123,与基123,下的坐标相同，并求出所有的。【解析】（）123(,)123201(,)020201kk 因为201210202402120
14、1kkkk，所以123,线性无关，123,是3的一个基。（）设201020201Pkk，P为从基123,到基123,的过渡矩阵，又设在基123,下的坐标为123(,)Txx x x，则在基123,下的坐标为1P x，由1xP x，得Pxx，即()0PE x 由101110100220PEkkkkk ，得0k，并解得10,1xcc为任意常数。从而13,ccc为任意常数。（21）（本题满分 11 分）设矩阵02-3-1331-2Aa相似于矩阵1-2000031Bb.（）求,a b的值.（）求可逆矩阵P，使得1P AP为对角阵.【解析】由相似于 则解得 当 02313312Aa 12000031Bb
15、0311023120,1330012031abba 4,5ab223()|133(1)(5)0124AfEA121,123123()123000123000EA特征向量 当 则特征向量所以得（22）（本题满分 11 分）设随机变量X的概率密度为-2 ln20()=00 xxf xx 对X进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记Y为观测次数.（）求Y的概率分布；（）求EY.【解析】（）（）设级数 所以 （23）（本题满分 11 分）设总体X的概率密度为 12231,001 ，35231231015,()123121011121523000EA 311,1 123231(
16、,)101,011P 1100010005P AP23132ln8xP xdx1222211717()()(1)()(),2,3,4.8888kkkP YkCkk222221717(1)()()(1)()88648kkKkEYk kk k23221112()(1)646464(1)kkkkS xk kxxx7()168S7()168EYS11(;)=10 xf x 其他 其中为未知参数，12.nXXX，为来自该总体的简单随机样本.（）求的矩估计.（）求的最大似然估计.【解析】由题可得（）（）联合概率密度 ，故取 2111111|112211212nniiiixxEXdxxxnn121(,;),1(1)ninf x xxx(1)lnlnfnln01dfnd12min,nx xx