1、2013 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 12 小题小题每小题每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的只有一项是符合要求的 1（5 分）已知集合 M=x|3x1，xR，N=3，2，1，0，1，则MN=（）A2，1，0，1 B3，2，1，0 C2，1，0 D3，2，1 2（5 分）=（）A2 B2 C D1 3（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=2x3y 的最小值是（）A7 B6 C5 D3 4（5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a
2、，b，c，已知 b=2，B=，C=，则ABC 的面积为（）A2+2 B C22 D1 5（5 分）设椭圆 C：=1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是C 上的点 PF2F1F2，PF1F2=30，则 C 的离心率为（）A B C D 6（5 分）已知 sin2=，则 cos2（+）=（）A B C D 7（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 N=4，那么输出的 S=（）A1+B1+C1+D1+8（5 分）设 a=log32，b=log52，c=log23，则（）Aacb Bbca Ccab Dcba 9（5 分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是（1，0
3、，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（）A B C D 10（5 分）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与 C 交于 A，B 两点若|AF|=3|BF|，则 l 的方程为（）Ay=x1 或 y=x+1 By=（x1）或 y=（x1）Cy=（x1）或 y=（x1）Dy=（x1）或 y=（x1）11（5 分）已知函数 f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）Ax0R，f（x0）=0 B函数 y=f（x）的图象是中心对称图形 C若 x0是 f（x）的极小值点，则 f
4、（x）在区间（，x0）上单调递减 D若 x0是 f（x）的极值点，则 f（x0）=0 12（5 分）若存在正数 x 使 2x（xa）1 成立，则 a 的取值范围是（）A（，+）B（2，+）C（0，+）D（1，+）二、填空题：二、填空题：本大题共本大题共 4 小题，小题，每小题每小题 4 分分 13（4 分）从 1，2，3，4，5 中任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是 14（4 分）已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则=15（4 分）已知正四棱锥 OABCD 的体积为，底面边长为，则以 O 为球心，OA 为半径的球的表面积为 16（4 分）函数 y=cos（2x+
5、）（）的图象向右平移个单位后，与函数 y=sin（2x+）的图象重合，则=三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（12 分）已知等差数列an的公差不为零，a1=25，且 a1，a11，a13成等比数列（）求an的通项公式；（）求 a1+a4+a7+a3n2 18（12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别是 AB，BB1的中点（）证明：BC1平面 A1CD；（）AA1=AC=CB=2，AB=，求三棱锥 CA1DE 的体积 19（12 分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1t 该产品获利润 50
6、0 元，未售出的产品，每 1t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品以 X（单位：t，100X150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 （）将 T 表示为 X 的函数；（）根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率 20（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2，在 y 轴上截得线段长为 2（）求圆心 P 的轨迹方程；（）若 P 点到直线 y=x 的距离为，求圆 P 的方程 21（12 分）已知函数
7、f（x）=x2ex（）求 f（x）的极小值和极大值；（）当曲线 y=f（x）的切线 l 的斜率为负数时，求 l 在 x 轴上截距的取值范围 选做题选做题请考生在第请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答题中任选择一题作答，如果多做如果多做，则按所做的则按所做的第一部分，作答时请写清题号第一部分，作答时请写清题号 22【选修 41 几何证明选讲】如图，CD 为ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线 CD 于点 D，E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BCAE=DCAF，B、E、F、C 四点共圆（1）证明：CA 是ABC 外接圆的直径；（2）若 DB=BE=EA，求过 B、
8、E、F、C 四点的圆的面积与ABC 外接圆面积的比值 23 已知动点 P、Q 都在曲线（为参数）上，对应参数分别为=与=2（02），M 为 PQ 的中点（1）求 M 的轨迹的参数方程；（2）将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点 24（14 分）【选修 45；不等式选讲】设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c=1，证明：（）（）2013 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 12 小题小题每小题每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项
9、中分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的只有一项是符合要求的 1（5 分）已知集合 M=x|3x1，xR，N=3，2，1，0，1，则MN=（）A2，1，0，1 B3，2，1，0 C2，1，0 D3，2，1 【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】找出集合 M 与 N 的公共元素，即可求出两集合的交集【解答】解：集合 M=x|3x1，xR，N=3，2，1，0，1，MN=2，1，0 故选：C【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2（5 分）=（）A2 B2 C D1 【考点】A8：复数的模菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析
10、】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果【解答】解：=故选：C【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力 3（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=2x3y 的最小值是（）A7 B6 C5 D3 【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用【分析】先画出满足约束条件：，的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数 z=2x3y 的最小值【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如下图所示，由得，由图可知目标函数在点 A（3，4）取最小值 z=2334=6 故选：B 【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知
11、条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解 4（5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b=2，B=，C=，则ABC 的面积为（）A2+2 B C22 D1 【考点】%H：三角形的面积公式；HP：正弦定理菁优网版权所有【专题】58：解三角形【分析】由 sinB，sinC 及 b 的值，利用正弦定理求出 c 的值，再求出 A 的度数，由 b，c 及 sinA 的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形 AB
12、C 的面积【解答】解：b=2，B=，C=，由正弦定理=得：c=2，A=，sinA=sin（+）=cos=，则 SABC=bcsinA=22=+1 故选：B【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键 5（5 分）设椭圆 C：=1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是C 上的点 PF2F1F2，PF1F2=30，则 C 的离心率为（）A B C D 【考点】K4：椭圆的性质菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设|PF2|=x，在直角三角形 PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆
13、离心率的性质即可求得答案【解答】解：|PF2|=x，PF2F1F2，PF1F2=30，|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c 2a=3x，2c=x，C 的离心率为：e=故选：D【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题 6（5 分）已知 sin2=，则 cos2（+）=（）A B C D 【考点】GE：诱导公式；GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数菁优网版权所有【专题】56：三角函数的求值【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等
14、式代入计算即可求出值【解答】解：sin2=，cos2（+）=1+cos（2+）=（1sin2）=（1）=故选：A【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键 7（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 N=4，那么输出的 S=（）A1+B1+C1+D1+【考点】EF：程序框图菁优网版权所有【专题】27：图表型【分析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序可知当条件满足时，用 S+的值代替 S 得到新的 S，并用 k+1 代替 k，直到条件不能满足时输出最后算出的 S 值，由此即可得到本题答案【解答】解：根据题意，可知该按以下步骤运行 第一次
15、：S=1，第二次：S=1+，第三次：S=1+，第四次：S=1+此时 k=5 时，符合 kN=4，输出 S 的值 S=1+故选：B 【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，以及表格法的运用，属于基础题 8（5 分）设 a=log32，b=log52，c=log23，则（）Aacb Bbca Ccab Dcba 【考点】4M：对数值大小的比较菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可【解答】解：由题意可知：a=log32（0，1），b=log52（0，1），c=log231，所以 a=log32，
16、b=log52=，所以 cab，故选：C【点评】本题考查对数值的大小比较，换底公式的应用，基本知识的考查 9（5 分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（）A B C D 【考点】L7：简单空间图形的三视图菁优网版权所有【专题】11：计算题；13：作图题【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以 zOx 平面为投影面，则得到正视图即可【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以 zOx 平面为投影面，则得到正视图为：故选：A 【点评】本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力 10（5 分）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与 C 交于 A，B 两点若|AF|=3|BF|，则 l 的方程为（）Ay=x1