1、2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.1（5 分）设集合 A=x|x24x+30，B=x|2x30，则 AB=（）A（3，）B（3，）C（1，）D（，3）2（5 分）设（1+i）x=1+yi，其中 x，y 是实数，则|x+yi|=（）A1 B C D2 3（5 分）已知等差数列an前 9 项的和为 27，a10=8，则 a100=（）A100 B99 C98 D
2、97 4（5 分）某公司的班车在 7：00，8：00，8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是（）A B C D 5（5 分）已知方程=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是（）A（1，3）B（1，）C（0，3）D（0，）6（5 分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A17 B18 C20 D28 7（5 分）函数 y=2x2e|x|在2，2的图象大致为（）A B C D 8（5 分）若 ab1，0
3、c1，则（）Aacbc Babcbac Calogbcblogac Dlogaclogbc 9（5 分）执行下面的程序框图，如果输入的 x=0，y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（）Ay=2x By=3x Cy=4x Dy=5x 10（5 分）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点已知|AB|=4，|DE|=2，则 C 的焦点到准线的距离为（）A2 B4 C6 D8 11（5 分）平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A，平面 CB1D1，平面 ABCD=m，平面 ABB1A1=n，则 m、n 所成角的正弦值为（）A B C D
4、12（5 分）已知函数 f（x）=sin（x+）（0，|），x=为 f（x）的零点，x=为 y=f（x）图象的对称轴，且 f（x）在（，）上单调，则 的最大值为（）A11 B9 C7 D5 二、填空题：二、填空题：本大题共本大题共 4 小题，小题，每小题每小题 5 分，分，共共 20 分分.13（5 分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=|2+|2，则 m=14（5 分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是 （用数字填写答案）15（5 分）设等比数列an满足 a1+a3=10，a2+a4=5，则 a1a2an的最大值为 16（5 分）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙
5、两种新型材料生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100元，生产一件产品 B 的利润为 900 元 该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元 三、三、解答题解答题：本大题共本大题共 5 小题，小题，满分满分 60 分，解答须写出文字说明、证明过程或分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤演算步骤.17（12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b
6、，c，已知 2cosC（acosB+bcosA）=c（）求 C；（）若 c=，ABC 的面积为，求ABC 的周长 18（12 分）如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF=2FD，AFD=90，且二面角 DAFE 与二面角 CBEF 都是 60（）证明平面 ABEF平面 EFDC；（）求二面角 EBCA 的余弦值 19（12 分）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件
7、，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数（）求 X 的分布列；（）若要求 P（Xn）0.5，确定 n 的最小值；（）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n=19 与 n=20 之中选其一，应选用哪个？20（12 分）设圆 x2+y2+2x15=0 的圆心为 A，直线 l 过点 B（1，0）且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的
8、平行线交 AD 于点 E（）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程；（）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围 21（12 分）已知函数 f（x）=（x2）ex+a（x1）2有两个零点（）求 a 的取值范围；（）设 x1，x2是 f（x）的两个零点，证明：x1+x22 请考生在请考生在 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-1：几何证明选讲：几何证明选讲 22（10 分
9、）如图，OAB 是等腰三角形，AOB=120以 O 为圆心，OA 为半径作圆（）证明：直线 AB 与O 相切；（）点 C，D 在O 上，且 A，B，C，D 四点共圆，证明：ABCD 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 23在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数，a0）在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：=4cos（）说明 C1是哪种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；（）直线 C3的极坐标方程为=0，其中 0满足 tan0=2，若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，求 a 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 24已
10、知函数 f（x）=|x+1|2x3|（）在图中画出 y=f（x）的图象；（）求不等式|f（x）|1 的解集 2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.1（5 分）设集合 A=x|x24x+30，B=x|2x30，则 AB=（）A（3，）B（3，）C（1，）D（，3）【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】11：计算题；4
11、O：定义法；5J：集合【分析】解不等式求出集合 A，B，结合交集的定义，可得答案【解答】解：集合 A=x|x24x+30=（1，3），B=x|2x30=（，+），AB=（，3），故选：D【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题 2（5 分）设（1+i）x=1+yi，其中 x，y 是实数，则|x+yi|=（）A1 B C D2 【考点】A8：复数的模菁优网版权所有【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数【分析】根据复数相等求出 x，y 的值，结合复数的模长公式进行计算即可【解答】解：（1+i）x=1+yi，x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|
12、=|1+i|=，故选：B【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出 x，y 的值是解决本题的关键 3（5 分）已知等差数列an前 9 项的和为 27，a10=8，则 a100=（）A100 B99 C98 D97 【考点】83：等差数列的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列【分析】根据已知可得 a5=3，进而求出公差，可得答案【解答】解：等差数列an前 9 项的和为 27，S9=9a5 9a5=27，a5=3，又a10=8，d=1，a100=a5+95d=98，故选：C【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键
13、 4（5 分）某公司的班车在 7：00，8：00，8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是（）A B C D 【考点】CF：几何概型菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】求出小明等车时间不超过 10 分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案【解答】解：设小明到达时间为 y，当 y 在 7：50 至 8：00，或 8：20 至 8：30 时，小明等车时间不超过 10 分钟，故 P=，故选：B【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题 5（5 分）已知方程=1 表示双曲线
14、，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是（）A（1，3）B（1，）C（0，3）D（0，）【考点】KB：双曲线的标准方程菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由已知可得 c=2，利用 4=（m2+n）+（3m2n），解得 m2=1，又（m2+n）（3m2n）0，从而可求 n 的取值范围【解答】解：双曲线两焦点间的距离为 4，c=2，当焦点在 x 轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2n），解得：m2=1，方程=1 表示双曲线，（m2+n）（3m2n）0，可得：（n+1）（3n）0，解得：1n3，即 n 的取值范围
15、是：（1，3）当焦点在 y 轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2n），解得：m2=1，无解 故选：A【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题 6（5 分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A17 B18 C20 D28 【考点】L!：由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球
16、去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2 它的表面积是：422+=17 故选：A 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力 7（5 分）函数 y=2x2e|x|在2，2的图象大致为（）A B C D 【考点】3A：函数的图象与图象的变换菁优网版权所有【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案【解答】解：f（x）=y=2x2e|x|，f（x）=2（x）2e|x|=2x2e|x|，故函数为偶函数，当 x=2 时，y=8e2（0，1），故排除 A，B；当 x0，2时，f（x）=y=2x2ex，f（x）=4xex=0 有解，故函数 y=2x2e|x|在0，2不是单调的，故排除 C，故选：D【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答 8（5 分）若 ab1，0c1，则（）Aacbc Babcbac Calogbcblogac Dlogaclogbc 【考点】R3：不等式的基本性质菁优网版权所有【专题】33：函数思想；35：转化思