1、2011 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（一、选择题（共共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分，分，满分满分 60 分）分）1（5 分）复数 z=1+i，为 z 的共轭复数，则 z z1=（）A2i Bi Ci D2i 2（5 分）函数 y=（x0）的反函数为（）Ay=（xR）By=（x0）Cy=4x2（xR）Dy=4x2（x0）3（5 分）下面四个条件中，使 ab 成立的充分而不必要的条件是（）Aab+1 Bab1 Ca2b2 Da3b3 4（5 分）设 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 a1=1，公差 d=2，Sk+2Sk
2、=24，则 k=（）A8 B7 C6 D5 5（5 分）设函数 f（x）=cosx（0），将 y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 的最小值等于（）A B3 C6 D9 6（5 分）已知直二面角 l，点 A，ACl，C 为垂足，B，BDl，D为垂足，若 AB=2，AC=BD=1，则 D 到平面 ABC 的距离等于（）A B C D1 7（5 分）某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有（）A4 种 B10 种 C18 种 D20 种 8（5 分）曲线 y=e2x+1 在点（0，2）
3、处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为（）A B C D1 9（5 分）设 f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f（x）=2x（1x），则=（）A B C D 10（5 分）已知抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，直线 y=2x4 与 C 交于 A，B 两点，则 cosAFB=（）A B C D 11（5 分）已知平面 截一球面得圆 M，过圆心 M 且与 成 60二面角的平面 截该球面得圆 N，若该球的半径为 4，圆 M 的面积为 4，则圆 N 的面积为（）A7 B9 C11 D13 12（5 分）设向量，满足|=|=1，=，=60，则|的最大值等于（）A2
4、B C D1 二二、填空题填空题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）注意：在试题卷上作答无效）13（5 分）的二项展开式中，x 的系数与 x9的系数之差为 14（5 分）已知（，），sin=，则 tan2=15（5 分）已知 F1、F2分别为双曲线 C：的左、右焦点，点 AC，点 M 的坐标为（2，0），AM 为F1AF2的平分线，则|AF2|=16（5 分）已知 E、F 分别在正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 BB1、CC1上，且 B1E=2EB，CF=2FC1，则面 AEF 与
5、面 ABC 所成的二面角的正切值等于 三、解答题（三、解答题（共共 6 小题，小题，满分满分 70 分）分）17（10 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c 已知 AC=，a+c=b，求 C 18（12 分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3设各车主购买保险相互独立（）求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；（）X 表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数求 X 的期望 19（12 分）如图，四棱锥 SABCD 中，ABCD，BCCD，侧面 SAB 为等边三角形，AB=
6、BC=2，CD=SD=1（）证明：SD平面 SAB；（）求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小 20（12 分）设数列an满足 a1=0 且（）求an的通项公式；（）设，记，证明：Sn1 21（12 分）已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 C：在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，点 P 满足（）证明：点 P 在 C 上；（）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上 22（12 分）（）设函数，证明：当 x0 时，f（x）0（）从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取
7、 20 次，设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 p，证明：2011 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（一、选择题（共共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分，分，满分满分 60 分）分）1（5 分）复数 z=1+i，为 z 的共轭复数，则 z z1=（）A2i Bi Ci D2i 【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】求出复数 z 的共轭复数，代入表达式，求解即可【解答】解：=1i，所以=（1+i）（1i）1i1=i 故选：B【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的
8、混合运算，考查计算能力，常考题型 2（5 分）函数 y=（x0）的反函数为（）Ay=（xR）By=（x0）Cy=4x2（xR）Dy=4x2（x0）【考点】4R：反函数菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由原函数的解析式解出自变量 x 的解析式，再把 x 和 y 交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）【解答】解：y=（x0），x=，y0，故反函数为 y=（x0）故选：B【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域 3（5 分）下面四个条件中，使 ab 成立的充分而不必要的条件是（）Aab+1 Bab1 Ca2b2 Da3b3 【考点】2
9、9：充分条件、必要条件、充要条件菁优网版权所有【专题】5L：简易逻辑【分析】利用不等式的性质得到 ab+1ab；反之，通过举反例判断出 ab推不出 ab+1；利用条件的定义判断出选项【解答】解：ab+1ab；反之，例如 a=2，b=1 满足 ab，但 a=b+1 即 ab 推不出 ab+1，故 ab+1 是 ab 成立的充分而不必要的条件 故选：A【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法 4（5 分）设 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 a1=1，公差 d=2，Sk+2Sk=24，则 k=（）A8 B7 C6 D5 【考点】85：等差数列的前 n 项和菁优网版
10、权所有【专题】11：计算题【分析】先由等差数列前 n 项和公式求得 Sk+2，Sk，将 Sk+2Sk=24 转化为关于 k的方程求解【解答】解：根据题意：Sk+2=（k+2）2，Sk=k2 Sk+2Sk=24 转化为：（k+2）2k2=24 k=5 故选：D【点评】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题 5（5 分）设函数 f（x）=cosx（0），将 y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 的最小值等于（）A B3 C6 D9 【考点】HK：由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式菁优网版权所有【专题】56：三角函数的
11、求值【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果【解答】解：f（x）的周期 T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，kZ令 k=1，可得=6 故选：C【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型 6（5 分）已知直二面角 l，点 A，ACl，C 为垂足，B，BDl，D为垂足，若 AB=2，AC=BD=1，则 D 到平面 ABC 的距离等于（）A B C D1 【考点】MK：点、线、面间的距离计算菁优网版权所有【专题】11：计算题；13：作图题；35
12、：转化思想【分析】画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出 D 到平面 ABC 的距离【解答】解：由题意画出图形如图：直二面角 l，点 A，ACl，C 为垂足，B，BDl，D 为垂足，若 AB=2，AC=BD=1，则 D 到平面 ABC 的距离转化为三棱锥 DABC 的高为 h，所以 AD=，CD=，BC=由 VBACD=VDABC可知 所以，h=故选 C【点评】本题是基础题，考查点到平面的距离，考查转化思想的应用，等体积法是求解点到平面距离的基本方法之一，考查计算能力 7（5 分）某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友
13、1 本，则不同的赠送方法共有（）A4 种 B10 种 C18 种 D20 种 【考点】D3：计数原理的应用菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】本题是一个分类计数问题，一是 3 本集邮册一本画册，让一个人拿一本画册有 4 种，另一种情况是 2 本画册 2 本集邮册，只要选两个人拿画册 C42种，根据分类计数原理得到结果【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，一是 3 本集邮册一本画册，从 4 位朋友选一个有 4 种，另一种情况是 2 本画册 2 本集邮册，只要选两个人拿画册 C42=6 种，根据分类计数原理知共 10 种，故选：B【点评】本题考查分类计数问题，是一个基础题，这种题目可以
14、出现在选择或填空中，也可以出现在解答题目的一部分中 8（5 分）曲线 y=e2x+1 在点（0，2）处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为（）A B C D1 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】根据导数的几何意义求出函数 f（x）在 x=0 处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与 y 轴和直线 y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可【解答】解：y=e2x+1y=（2）e2x y|x=0=（2）e2x|x=0=2 曲线 y=e2x+1 在点（0，2）处的切线方程为 y2=2（x0）
15、即 2x+y2=0 令 y=0 解得 x=1，令 y=x 解得 x=y=切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为1=故选：A【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题 9（5 分）设 f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f（x）=2x（1x），则=（）A B C D 【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由题意得 =f（）=f（），代入已知条件进行运算【解答】解：f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f（x）=2x（1x），=f（）=f（）=2（1）=
16、，故选：A【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值 10（5 分）已知抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，直线 y=2x4 与 C 交于 A，B 两点，则 cosAFB=（）A B C D 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】根据已知中抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，直线 y=2x4 与 C 交于 A，B两点，我们可求出点 A，B，F 的坐标，进而求出向量，的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案【解答】解：抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，F 点的坐标为（1，0）又直线 y=2x4 与 C 交于 A，B 两点，则 A，B 两点坐标分别为（1，2）（4，4），则=（0，2），=（3，4），则 cosAFB=，故选：D【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，其中构造向量然后利用向量法处理是解答本题的重要技巧 11（5 分）已知平面 截一球面得圆 M，过圆心 M 且与 成 60二面角的平面 截该球面得圆 N，若该球的半径为 4，圆 M 的面积为 4，则圆 N 的面积为（）A7 B9 C11 D13 【