1、绝密启用前绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要
2、求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则=A B C D 2设复数 z 满足，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则 A B C D 3已知，则 A B C D 24260MxxNx xx，MN43xx 42xx 22xx 23xx=1iz 22+11()xy221(1)xy22(1)1yx 22(+1)1yx 0.20.32log 0.220.2abc，abcacbcabbca4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐
3、至足底的长度之比是（0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是 A165 cm B175 cm C185 cm D190 cm 5函数 f(x)=在的图像大致为 A B C D 6我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是 2sincosxxxx512512512,A B C D
4、 7已知非零向量 a，b 满足，且b，则 a 与 b 的夹角为 A B C D 8如图是求的程序框图，图中空白框中应填入 AA=BA=CA=DA=9记为等差数列的前 n 项和已知，则 A B C D 10已知椭圆 C 的焦点为，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点若，则 C 的方程为 A B C D 11关于函数有下述四个结论：nS516113221321116|2|ab()ab63235611212212A12A112A112Ana4505Sa，25nan310nan228nSnn2122nSnn121,01,0FF()，()22|2|AFF B1|ABBF2212xy22132xy22
5、143xy22154xy()sin|sin|f xxxf(x)是偶函数 f(x)在区间（,）单调递增 f(x)在有 4 个零点 f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A B C D 12已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F分别是 PA，PB 的中点，CEF=90，则球 O 的体积为 A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13曲线在点处的切线方程为_ 14记 Sn为等比数列an的前 n 项和若，则 S5=_ 15甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时
6、，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 41 获胜的概率是_ 16已知双曲线 C：的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点若，则 C 的离心率为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17(12 分)的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 2,686462
7、623()exyxx(0)0，214613aaa，22221(0,0)xyabab1F AAB 120FB F B ABC22(sinsin)sinsinsinBCABC（1）求 A；（2）若，求 sinC 18（12 分）如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点 （1）证明：MN平面 C1DE；（2）求二面角 A-MA1-N 的正弦值 19（12 分）已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P（1）若|AF|+|BF|=4，求 l
8、 的方程；（2）若，求|AB|20（12 分）已知函数，为的导数证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有 2 个零点 21（12 分）323APPB 22abc()sinln(1)f xxx()fx()f x()fx(1,)2()f x为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以
9、甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和，一轮试验中甲药的得分记为 X（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，表示“甲药的累计得分为 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，其中，假设，(i)证明：为等比数列；(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐
10、标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值 23选修 45：不等式选讲（10 分）已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明：2221141txttyt，2 cos3 sin11011X(0,1,8)ip i i00p 81p 11iiiipapbpcp(1,2,7)i(1)aP X(0)bP X(1)cP X0.50.81iipp(0,1,2,7)i 4p4p（1）；（2）2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理
11、科数学参考答案 一、选择题 1C2C3B4B5D6A7B8A9A10B11C12D 二、填空题 13y=3x 14 150.18 162 三、解答题 17解：（1）由已知得，故由正弦定理得 由余弦定理得 因为，所以（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，即，可得 由于，所以，故 222111abcabc333()()()24abbcca1213222sinsinsinsinsinBCABC222bcabc2221cos22bcaAbc0180A60A120BC2sinsin 1202sinACC631cossin2sin222CCC2cos602C 0120C2sin602Csinsin6060
12、CC 18解：（1）连结B1C，ME 因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且ME=B1C 又因为N为A1D的中点，所以ND=A1D 由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，MNED 又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE（2）由已知可得DEDA 以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则 ，A1(2,0,4)，sin60cos60cos60sin60CC6241212DA(2,0,0)A(1,3,2)M(1,0,2)N1(0,0,4)A A 1(1,3,2)AM 1(1,0,2)A N (0,3,
13、0)MN 设为平面A1MA的法向量，则，所以可取 设为平面A1MN的法向量，则 所以可取 于是，所以二面角的正弦值为 19解：设直线（1）由题设得，故，由题设可得 由，可得，则 从而，得 所以 的方程为（2）由可得(,)x y zm1100AMA Amm32040 xyzz，(3,1,0)m(,)p q rn100MNAN ，nn3020qpr，(2,0,1)n2 315cos,|525 m nm nm n1AMAN10511223:,2l yxt A x yB xy3,04F123|2AFBFxx1252xx2323yxtyx22912(1)40 xtxt1212(1)9txx 12(1)5
14、92t 78t l3728yx3APPB 123yy 由，可得 所以从而，故 代入的方程得 故 20解：（1）设，则，.当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，设为.则当时，；当时，.所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.（2）的定义域为.（i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当时，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点.2323yxtyx2220yyt122yy2232yy211,3yy C1213,3xx4 13|3AB()()g xf x1()cos1g xxx21sin()(1xxg x 1,2x()g x(0)0,()02gg()g x1,2(1,
15、)x()0g x,2x()0g x()g x(1,),2()g x1,2()f x1,2()f x(1,)(1,0 x()f x(1,0)(0)0f(1,0)x()0f x()f x(1,0)(0)=0f0 x()f x(1,0（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，所 以 存 在，使 得，且 当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.又，所以当时，.从而，在没有零点.（iii）当时，所以在单调递减.而，所以在有唯一零点.（iv）当时，所以0，从而在没有零点.综上，有且仅有2个零点.21解：X 的所有可能取值为.所以的分布列为 0,2x()f x(0,),2(0)=0f 02f,
16、2()0f(0,)x()0f x,2x()0f x()f x(0,),2(0)=0f1 ln 1022f 0,2x()0f x()f x0,2,2x()0f x()f x,202f()0f ()f x,2(,)x ln(1)1x()f x()f x(,)()f x1,0,1(1)(1)(0)(1)(1)(1)(1)P XP XP X ，X（2）（i）由（1）得.因此，故，即.又因为，所以为公比为 4，首项为的等比数列（ii）由（i）可得.由于，故，所以 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.22解：（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为.的直角坐标方程为.（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）.0.4,0.5,0.1abc11=0.4+0.5+0.1iiiipppp110.10.4iiiipppp114iiiipppp1010ppp1(0,1,2,7)iippi1p 8887761008776101341ppppppppppppppp8=1p1