1、第 卷第期 年月 收稿日期：基金项目：南京航空航天大学研究生科研与实践创新项目（）；中国航空科学基金项目（）作者简介：钱鸿巍（），男，江苏南通人，硕士研究生，研究方向为智能机器人技术；李成刚（），男，江苏南京人，副教授，硕士研究生导师，研究方向为工业机器人技术和传感器技术。机器人负载惯性参数的快速辨识钱鸿巍，李成刚，杜兆才，李檬，储亚东（南京航空航天大学机电学院，江苏 南京 ；中国航空制造技术研究院数字化制造航空科技重点实验室，北京 ）摘要：机器人的惯性参数辨识是基于动力学模型控制器设计的基础，除了需要辨识机器人自身的惯性参数外，还需要快速准确地辨识负载的惯性参数。针对需要更换负载的工作场景，
2、提出了一种快速辨识负载的激励轨迹，该轨迹不需要经过优化，即可在短时间内覆盖更多的机器人运动状态，从而获得更为全面的采样参数集，提高了辨识效率的同时增强了辨识模型的泛化能力。实验表明，辨识的结果与负载模型的 参数符合，机器人关节理论力矩能较好地拟合实际驱动力矩，验证了负载参数的正确性。关键词：机器人；动力学；参数辨识；激励轨迹中图分类号：文献标志码：文章编号：（），（，；，）：，：；引言机器人是一个强耦合、多变量的非线性系统，且惯性参数难以准确测量，为了建立准确的机器人动力学模型，实现机器人的高精度控制，需对其进行参数辨识研究 。由于机器人负载可能不停地发生变化，除了需要辨识机器人连杆自身的惯性
3、参数外，还需要快速准确地辨识负载的惯性参数。机器人负载惯性参数的辨识方法主要有 软件辨识法、物理实验法和动力学模型辨识理论法。第种方法利用三维仿真软件研究机器人的惯性参数，但并不是所有负载三维模型都能准确 （）获得；第种方法用实验装置或实验平台直接测量负载的惯性参数，此方法步骤复杂且有局限性；负载的动力学模型辨识理论法与机器人自身的惯性参数辨识在方法上是一致的，关于动力学模型辨识理论法的研究主要包括负载的动力学建模与求解个方面。主流的机器人动力学建模方法包括拉格朗日法和牛顿欧拉法。等对机器人模型进行线性化，同时提出了最小惯性参数矩阵，简化了动力学模型的理论表达；等给出了用修改的参数完全确定机器
4、人组最小惯性参数集的递推公式；等 在此基础上给出了组更为简单的递推公式，进一步简化了求解步骤，提高了求解效率。激励轨迹的设计与优化方面，采用有限项多项式级数作为激励轨迹，使得轨迹表达形式简单。等 采用有限项傅里叶级数作为激励轨迹，并用与激励轨迹相同基频、相同次数的傅里叶级数拟合实际轨迹，然后对拟合的结果求导得到关节角速度和关节角加速度。吴文祥等 采用改进的傅里叶级数作为激励轨迹，使得轨迹可优化的同时满足柔性起停条件。激励轨迹优化的方法包括遗传算法、粒子群算法 以及改进灰狼算法 等，由于轨迹的优化比较耗时，故适用于不经常更换负载的场景。若经常更换负载，每次换负载后机器人的可工作空间发生变化，采用
5、原来的激励轨迹可能发生碰撞，因此，每次换负载后都需要对激励轨迹重新优化。针对需要经常更换机器人负载的场景，如人机协作装配等，本文提出了一种快速辨识负载激励轨迹。机器人动力学建模对于自由度的机器人，其线性化动力学模型可以表示为 （，?，）（）为关节输入力矩向量；（，?，）为关节观测矩阵；、?、分别为机器人各关节的角度、角速度、角加速度；为机器人连杆的最小惯性参数集。当机器人加上负载后，各关节力矩 包括机器人连杆力矩 和负载对关节的力矩 ，这种力矩相互独立。此外，负载对机器人末端产生的力和力矩与负载对机器人关节产生的力矩存在线性关系，可归纳为：（）（）（）（）为机器人的雅可比矩阵；和 分别为负载施
6、加在末端的力和力矩。根据牛顿欧拉动力学方程，负载对末端产生的力和力矩表达式为 （?（）?（）（?）（），为机器人末 端的 角 速度；?，?，?为机器人末端的角加速度；?，?，?为机器人线加速度；，为机器人末端负载的质心位置；为负载相对于末端坐标系原点的惯性张量矩阵。机器人末端的速度、加速度，可通过以下递推公式求得，即?（）（）、?、?分别为第个关节坐标系原点的角速度、线速度、角加速度和线加速度；为第个关节坐标系的轴；、?、分别为机器人第个关节绕轴的角度、角速度、角加速度；为第个关节坐标系与第个关节坐标系原点的连线。式（）中所有矢量均为在基坐标系中的表示，而式（）中所有矢量均为在末端坐标系中的表
7、示，因此，通过递推公式得到的机器人末端速度、，加速度?、?在坐标系 中的表示需左乘转换矩阵从基坐标系转换到末端坐标系后才能代入式（），即，?，?（）式（）可以整合为关于机器人惯性参数的线性形式，即 （，?，）（），为负载质量，、为惯性张量矩阵中各项；（，?，）为负载观测矩阵。将式（）代入式（）可得（）（，?，）（）（）（，?，）为行 列的矩阵；为行列的向量，若机器人只采用后个关节进行负钱鸿巍等：机器人负载惯性参数的快速辨识机电一体化载辨识，只需要取式（）的后行，记（，?，）为矩阵（）（，?，）的后行，为向量 的后行，可以得到以下方程，即（，?，）（）辨识的过程中，机器人先空载运行采样力矩，再装
8、上负载运行采样力矩，次采样的力矩作差可得到负载对关节的力矩 ，根据位置序列可计算得到（，?，），惯性 参数 集可 根 据 最 小 二 乘法求得。激励轨迹由于是面向人机协作装配等经常更换负载的场景，负载需要经常变化，因此辨识负载的时间需要尽可能短；其次，由于负载的尺寸大小不同，机器人的工作空间范围会发生变化，若采用有限傅里叶级数等常见的激励轨迹，每次更换负载后，均需对激励轨迹进行优化，这将特别耗时。本文采用关节、静止，关节、运动的策略对负载进行辨识，激励轨迹方面，本文采用频率互为质数的三角函数作为激励轨迹。对于后个关节，若轨迹频率不互为质数，机器人后个关节将重复运行某一特定轨迹，辨识的参数适用于
9、该轨迹，却不适用于其他轨迹，即参数的过拟合；若频率互为质数，可使机器人在短时间内有更多的运动状态，从而获得更为全面的参数集，提高辨识后模型的泛化能力；三角函数的各项参数可调节，其具体形式为（）（）（）、分别为轨迹幅值、频率、相位和偏置。激励轨迹的设计还需满足柔性启停条件，激励轨迹的柔性启停条件可表述为（）（）?（）?（）（）（）（）为机器人初始关节角向量；为个运动周期。个运动周期结束后，机器人回到初始位姿，由于三角函数不能满足柔性启停条件，因此，需要在三角函数开始处和结束处添加五次多项式作为过渡，五次多项式的具体形式为（）（）为五次多项式的各项系数。起始时，轨迹的位置、速度和加速度均应为，且轨
10、迹应从五次多项式顺滑地过渡到三角函数，假设过渡的时刻为，则对于五次多项式，有以下约束，即（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）根据上述约束不难求得 （）除了满足以上约束外，机器人的每个关节在三角函数段的运行时间需相同，假设从三角函数过渡到五次多项式的时刻为，对于每个关节的三角函数段，有（.）（）.为周期数，即固定的时间段内关节往返运动的次数，多出的.个周期是为了让三角函数段成为轴对称图形，这样第二段五次多项式函数也与第一段五次多项式函数对称，简化了设计步骤。频率可以将三角函数段的起始时间、结束时间以及代入式（）求得，即（.）（），不难看出，与呈正相关；对于后个关节，轨迹的表达式为（）（）（）
11、（）（）（）（）为机器人第个关节的激励轨迹；、分别为第个关节三角函数段的运动幅值、运动偏置量及轨迹频率；、为第个关节五次多项式段的各项系数，可由式（）计算得。所有参数中，、为可调参数，不同的、对应的图像分别如图图所示。图中，代表轨迹在三角函数段往复运动的最大行程，越大轨迹往复运动的范围越大，辨识效果越好，但也越容易发生碰撞。图中，代表轨 （）图不同的幅值对应的图像图不同的偏置对应的图像图不同的对应的图像迹的偏置距离，即关节往复运动的中心点，轨迹既可以在零点附近往复运动，也可以在远离零点处往复运动。由式（）知，与频率呈正相关，图中，频率越高，同样的时间段内轨迹往复运动的次数增多，因此速度也越快。
12、、需根据负载的形状尺寸进行微调；初始时，的设定应让机器人可运动范围更大；为了防止碰撞，可设置为一个较小的值，后续逐渐放大。参数辨识实验本文以安徽合动智能科技有限公司的 串联机器人为研究对象，如图 所示；其 参数模型如图 所示，轴轴为各关节坐标系的轴，即图 中的；采用长方体铁块作为机器人负载，如图 所示。图机器人及负载机器人轴、轴、轴不参与辨识，但需要先运动到一个固定位置，使得负载的可运动空间更开阔，前轴运动的具体位置需视负载尺寸大小而定，运动轨迹仍然采用式（）作为解析式，只需将式中的幅值置即可，本实验中前个轴的运动轨迹如图所示。机器人后个轴的轨迹的运动频率需互为质数，这样可以使机器人辨识时包括
13、更多的运动状态，采样的数据集更全面，机器人三角函数段的周期数在实验前给出，的比值与对应的频率比值为（）图机器人关节、的运动轨迹、需根据负载的形状尺寸进行调整，为了防止负载碰撞，起始时幅值设置为一个较小的值，实验中若运动空间足够，可逐渐增大。幅值越大，各轴角度、速度和加速度的范围越大，在不发生碰撞以及关节速度不超过最高速度的情况下，幅值越大辨识效果越好。后轴偏置的设置同样需使负载的可运动空间更开阔，实验中后个轴的运动轨迹如图所示。实验中激励轨迹各参数最终整定值如表所示。根据负载尺寸以及工作空间约束整定好各项参数后，分别空载和带负载运行一遍同样的激励轨迹，将次运行的轨迹采样到的力矩序列相减即得到负
14、载对关节的力矩序列 （），（），钱鸿巍等：机器人负载惯性参数的快速辨识机电一体化图机器人关节、的运动轨迹表根据负载尺寸整定的各项轨迹参数值轴号.（），其中，为对应的采样时间，同时，也采样到了位置序列（），（），（），对位置序列进行五点三次平滑后微分，可以得到速度序列，同理，对速度序列五点三次平滑后微分，可以得到加速度序列。对于序列，五点三次平滑法可以表述为 （）（）（）（）（）（）（）若机器人各连杆及关节的动力学模型准确已知，机器人只需要带负载运行一遍激励轨迹，空载的力矩序列可以将位置序列代入机器人连杆动力学模型求得。将运行一遍激励轨迹采样到的带负载的关节力矩序列减去求得的空载力矩序列，同样可
15、以 求 得 负 载 对 关 节 的 力 矩 序 列 （），（），（），将位置、速度、加速度和力矩序列代入式（）得到（），?（），（）（），?（），（）（），?（），（）（）（）（）（）式（）是一个超定方程组，可以通过最小二乘法解得，解得的各惯性参数的值如表所示。将负载惯性参数的辨识值与负载模型的 值对比后发现，辨识出的值整体符合负载模型的 值，也有一些项 值与辨识值差距比较大，如质量，这可能因为辨识值中有其他耦合因素，如摩擦、负载的空气阻力等，另一方面，由于是直接采样的关节驱动电流，与力矩传感器相比，精度较低，辨识的值与 值相比整体偏小。表负载惯性参数 值与辨识值惯性参数 值辨识值 （）（）（
16、）（）（）（）由于是采用后个关节辨识的参数，辨识的动力学模型可能更适用于后个关节而不适用于前个关节，为了进一步验证辨识的负载模型的泛化能力以及对机器人各关节力矩的预测效果，机器人的后个关节辨识出负载的惯性参数后，采用机器人的前个关节对辨识出的负载模型进行验证。在空载的情况下，机器人后个关节静止，前个关节同时运行轨迹（）（），在带负载的情况下，机器人前个关节再运行同样的轨迹，将次采样到的力矩序列相减可以得到机器人负载对前个关节的实际力矩。将采样到的位置序列代入到负载动力学模型式（）中，可以得到机器人负载对前个关节的理论力矩，负载对机器人前个轴的实际力矩与理论力矩如图所示。由图可知，前个轴的理论力矩能较好地拟合采样到的驱动力矩，轴的力矩最小，轴的力矩最大，这是因为轴的旋转轴垂直于地面，不承受各杆的重力，而轴的力臂较长，各杆重力对轴的力矩较大。（）图前个轴的驱动力矩与理论力矩结束语本文提出了一种快速辨识机器人负载的激励轨迹，激励轨迹由五次多项式和频率互为质数的三角函数拼接而成，函数各段能平滑过渡，满足柔性起停条件的同时，整段轨迹短时间内覆盖了较多的机器人运动状态，辨识出的动力学模型具有较强的