1、山东大学学报（理学版）年 月 第 卷 第 期：（），：山东大学科技期刊社版权所有：收稿日期：；网络出版时间：网络出版地址：基金项目：安徽省自然科学基金资助项目（）；安徽省高校优秀青年人才计划项目（）第一作者简介：程杨（），女，硕士研究生，研究方向为广义逆：文章编号：（）：核 分解的弱核逆程杨，崔雨茹（安徽师范大学数学与统计学院，安徽 芜湖）摘要：基于矩阵的核 分解，研究复矩阵的弱核逆。对于复矩阵，给出了 的弱核逆，新的表述，讨论了，成立的等价刻画，并研究了（），与（，）的联系。关键词：弱核逆；核 分解；弱群逆；逆中图分类号：文献标志码：引用格式：程杨，崔雨茹核 分解的弱核逆 山东大学学报（理学
2、版），（）：，（，）：，（），（，）：；引言与预备令 为复数域，表示 上的 阶矩阵的集合，表示 中的单位矩阵。对于，符号、（）、（）分别表示 的共轭转置矩阵、秩和值域。若 是奇异的，则满足条件（）（）的最小非负整数 称为 的指数，记为（）。特别地，非奇异矩阵的指数为。符号 表示值域为（）的正交投影，即。文章中涉及到的广义逆概念如下：定义 设，若 满足下列等式：，（），（），称 为 的 逆，记为，且 是唯一的。定义 设，（），若 满足下列等式：，称 为 的 逆，记为，且 是唯一的。定义 设，（），若 满足下列等式：，（）（）（），称 为 的核 逆，记为，且 是唯一的。定义 设，（），若 满足下列
3、等式：山 东 大 学 学 报（理 学 版）第 卷，称 为 的弱群逆，记为，且 是唯一的。定义 设，（），若 满足下列等式：，称 为 的 逆，记为，且 是唯一的，。定义 设，（），若 满足下列等式：，其中，称 为 的弱核逆，记为，且 是唯一的。定义 设，若，称 为弱核矩阵（可简记为 矩阵）。用集合 表示全体 阶 矩阵，即，。值得注意的是，在复矩阵中，上述广义逆均是存在的。年，等进一步刻画了矩阵的弱核逆和弱核矩阵，并利用值域、零空间和矩阵方程给出弱核逆的一些新的表述，讨论了弱核矩阵的等价刻画。本文借助复矩阵的核 分解，研究弱核逆的特定性质。在第二节中，介绍了一些相关的引理；在第三节中，研究在，情形
4、下的等价刻画；在第四节中，讨论（），与（，）的联系和性质，得到了若（），（，），则，进一步证明若，则（），（），。相关引理引理（核 分解）令，（），则存在一个酉矩阵，使得|，（）其中 是非奇异的，。此外，|。引理（分解）令，（），则存在一个酉矩阵，使得|，（）其中对角矩阵 （，），。引理 令 为（）式中复矩阵，则（）|；（），（）|，其中 ；（），|。引理 令 为（）式中复矩阵，则，（）|。弱核逆令，（），若 满足下列三个等式：，第 期程杨，等：核 分解的弱核逆 称 是 的弱核逆（可简写成 逆），记为，且 是唯一的，。引理 令，（）且，若 满足（）（），则 是唯一的，且，。下面给出弱核逆的新的
5、表述。命题 令，（）且，若 满足（）（），则 是唯一的，且，。证明 易知，；由文献注 知，（，）（），故，满足（）（），。下证唯一性。由（）（）知，使得 ，则 ，故 。由引理 可知，是唯一的。交换性是广义逆的一个重要性质，下面讨论弱核逆在交换条件的特定性质。由下面例子可知，复矩阵与其弱核逆不可交换。例 令|，则 的弱核逆，|，故，|，|。易知，即弱核逆不具有交换性。命题 令 为式（）中复矩阵，则，当且仅当（）。证明 由引理（）知，|，则，|，|，因此，充要条件是（）。命题 令，（），为式（）中复矩阵，则，当且仅当 与（）可交换，且（）。证明 由引理 知，（）|，则，|（）|（）|，（）|（）（
6、）|，因此，充要条件是 与（）可交换，且（）。（），与（，）的联系令 为（）式中复矩阵，（），由，|知，则（，）（）|。山 东 大 学 学 报（理 学 版）第 卷由|，其中 知，则（）当 时，（），|；（）当 时，（），|，其中 。下面例子说明当 时，（），与（，）不相等。例 令|，则 的弱核逆，|，因此，（，）|。又因为|，则 的弱核逆（），|。易知，（，）（），。由上述讨论知，（），（）|，（，）|。命题 令 为式（）中复矩阵，（），则（），（，）当且仅当（）。在（）两边右乘，可得。下面给出当，且（），（，）时的结论。定理 令 为式（）中复矩阵，若（），（，），其中，则。证明 易知，（，）
7、（）|，（），|，其中 。由（，）（），知，（）。化简得（）。两边右乘，从而，。两边左乘，（）第 期程杨，等：核 分解的弱核逆 情形 ，两边右乘（），两边同时右乘，左乘，可得，因此，。易知，（）式（）代入式（）可得，两边同时右乘，左乘，可得，因此，。情形 且，重复上述步骤，可得。情形 ，显然成立。综上，当（），（，）时，其中，则。下面讨论当 时，（），和（），的关系以及它们的表示形式。定理 令，若，则（），（），。证明 不妨设（）。当 时，结论成立。当 时，由文献定理 知，的充要条件是。情形，（），|，其中 。由题意知，故，则（），|。情形 ，则。易知（），|。由引理（）和 知，（），|。综上
8、，（），（），。推论 令，若，则（），（），（）（），其中。证明 由引理 知，|。易知（）|，（）|。山 东 大 学 学 报（理 学 版）第 卷由定理 证明过程可知，（），（），（）（）。接下来讨论 为式（）中复矩阵，当 时，（），与（，）的联系。命题 令，表示为（）式中复矩阵，若，则，且（），（，）。证明 设（），当 时，结论显然成立。当 时，根据引理（），故。易知，因此。情形 当 时，由 知，|，则（），|。情形 当 时，（），|。由 和引理（）知，|，故（，）|。综上，（），（，）。根据定理 和命题，我们有如下结论。推论 令，表示为（）式中复矩阵，若 ，则对任意，（），（，）（），（，）。致谢：十分感谢编辑部和审稿人的宝贵意见。参考文献：，：，：，：，（）：，（）：，：，（）：，（）：，（）：，（）：，：（编辑：李晓红）