1、第 43卷第1期辽宁工业大学学报(自然科学版)Vol.43,No.12023 年 2 月Journal of Liaoning University of Technology(Natural Science Edition)Feb.2023收稿日期：2022-07-17作者简介：崔雪(1993-)，男(满族)，辽宁锦州人，助教，硕士。DOI:10.15916/j.issn1674-3261.2023.01.011.横向磁场中轴向运动铁磁梁的固有振动崔雪1，胡宇达2，刘伟1（1.辽宁工业大学 土木建筑工程学院，辽宁 锦州121001；2.燕山大学 建筑工程与力学学院，河北 秦皇岛066004）
2、摘要：研究了磁场环境中做轴向运动铁磁梁的磁弹性固有振动问题。考虑梁在变形时产生的摄动磁场，给出梁在力、运动和电磁作用下的动能、应变能以及电磁力和电磁力矩的表达式。应用哈密顿变分原理，推导出磁场中做轴向运动铁磁梁的磁弹性双向振动方程。考虑两端铰支的边界条件，应用伽辽金积分法，求解出梁在双向振动时的有阻尼和无阻尼固有频率表达式。最后给出了系统振动响应图、相轨迹图以及固有频率随磁感应强度和轴向速度变化的曲线图。关键词：铁磁梁；固有振动；摄动磁场；固有频率中图分类号：O322；O442文献标识码：A文章编号：1674-3261(2023)01-0047-05Natural Vibration of a
3、n Axially Moving FerromagneticBeam in a Transverse Magnetic FieldCUI Xue1,HU Yu-da2,LIU Wei1（1.School of Civil and Architectural Engineering,Liaoning University of Technology,Jinzhou 121001,China;2.School of Civil Engineering and Mechanics,Yanshan University,Qinhuangdao 066004,China）Abstract:The mag
4、netoelastic natural vibration of an axially moving ferromagnetic beam in amagnetic field is studied.The expressions of kinetic energy,strain energy,electromagnetic force andelectromagnetic moment of the beam under the action of force,motion and electromagnetic force aregiven.Based on Hamilton variat
5、ional principle,the magnetoelastic two-way vibration equation of aferromagnetic beam moving axially in a magnetic field is derived.Considering the boundary conditionsof two hinged ends,the expressions of the natural frequencies of the beam with and without dampingare obtained by using the Galerkin i
6、ntegral method.Finally,the vibration response diagram,phasetrajectory diagram and the natural frequency curve with the magnetic induction intensity and axialvelocity are given.Key words:ferromagnetic beam;natural vibration;perturbation magnetic field;natural frequency在工程实际中，做轴向运动的体系非常普遍，广泛存在于航空航天、土木
7、建筑、军事、汽车、电子和机械等工程中。轴向运动梁横向振动和稳定性的研究在工程中有着重要的实际应用价值。也正因为如此，国内外许多学者对轴向运动体系的线性和非线性振动研究十分感兴趣，已经取得了一系列研究成果。国际上关于轴向运动构件的振动和稳定性问题最早由Mote等1-2在20世纪60年代开始研究。在随后的 20 世纪 70 年代，Simpson3研究了具有匀速轴向运动速度两端支撑条件下梁的横向振动模态、频率和稳定性等具体问题。在国内，陈立群等4-6研究了轴向运动梁的固有振动频率的分析方法，对轴向运动梁的非线性强迫振动、非线性动力学及稳定性等做了大量研究工作。周又和等7、王省哲等8、郑晓静等9系统地
8、研究了铁磁结构的建模理论。胡宇达等10-13研究了磁48辽宁工业大学学报(自然科学版)第 43 卷场中轴向运动导电板和梁的磁弹性动力学建模以及非线性共振、动力稳定性等问题。周纪卿14研究了磁场中铁磁梁的振动特性和动力稳定性，给出了无轴向速度时梁的磁弹性振动方程。现阶段对于轴向运动梁的非线性振动问题已经取得了较多的研究成果，但考虑磁场环境下轴向运动体系的振动问题研究还较少。本文以磁场中轴向运动铁磁梁为研究对象，利用哈密顿原理推导洛伦兹力和磁体力偶作用下梁的双向振动方程，求出固有频率。画出了系统振动响应图、相轨迹图以及固有频率与磁感应强度和轴向速度关系的曲线图。本文所得结论可为进一步研究铁磁梁在磁
9、场中的耦合非线性振动问题提供理论参考。1轴向运动铁磁梁的电磁力模型与振动方程研究图1所示在恒定横向磁场B0(0,By,0)中做轴向运动的铁磁梁，梁的弹性模量为 E，密度为，电导率为，轴向拉力为xT0，长度为l，高为 h，宽度为 b，矩形横截面面积为hbA=，沿着形心轴 x 方向的轴向运动速度为 c。图 1轴向运动铁磁梁模型1.1动能和势能当轴向运动梁发生横向振动时，其动能为：xtwtvcATlddddd20222|+|+=(1)根据弹性变形理论，可以得到梁的总势能表达式：=+=321UUUU+|+|xxwxvTlxd20220+|+|xxvxwEA2ld8022zyxzxwyxvEhhbbld
10、dd222222222022|+|-(2)式中：U1为梁的拉力引起的应变势能；U2为梁的中面应变势能；U3弯曲应变势能。1.2电磁力由电磁场理论可得洛伦兹力矢量表达式为：kJf-=20ddyeBtwB(3)式中：k为沿坐标轴z方向的单位向量，t为时间变量。从而可以得到磁场中铁磁梁所受单位长度横向电磁力为：|-=-xwcBtwBAzyfFyyhhbbzZ222222dd(4)因为梁的变形将导致梁内磁场发生变化，设梁内总磁感应强度为：()10BBBt+=(5)式中：1B为梁变形引起的摄动磁场，()t为与时间有关的小的摄动参数。在梁的正弦变形形式下有9：+=-iBkxkyBymcosch11jkxk
11、ysinsh(6)式中：m为磁率，kbkbrchsh+=，lnk=。在小变形下，设单位长度梁上受到的体积力偶与梁的挠曲线斜率呈正比，则有15：()xtxvkm=,0(7)式中：k0为磁扭转刚度。单位长度梁上作用的磁体力偶为：=-yzmbbhhdd02222BMkm()kkxtkkbhBrymcos2sh2022(8)式中：0k为磁扭转刚度。假设1kb，sh kbkb，ch1kb 由式(7)、(8)可得：=k2kbhBkrym0220sh2()kbhbBrrym+1022(9)1.3磁弹性振动方程由哈密顿变分原理得到在横向磁场中轴向运动铁磁梁的双向磁弹性自由振动方程为：+2222222xvAct
12、xvActvA()0442200=+-xvEIxvTkzx(10)第 1 期崔雪等：横向磁场中轴向运动铁磁梁的固有振动49-+2222222xwActxwActwA=+44220 xwEIxwTyxxwcBAtwBAyy-22(11)2磁弹性双向固有振动频率下面应用伽辽金法求两端铰支约束下梁的振动方程组。此时边界条件为：0=x时，0,02222=xwxv(12)lx=时，0,02222=xwxv(13)设满足边界条件的位移解为：()lxtqtxvsin)(,1=(14)()lxtqtxwsin)(,2=(15)将式(14)、(15)分别代入式(10)、(11)中，可得到分离时间和空间变量的铁磁
13、梁磁弹性双向振动方程：01111=+qkqm?(16)0222222=+qkqcqm?(17)式中：Am=1，Am=2，22yABc=()2220041|-|-|=lAclTklEIkx222042|-|+|=lAclTlEIkx由式(16)可知，系统在 y 方向表现为无阻尼振动特征，固有频率为：111mk=(18)由式(17)可知，系统在 z 方向表现为电磁阻尼作用下的有阻尼振动特征，固有频率为：2021-=(19)式中：2222mkc=为阻尼比，220mk=为z方向振动固有频率。3算例分析对横向磁场中轴向运动铁磁材料梁的固有振动特性进行分析。梁的材料为纯铁，纯铁的物理参数为：密度=7 90
14、0 kg/m3，弹性模量 E=260 GPa，电导率=1.03107m，横截面面积 A=bh=0.02m0.03 m，长度 l=1 m。图2给出了系统在y方向和z方向振动响应图，y 方向振动响应图也表明梁在 y 方向做无阻尼自由运动，是以平衡位置为中心的周期运动。图2(b)和(c)分别是奇点为焦点和结点时系统的响应图，从图中可以看出梁在 z 方向做有阻尼的衰减振动，(c)图表示过阻尼情况下的系统振动响应图；图 3 给出了不同磁感应强度和轴向速度时梁在 y 方向振动的相轨迹，从图中可以看出奇点为中心。图 4 给出了梁在z 方向振动的相轨迹，图 4(a)是奇点为焦点时的相轨迹，图 4(b)是奇点为
15、结点时的相轨迹。By=0.2T，c=40 m/s(a)y 方向By=0.2T，c=40 m/s(b)z 方向(奇点为焦点)By=0.7T，c=140 m/s(c)z 方向(结点)图 2系统振动响应图50辽宁工业大学学报(自然科学版)第 43 卷(a)不同磁感应强度(b)不同速度By=0.2T，c=40 m/s图 3y 方向振动相轨迹图By=0.2T，c=40 m/s(a)奇点为焦点By=0.7T，c=140 m/s(b)奇点为结点图 4z 方向振动相轨迹图图5和图6分别给出了梁双向振动时固有频率随轴向速度和磁感应强度变化规律曲线图。(a)y 方向(b)z 方向图 5固有频率随轴向速度变化曲线图
16、(a)y 方向(b)z 方向图 6固有频率随磁感应强度变化曲线图第 1 期崔雪等：横向磁场中轴向运动铁磁梁的固有振动51从图中可以看出，在 y 方向和 z 方向上的振动固有频率随轴向速度和磁感应强度的增大而减小，最后变为零，该零值分别对应系统的临界速度值和临界磁感应强度值。图6(a)曲线变化均匀，而图6(b)当 B0大于0.6T 后曲线急剧下降，说明磁感应强度较大时 z 方向的振动固有频率随磁感应强度的增加而急剧减小。4结论研究了磁场中做轴向运动的铁磁梁的双向线性固有振动，推导出了洛伦兹力和磁体力偶表达式，利用哈密顿原理推导出了轴向运动铁磁梁在磁场中的振动方程并给出了固有频率的表达式。本文主要结论如下：(1)梁在 y 方向做无阻尼自由运动，梁在 z 方向做有阻尼的衰减振动；(2)固有频率随轴向速度和磁感应强度的增大而减小，最后可以变为零；(3)可以通过改变轴向速度或磁感应强度来调节系统固有振动。参考文献：1 THURMAN A L,MOTE C D.On the nonlinear oscillationofanaxiallymovingstringJ.JournalofApplied