1、单叶解析函数强微分超属的最佳从属潘庆云（马鞍山师范高等专科学校 经济与社会管理系，安徽 马鞍山 243000）摘要：复分析是研究复函数，特别是解析函数的数学理论，是古老而富有生命的数学分支之一，是一个经典的研究领域。近年来，越来越多的学者研究微分从属和强微分超属，其理论与方法不反应用于泛函分析、拓扑学、微分几何等数学分支，还涉及自然科学的诸多领域，如动力系统、量子力学、信号分析等。因此，对于微分从属和强微分超属的研究具有重要的理论意义与潜在的应用价值。学者OROS G I和OROS G首先引入并研究了强微分超属的概念及其性质，在此基础上，本文引入强微分超属和最佳从属子概念，研究并证明了在单叶解
2、析函数单位圆盘边界未知的情况下，强微分超属的最佳从属子。关键词：强微分超属；最佳从属子；解析函数；单叶函数中图分类号：0174.5文献标志码：A文章编号：1007-4260（2023）01-0022-04Best Subordination of Strong Differential Hypergenus ofUnivalentAnalytic FunctionsPAN Qingyun(Department of Economic and Social Management,Maanshan Teacher s College,Maanshan 243000,China)Abstract:C
3、omplex analysis is the mathematical theory of studying complex functions,especially analytic functions.It isone of the oldest and most vital branches of mathematics and a classic field of study.Recent years,more and more scholarshave studied differential subordination and strong differential hyperge
4、nus.Their theories and methods are not only applied tofunctional analysis,topology,differential geometry and so on,but also to many fields of natural science,such as dynamicalsystem,quantum mechanics,signal analysis and so on.Therefore,the study of differential subordination and strongly differen-ti
5、al hypergenus has important theoretical significance and potential application value.Scholars OROS G I and OROS G first in-troduced and studied the concept of strong differential hypergenus and its properties.On this basis,this paper introduces theconcepts of strong differential hypergenus and the b
6、est subordinate subgenus,and investigates and proves the best subordinateof strong differential hypergenus for univalent analytic functions with unknown boundary on the unit disk.Key words:strong differential hypergenus;best subordinate;analytic function;univalent function几何函数理论作为复分析领域一个重要的分支，其研究重点是
7、解析函数的几何性质。2003年，Miller等引入了微分从属的概念1，自此诸多学者对解析函数、单叶函数、微分从属等进行了深入研究，并把从属方法应用到复变函数中，从而为微分从属理论以及几何函数的研究工作奠定了更为丰富的理论基础2-5。而OROS等引入强微分超属的概念，并对一阶、二阶强微分超属及Sandwich型进行了研究6-10，得到了各种不同的理论研究成果。本文利用微分从属和强微分超属这个工具，引入最佳从属子概念，在单位圆盘E边界未知的情况下，得到了单叶解析函数的最佳从属子。收稿日期：2022-01-03基金项目：安徽省教育厅自然科学研究重点项目（KJ2019A1198）作者简介：潘庆云（19
8、80），男，安徽无为人，马鞍山师范高等专科学校经济与社会管理系讲师，研究方向为数学教育、高等职业教育管理等。E-mail：2023年2月第29卷第1期安庆师范大学学报（自然科学版）Journal ofAnqing Normal University（Natural Science Edition）Feb.2023Vol.29 No.1DOI：10.13757/34-1328/n.2023.01.004第1期1基本概念为了方便，本文用E表示 z C:|z|1，用E表示封闭单位圆盘 z C:|z|1，用(E)表示E内的全纯函数空间。用Lk表示函数族：Lk=f (E),f(z)=z+ak+1zk+1
9、+ak+2zk+2+,z E，令L1=L，用L,k 表示函数族：L,k=f (E),f(z)=+akzk+ak+1zk+1+,z E,令任意集合1 C,2 C，函数u(z)在E内是解析的，函数:C3 E E C。文献6-9证明了函数u(z)满足强微分从属的性质：（i）若 (u(z),zu(z),z2u(z);z,)|z E,E 1，则u(E)2；文献10中还证明了函数u(z)满足强微分超属的对偶问题性质：（ii）若1 (u(z),zu(z),z2u(z);z,)|z E,E，则2 u(E)。定义15设函数F(z,)在E E内解析，f(z)在E内是单叶解析函数，如果函数f(z)在E内对于任意 E
10、从属于函数F(z,)，那么称函数f(z)强从属于函数F(z,)，记作f(z)F(z,)。如果函数F(z,)在E E内是单叶的，那么f(z)F(z,)，当且仅当f(0)=F(0,)且f(E)F(E E)。如果（ii）中的1和2是单连通域，u(z)在E内是单叶的，且2 C，那么存在一个保角映射1:E 2，使得1(0)=u(0)。这样（ii）可改写为（iii）1 (u(z),zu(z),z2u(z);z,)|z E,E，即1(z)u(z)，z E。如果1是单连通域，且1 C，那么存在一个保角映射2:E 1，使得2(0)=(u(0),0,0;0,)。另外，如果函数(u(z),zu(z),z2u(z);
11、z,)在E内对于任意 E是单叶的，那么（iii）可改写为（iv）2(E)(u(z),zu(z),z2u(z);z,)，即1(z)u(z)，z E，此外（iv）中的1(z)和2(z)可以是解析函数，但不一定要求是单叶函数。定义2令:C3 E E C，g(z)在E内解析，如果函数u(z)和(u(z),zu(z),z2u(z);z,)在E内对于任意 E是单叶的，且满足二阶强微分超属：（v）g(z)(u(z),zu(z),z2u(z);z,)，那么，u(z)称为强微分超属的一个解。如果解析函数v(z)u(z)，且任意u(z)满足（v），那么称函数v(z)是强微分超属的一个从属解。单叶从属函数V*(z)
12、满足v(z)V*(z)，且任意v(z)满足（v），那么称函数V*(z)是最佳从属子。定 义 3设f(z)在ED(f)上 单 射 且 解 析，其 中，D(f)=f E:limz f(z)=，f()0,ED(f)，用P表示函数f(z)所构成的函数类。若f(0)=，函数类P则记为P()。定义 4设1 C，q(z)L,k 且q(z)0，容许函数:C3 E E C满足容许条件：(Q,z,)1。其中，Q=q(z)，=zq(z)m，Re(+1)1mRe(zq(z)q(z)+1)，这里 E，z E，E且m k 1，用Hk1,q表示容许函数所构成的函数族。当k=1时，H11,q记为H 1,q。特别地，当g是E
13、1 C的一个解析映射，则把Hk g(E),q记为Hk g,q。为了证明本文的结论，需要下面的引理。引 理5令f(z)L,k，g(z)在E内 解 析，(z)Hk g,f，如 果u(z)P()，函 数(u(z),zu(z),z2u(z);z,)在E内对于任意 E是单叶函数，则g(z)(u(z),zu(z),z2u(z);z,)，z E，E，即f(z)u(z)，z E。引理的结果也可改写为g(z)(u(z),(z)u(z),2(z)u(z);(z),)，（1）其中z E,E，这里:E E。潘庆云：单叶解析函数强微分超属的最佳从属 23安庆师范大学学报（自然科学版）2023年2主要结论下面的定理将引理
14、函数f(z)在E边界未知的情况下进行了推广。定理1设g(z)和f(z)在E内是单叶函数，令f(0)=，f(z)=f(z)，g(z)=g(z)，:C3E E C，满足其他条件之一：（i）Hk g,f，(0,1)；（ii）存在0(0,1)，使得 Hk(g,f)，(0,1)。如果u(z)L,k，(u(z),zu(z),z2u(z);z,)在E内对于任意 E是单叶函数，且满足g(z)(u(z),zu(z),z2u(z);z,)，z E，E（2）则f(z)u(z)，z E。证明（i）由引理可得f(z)u(z)，z E，因为f(z)f(z)，可得f(z)u(z)，z E。（ii）若令u(z)=u(z)，则
15、(u(z),zu(z),z2u(z);z,)=(u(z),zu(z),2z2u(z);z,)g(E)，由公式（1）和引理，(z)=z，可得f(z)u(z)，(0,1)，令 1，可得f(z)0，z E，E。如果1+2z (u(z),zu(z),z2u(z);z,)，z E，E，根据定理1得f(z)u(z)，z E。下面给出公式（2）微分超属的最佳从属子的两个结论。定理2令g(z)在E内是单叶函数，函数:C3 E E C，假设微分等式(f(z),zf(z),z2f (z);z,)=g(z)，（3）有一解f(z)P()。如果 H g,f，u(z)P()，且函数(u(z),zu(z),z2u(z);z
16、,)在E中对任意 E是单叶的，则g(z)(u(z),zu(z),z2u(z);z,)，（4）即f(z)u(z)，且f(z)是最佳从属子。证明 H g,f，故由引理推导出函数f(z)是公式（4）的一个从属。又因为f(z)满足公式（3），所以f(z)也是公式（4）强微分超属的一个解，故公式（4）所有从属子都从属于f(z)。因此f(z)是公式（4）的最佳从属子，证毕。从这个定理可以看出，求公式（4）的最佳从属子问题本质上可以归结为证明微分方程（3）有一个单叶解，即检验 H g,f。此定理结论可写成对称形式：(f(z),zf(z),z2f (z);z,)(u(z),zu(z),z2u(z);z,)，即f(z)u(z)，z E，E。定理3令g(z)在E内是单叶函数，函数:C3 E E C，假设微分等式(f(z),zf(z),z2f (z);z,)=g(z)，（5）有一解f(z)且f(0)=。满足其他条件之一：（i）f(z)P且 H g,f；（ii）f(z)在E内是单叶函数，且 H(g,f)，(0,1)；（iii）f(z)在E内是单叶函数，且存在0(0,1)使得 H(g,f)，(0,1)。如果u(