1、2023 年3 月 电 工 技 术 学 报 Vol.38 No.6 第 38 卷第 6 期 TRANSACTIONS OF CHINA ELECTROTECHNICAL SOCIETY Mar.2023 DOI:10.19595/ki.1000-6753.tces.211722 基于激活函数的 LCC-S 型无线电能传输系统建模和稳定性分析 胡秀芳 王 跃 吕双庆 赵德林 马天录（电力设备电气绝缘国家重点实验室（西安交通大学）西安 710049）摘要 基于电力电子器件的无线电能传输（WPT）系统是一种开关系统，其大信号模型是研究系统运行特性和稳定性的基础。建模的关键是如何描述系统中的非线性、离
2、散开关变量，为解决这一问题，该文提出一种基于 S 型激活函数的建模方法。S 型激活函数是连续、平滑、可微的且在一定值时具有饱和特性，因此可利用陡度因子较大的激活函数来近似开关的切换过程，将WPT 系统由离散的开关系统转变为连续系统。该文以 LCC-S 型 WPT 系统为研究对象，构建其开环和闭环模式下激活函数模型，利用该模型分析控制器参数和系统参数对瞬态行为和稳定性的影响，并通过仿真和实验进行验证。结果表明，所构建的模型与仿真和实验结果吻合较好。该模型数学表达式结构简单统一，物理意义明确，是一个具有普遍意义的高精度大信号连续模型。关键词：无线电能传输系统 LCC-S 补偿 激活函数 大信号模型
3、 稳定性 中图分类号：TM724 0 引言 无线电能传输1-3（Wireless Power Transfer,WPT）系统根据电路运行特性，可以将一个开关周期分为不同的开关状态，在每个开关状态下，对应一个由连续状态变量表示的子系统，因此 WPT 系统可以被视为由离散开关状态和连续状态变量组成的开关系统，开关器件在每个连续子系统中有选择地保持某一固定开关状态，以满足系统动态响应的要求。建模的关键是描述离散开关变量和连续状态变量之间的相互作用并建立统一的模型4。状态空间平均法5使用状态变量在一个开关周期的平均值建立模型，只保留状态变量的低频成分，忽略其高频纹波分量，从而建立一个连续的系统模型。然
4、而，由于在稳态运行时 LCC-S 型 WPT 系统6-7中各电量是交流量，对其进行状态空间平均将丢失其最主要的波形信息，因此不能使用状态空间平均法进行建模。为此，研究学者提出了广义状态空间平均（Generalized State-Space Averaging,GSSA）法8-9、扩展描述函数（Extended Describing Function,EDF）法10、耦合模理论11及离散迭代模型12等方法来解决 WPT 系统的建模问题。广义状态空间法和描述函数法都实现了从非线性时变不连续的状态空间方程到线性时不变连续状态空间方程，甚至局部线性化方程的转换。相比较而言，广义状态空间法从原始状态空
5、间方程开始，便不再需要物理模型，仅由数学分析便完成建模。扩展描述函数法通过电路的基波分析给出描述函数的具体形式，物理概念相对明确。两种方法的共同点是都用两个或多个缓慢变化的量去描述一个快速变化且波形接近正弦的量（广义状态空间平均法使用共轭的第 1 项和第-1 项傅里叶系数，扩展描述函数法使用正弦和余弦分量的系数），因此，它们虽然克服了系统的非线性、时变性和不连续性，但代价是增加了系统的阶数12。此外，当 WPT 系统工作在断续模式（流入整流桥的电流断续）时，系统谐波成分较大，上述两种方法中采用的简化处理均会带来较大误差。耦合模理论将 WPT 系统的原、副边描述为两个复变量，可以很好地解释能量的
6、交换情况。但是，耦合模理论只能描述具有低耦合系数的系统。该方法的另一个局限是从能量的角度描述 WPT 系统中的高阶补偿网络较为困难。由于开关器件的存在，等效电路拓扑随着系统开关器件的开关状态变化而变化。离散迭代模型根 收稿日期 2021-10-29 改稿日期 2022-01-05 1554 电 工 技 术 学 报 2023 年 3 月 据开关器件的状态，将一个开关周期分为不同的开关状态，得到每个开关状态下的数学映射，将上一个开关状态初始时刻的状态变量通过该数学映射得到下一个开关状态初始时刻的状态变量。如此反复进行迭代运算就得到了系统的离散迭代模型12。离散迭代模型由于保留了低频次与开关频次所有
7、的信息，因此具有较高的精确度。但是当系统工作于断续模式时，开关状态复杂，求解难度高13。WPT 系统建模的关键是如何寻求一个统一的模型来表示所有开关状态下的等效电路模型。WPT系 统 通 常 采 用 脉 冲 宽 度 调 制（Pulse Width Modulation,PWM）来保证谐振过程的完成。本文通过引入激活函数14为 WPT 系统建立统一的连续系统模型，使连续系统理论可以直接应用于分析 WPT系统。S 型激活函数是神经网络中重要的激活函数之一15，其具有连续性、平滑性、可微性、有界且严格单调性，已被用于描述滑模控制器中的系统模式转换16，描述电路的模态变换17等。基于激活函数可建立 W
8、PT 系统在开环和闭环模式下的模型，然而，在闭环控制模式下，数字控制系统中的时间延迟往往被忽略。延时环节使 WPT 系统更加复杂。对于没有时滞的系统，可以在输入和输出之间建立一定的映射关系18。但延时的存在可能会扰乱这种特定的关系19。对于相同的采样信号，数字控制系统中的时间延迟可能会导致WPT 系统出现不稳定现象。WPT 系统性能将不可避免地受到影响甚至恶化。因此，考虑延时环节影响的稳定性分析是必要的。为了避免这些问题，对稳定性分析中的时间延迟进行近似成为一个优选的解决方案。时间延迟可以通过一阶滞后20、泰勒展开21、Pade 近似22-23等来近似。与一阶滞后和泰勒级数相比，Pade 近似
9、凭借其有理多项式的形式而具有更好的性能。此外，Pade 近似能够处理相对较短的延迟24。由于数字控制系统的时间延迟在微秒量级，Pade 近似可能更合适。因此，本文采用 Pade 近似等值延时环节来分析系统的稳定性。由于 LCC-S 型 WPT 系统具有发射电流恒定、对线圈未对准的高度容忍性、轻载或副边开路时的高度稳定性等优点而被广泛应用。因此，本文引入S 型激活函数，针对移相控制下的 LCC-S 型 WPT系统进行建模和稳定性分析。首先，介绍了 S 型激活函数的特性；其次，推导出基于激活函数的 LCC-S 型 WPT 系统在开环模式下的模型；然后，基于五阶 Pade 等值近似延时环节，建立了闭
10、环模式下的模型，揭示系统中存在的不稳定现象；最后，通过仿真和实验验证该模型的有效性。此建模过程对任何其他补偿网络均有效。1 激活函数 常用的 S 型激活函数有 log-sigmoid 和 tan-sigmoid，这两个函数的曲线是“S”型，其中 tan-sigmoid 函数表达式为 eetanh()eexxxxx=+（1）tanh(x)定义域在（-，+）上，其具有双向饱和性，函数值范围是（-1，1）。可以在函数中引入一个陡度因子 a 来改变曲线的陡度。图 1a 显示了当 a 取不同值时 y=tanh(ax)的曲线，a 值越大，tanh(ax)越接近于符号函数 sgn(x)。因此，在 a 的值足
11、够大的情况下，通过一个连续 tanh(ax)函数可以对断续的符号函数进行等效。同理，利用周期性激活函数 y=tanh(asin(t)表示幅值等于 1 的周期性方波信号，其中=1。a 的值越大，波形越接近方波，如图 1b 所示。图 1 tanh-sigmoid 激活函数曲线 Fig.1 tanh-sigmoid function curves 2 LCC-S 型 WPT 系统稳态运行特性 LCC-S 型 WPT 系统电路拓扑如图 2 所示，由 第 38 卷第 6 期 胡秀芳等 基于激活函数的 LCC-S 型无线电能传输系统建模和稳定性分析 1555 全桥逆变器、谐振网络和全桥整流器组成。全桥逆变
12、器将直流电压 Uin逆变为高频交流电压 uAB，从而激励由 Lp、Cp、C1组成的 LCC 补偿网络和发射线圈 L1，再由发射线圈 L1以交变电磁场的形式将能量传输至接收侧，接收侧由 L2、C2串联网络拾取能量，高频交流电压 uCD经高频整流桥和滤波电容 Cf，传递给负载电阻 RL，完成从直流电压 Uin到直流电压Uo的无线能量传输。其中，Rp为 Lp的等效串联电阻与 MOSFET 的导通电阻之和，R1为 L1和 C1等效串联电阻之和，R2为 L2、C2的等效串联电阻及整流二极管的导通电阻之和，Rc为 Cp的等效串联电阻，Rf为 Cf的等效串联电阻，为移相角，系统的工作周期为 Ts。图 2 L
13、CC-S 型 WPT 系统电路拓扑 Fig.2 Circuit topology of an LCC-S compensated WPT system 对于 LCC-S 型 WPT 系统，运行的谐振条件为 12121p1p1p1111111LCLCLLC=（2）移相控制策略下，系统工作于稳定状态时，LCC-S 型 WPT 系统主要工作波形如图 3 所示。图 3 稳态时工作波形 Fig.3 Waveforms of the system at steady state 根据图 2，建立系统微分方程为 ppccp1pABppppd()11=()()()()di tRRRi ti tu tuttLL
14、LL+（3）c1c12p12eq2eq2eqmp12CDeq2eq2eqmeqmd()()()()d1111()()()()4RRRi tRi ti ti ttLLLu tu tu tutLLLL+=+（）c1c22p12eqmeqmeq1p12CDeqmeqmeq1eq1d()()()()d1111()()()()5RRRi tRi ti ti ttLLLu tu tu tutLLLL+=+（）pp1ppd()11()()du ti ti ttCC=（6）111d()1()du ti ttC=（7）222d()1()du ti ttC=（8）fLrectffLffLfd()1()()d()(
15、)u tRitu ttC RRC RR=+（9）输出方程为 fLLorectfLfLf()()()R RRU titu tRRRR=+（10）其中 212eq11212eq22212eqm=L LMLLL LMLLL LMLM（11）系统中包含三个非线性项，分别是逆变器输出电压uAB、整流桥输入电压uCD和整流桥输出直流电流irect，将其定义为 ABABin()()utSt U=（12）CDCDo()()()utSt Ut=（13）rectCD2()()()itSt i t=（14）式中，当nTs+0.25Ts(1-/)tnTs+0.25Ts(1+/)时，SAB(t)=1；当(n+0.5)T
16、s+0.25Ts(1-/)t(n+1)Ts-1556 电 工 技 术 学 报 2023 年 3 月 0.25Ts(1-/)时，SAB(t)=-1；其余为0。当nTst(n+0.5)Ts时，SCD(t)=1，当(n+0.5)Tst(n+1)Ts时，SCD(t)=-1。取状态变量 x(t)、输入变量 u(t)和输出变量 y(t)分别为 Tp12p12f()()()()()()()()ti ti ti tu tu tu tu t=x （15）in()tU=u（16）o()()tUt=y（17）式（3）式（10）所描述的系统是一个非线性时变不连续系统，不便于进行分析。使用本文提出的激活函数可以将其转变为连续系统。3 基于激活函数的 LCC-S 型 WPT 系统模型 3.1 开环系统建模 逆变器输出电压波形如图3所示。对于式（12）中SAB，利用周期性激活函数可表示为 AB()tanh sin()tanh sin()Statat=+（18）式中，为WPT系统工作角频率；为移相角。根据图3所示的整流桥输入电压、输入电流及输出电流波形，整流桥输入电压uCD取决于整流桥输入电流i2的方向。若i2为正，