1、第4期丛云跃等:工程结构多刚度尺度分析与模态理论文章编号:1 6 7 2-6 5 5 3-2 0 2 3-2 1(4)-0 2 3-0 0 9D O I:1 0.6 0 5 2/1 6 7 2-6 5 5 3-2 0 2 3-0 4 0 2 0 2 2-1 0-1 7收到第1稿,2 0 2 3-0 3-1 8收到修改稿.*国家自然科学基金资助项目(5 2 0 7 8 3 9 9),N a t i o n a lN a t u r a lS c i e n c eF o u n d a t i o no fC h i n a(5 2 0 7 8 3 9 9).通信作者E-m a i l:h a
2、n r e n j i e t o n g j i.e d u.c n1/2分数阶线性随机动力系统的非平稳响应解析解*孔凡1 许伊键1 韩仁杰2 徐军3 洪旭1(1.合肥工业大学 土木与水利工程学院,合肥 2 3 0 0 0 9)(2.同济大学 土木工程学院,上海 2 0 0 0 9 2)(3.湖南大学 土木工程学院,长沙 4 1 0 0 8 2)摘要 提出随机激励作用下1/2分数阶线性系统非平稳响应解析解的一种新方法.首先,利用特征向量展开得到1/2分数阶阻尼系统的脉冲响应函数解析表达;之后,基于L a p l a c e变换计算得到响应功率谱密度的解析表达式和系统均方响应.通过白噪声、调制
3、白噪声和调制修正金井清谱三种不同随机激励类型的数值算例,利用与蒙特卡洛模拟所得结果对比证明该方法的准确性和适用性.关键词 分数阶,特征向量展开,拉普拉斯变换,功率谱密度,均方响应中图分类号:O 3 2 1;O 3 2 4文献标志码:AA n a l y t i c a l S o l u t i o nf o rN o n-S t a t i o n a r yR e s p o n s eo f1/2-O r d e rF r a c t i o n a lL i n e a rS t o c h a s t i cD y n a m i c a l S y s t e m s*K o n
4、gF a n1 X uY i j i a n1 H a nR e n j i e2 X uJ u n3 H o n gX u1(1.C o l l e g eo fC i v i lE n g i n e e r i n g,H e f e iU n i v e r s i t yo fT e c h n o l o g y,H e f e i 2 3 0 0 0 9,C h i n a)(2.C o l l e g eo fC i v i lE n g i n e e r i n g,T o n g j iU n i v e r s i t y,S h a n g h a i 2 0 0 0
5、 9 2,C h i n a)(3.C o l l e g eo fC i v i lE n g i n e e r i n g,H u n a nU n i v e r s i t y,C h a n g s h a 4 1 0 0 8 2,C h i n a)A b s t r a c t I n t h i sp a p e r,an o v e lm e t h o d i sp r o p o s e d t oo b t a i na na n a l y t i c a l s o l u t i o n f o r t h en o n-s t a t i o n a-r yr
6、 e s p o n s eo f 1/2o r d e rs y s t e m su n d e rs t o c h a s t i ce x c i t a t i o n.T h em e t h o df i r s tu s e st h ee i g e n v e c t o re x-p a n s i o nt oo b t a i nt h ea n a l y t i c a l e x p r e s s i o no f t h e i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n.N e x t,a na n a l y
7、 t i c a l s o l u t i o nf o r t h er e s p o n s ep o w e r s p e c t r a l d e n s i t y i so b t a i n e db a s e do nt h eL a p l a c e t r a n s f o r m.T h r o u g ht h r e e i l l u s-t r a t i v en u m e r i c a le x a m p l e s,i n c l u d i n gs y s t e m ss u b j e c t e dt ow h i t en o
8、 i s e,m o d u l a t e dw h i t en o i s e,a n dm o d u l a t e dc o l o r e dn o i s ew i t hm o d i f i e dK a n a i-T a j i m i s p e c t r u m,t h er e s p o n s e so ft h ef r a c t i o n a ls y s t e m sa r eo b t a i n e da n a l y t i c a l l ya n dc o m p a r e d t o t h ep e r t i n e n tM
9、 o n t eC a r l oe s t i m a t e s t od e m o n s t r a t e t h e a c c u r a-c ya n da p p l i c a b i l i t yo f t h ep r o p o s e dm e t h o d.K e yw o r d s f r a c t i o n a l o r d e r,e i g e n v e c t o re x p a n s i o n,L a p l a c et r a n s f o r m,p o w e rs p e c t r a ld e n s i t y,
10、m e a ns q u a r e dr e s p o n s e32动 力 学 与 控 制 学 报2 0 2 3年第2 1卷引言分数阶导数模型在工程和科学问题中应用十分广泛,包括机械、控制、生物学、经济学等领域1.在土木工程领域中,分数阶导数常用来描述黏弹性材料的本构关系.2 0世纪初,N u t t i n g2发现一些材料的应力松弛可被模拟为分数阶幂律的时间函数.之后,G e m a n t3提出利用分数阶导数表示黏弹性材料的刚度和阻尼特性;C a p u t o4利用分数算子描述黏弹性土的力学行为;B a g l e y和T o r v i k5则给出了分数阶微积分应用的物理解释.
11、分数阶动力系统虽然具有简洁、准确的优势,但由于方程中存在非整数微分算子,求解动力响应存在较大困难.目前有若干方法用于计算分数阶确定性动力系统响应,包括L a p l a c e变换6、傅里叶变换7、数值模拟方法8,9、特征向量展开法1 0、平均方法1 1等,但他们很少关注随机动力系统.对于分数阶随机动力系统,一些研究者通常只关注系统的平稳响应,S p a n o s和Z e l d i n1 2提出了一种随机振动分析的频域方法;孔凡等1 3利用统计线性化方法得到随机和谐和联合激励下的分数阶系统的平稳响应;P i n n o l a1 4则利用特征向量展开和随机过程的复谱矩表征得到分数阶振子的平
12、稳响应;H u a n g等1 5利用单自由度强非线性随机动力系统的随机平均法计算系统的稳态响应并考察稳定性;马颜颜等1 6同样利用随机平均法求解得到系统的稳态响应;A r t a l e等1 7利用残差定理确定了平稳高斯白噪声作用下的分数阶振子的整数阶和分数阶谱矩.另一些研究者在关注系统的平稳响应的同时也关注非平稳响应,如A g r a w a l1 8利用特征向量展开并利用时域卷积方法得到具有1/2阶阻尼的随机动力系统解析解;Y e等1 9利用傅里叶变换技术给出了分数阶动力系统在确定性和随机输入下响应的D u h a m e l积分型表达式和脉冲响应函数.虽然上述方法能够得到系统响应,但是
13、需要利用双重数值积分,计算时间较长.C a o等2 0虽 然利用L a p l a c e变换和P r o n y-S S(S t a t e-S p a c em o d e l)算法得到了任意有理阶阻尼的随机动力系统的数值解,但它存在两个误差来源:一是通过傅里叶逆变换得到脉冲 响 应 函 数 时 忽 视 了 系 统 初 始 条 件;二 是P r o n y-S S法得到脉响函数指数形式时的数值误差.本文提出了一种计算1/2阶分数阶线性随机动力系统非平稳响应解析解的精确高效方法.主要利用S u a r e z和S h o k o o h1 0提出的特征向量展开法以求解分数阶系统脉冲响应函数,
14、以及基于L a-p l a c e变换 求 解 随 机 动 力 响 应.数 值 算 例 采 用 与M o n t eC a r l o模拟对比的方法验证了所建议方法的精度.1 单自由度分数阶系统的响应考虑随机激励作用下具有分数阶导数阻尼的单自由度线性系统mD2x(t)+cDx(t)+k x(t)=f(t)(1)式中:m,c,k分别为系统质量、分数阶阻尼与刚度系数;f(t)为系统外部随机激励;D表示求导数;为分数阶导数阶数,根据R i e m a n n-L i o u v i l l e定义 DLx(t)=1(1-)ddtt0 x(t-)d,01(2)将上式两边同除以m可得D2x(t)+22-
15、nDx(t)+2nx(t)=f*(t)(3)式中:n=k/m为自振频率;f*(t)=f(t)/m;为阻尼比.1.1 特征向量展开当=1/2时,式(1)所示的系统的脉冲响应函数具有简单的解析表达1 0.为此,将式(3)所示的运动方程写为1/2阶状态空间方程的形式.令z1=D3/2x(t),z2=Dx(t),z3=D1/2x(t),z4=x(t)(4)则有B D1/2z-Az=F(5)式中B=0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0a ,A=0 0 100 1 001 0 000 0 0-b (6)F=0 0 0f*(t)T且a=23/2n,b=2n.为求解式(5),可参照整数阶导数系
16、统状态空间方程的特征向量展开方法,实现状态空间坐标解耦.为此,式(5)对应的特征值问题为Gj=jj(7)式中:42第4期孔凡等:1/2分数阶线性随机动力系统的非平稳响应解析解G=B-1A=0 0-a-b1 0000 1000 010 (8)且j为特征值;j为对应的特征向量.求解式(7)所示特征值问题即可得到4个特征值以及对应的特征向量,具体求解过程见文献1 0 附录.引入 y=y1,y2,y3,y4T,利用z=y(9)实现对式(5)的解耦,式中=1,2,3,4.将式(9)代入式(5),可得1/2阶D1/2y-G y=F(1 0)对式(1 0)左乘 Tj并利用特征向量的正交特性可得解耦后的1/2阶状态空间方程D1/2yj(t)-jyj(t)=4jf*(t)(1 1)式中4j=143j+a(1 2)为得到系统的位移响应,对式(1 1)进行L a-p l a c e变换得Yj(s)=4jF(s)+Rjs-j,j=1,2,3,4,(1 3)且Rj=D-1/2yj(t)|t=0.对式(1 3)进行L a p l a c e逆变换并结合式(4)和式(9)可得系统位移表达式x(t)=4j=14jL-