1、文章编号：1000-5641(2023)02-0048-12高维周期向量自回归模型的精度矩阵的假设检验邹进（上海交通大学 数学科学学院,上海200240）摘要:由周期性向量自回归模型生成的精度矩阵(逆协方差矩阵)是一个块状三对角矩阵.在此精度矩阵的基础上,提出了一种新的块状迹函数,用于检验两个精度矩阵的块状迹相等,并研究了在零假设下的渐近行为.数值实验表明,这种块状迹函数检验方法与常用的检验方法相比,具有简洁易算和功效优良的特点.关键词:假设检验;周期性向量自回归模型;精度矩阵;块状三对角矩阵中图分类号:O212.1文献标志码:ADOI:10.3969/j.issn.1000-5641.202
2、3.02.007Hypothesis testing for the precision matrix of high-dimensionalperiodic vector autoregressive modelZOU Jin（School of Mathematical Sciences,Shanghai Jiao Tong University,Shanghai200240,China）Abstract:The precision(inverse covariance)matrix generated by the periodic vector autoregressive model
3、is a sparse block tridiagonal matrix.Based on this precision matrix,a new block trace function is proposedfor testing the equality of block traces of two precision matrices,the asymptotic behavior under the nullhypothesis is investigated.Numerical experiments show that the proposed testing procedure
4、 has bothappropriate size and good power.Keywords:hypothesis testing;periodic vector autoregressive model;precision matrix;blocktridiagonal matrix 0 引言针对多元周期时间序列数据,PVAR 模型(periodic vector auto-regressive model)采用了一种更为灵活的时序建模策略:XmT+v=p(v)k=1Ak(v)XmT+vk+mT+v,1 v T.(1)vTXmT+v Rdmvv 1,2,Tm 1,2,np(v)Ak(v
5、)mT+v式(1)中:为给定值;为周期值;随机向量 代表第 年第 季的值,;为 PVAR 模型的滞后阶数;为模型的系数矩阵;为误差更新过程.PVAR 模型是一种常见的关于向量时间序列的建模方法,可以用来模拟向量的周期性变化特征,在水 收稿日期:2021-04-06基金项目:国家自然科学基金(11531001)作者简介:邹进,男,博士,研究方向为回归模型中的参数估计和假设检验.E-mail: 第 2 期华东师范大学学报(自然科学版)No.22023 年 3 月Journal of East China Normal University(Natural Science)Mar.2023p文学、气
6、候学和经济学等领域中被广泛运用,详见文献 1-6.文献 7 描述了通过适当的变量变换,可以将滞后 阶的 PVAR 模型化为滞后 1 阶的 PVAR 模型.本文考虑滞后 1 阶平稳 PVAR 过程XmT+v=Av1XmT+v1+mT+v,v=1,2,T,m=1,2,n.(2)mT+v0Iv/=vmT+v1mT+v1Ai(i=0,1,T)A0=0v,v 1,2,TmT+v(XmT+v)vv?d=d T,?Xm=(XTmT+1,XTmT+2,XTmT+T)T(0 m n 1)?Xm?d?d?dAT式(2)中:误差更新过程 相互独立且服从同一分布,均值向量为 ;为协方差矩阵;当 时,与 相互独立;为转
7、移矩阵,约定 ;对于 ,和 也是相互独立的.定义 ,则 是 维随机向量,其协方差矩阵表示为 ,本文中矩阵 A 的转置用 表示.关于协方差矩阵的假设检验在许多科学领域中有着广泛的应用,如文献 8 对导致行为差异的心理学数据分析,文献 9 对基因表达式结构变化的统计分析,文献 10 对股票市场相关结构的动态建模等.单样本协方差矩阵的检验形式一般为H0:=0对 H1:/=0.(3)?d?dn?dA1,A2,AT?d,n +?d n?d?d,n +?d nU对于协方差矩阵 ,当样本量 无限大且 和转移矩阵 的阶有限时,文献 11 中的似然比检验(likelihood ratio test,LRT)已被
8、发展和广泛应用,文献 12-14 总结了对一致性和球形的假设检验.当 且 时,文献 15 修正了 Roy 的最大根检验,并推导出其检验统计量的极限分布为 Tracy-Widom 极限.当 增长时,随机矩阵理论表明,LRT 检验的统计量不再渐近收敛于卡方分布.文献 16 提出了修正似然比检验(corrected likelihood ratio test,CLRT),其检验方法在文献 17-18 中得到进一步扩展.当 且 时,文献 19研究了两种经典统计量在高维环境下单样本检验的性能.文献 20 采用了与 Ledoit 检验相似的检验统计量,但其使用统计量 来估计总体协方差矩阵.文献 21 总结
9、了在低维和高维情况下,关于多元正态分布随机向量协方差矩阵的主要检验方法.文献 22 从随机矩阵理论的角度讨论了高维协方差矩阵的估计和假设检验的最新发展.文献 23 总结了稀疏高维协方差矩阵假设检验方法的研究进展.?d,n +?d n,d nUVWWAi考虑式(2)中的周期滞后 1 阶向量自回归模型,当 且 时,协方差矩阵的假设检验是一个高维问题.文献 19 提出了 3 个关于高维协方差矩阵的非参数检验,分别用统计量 对协方差矩阵进行球形检验.用统计量 和 对协方差矩阵是否为单位阵进行检验,以下简记为UVW 检验.本文在实证部分对统计量 的检验作了比较分析.文献 24 提出了一种基于两个高维协方
10、差矩阵之差的 Frobenius 范数检验,以下简记为 TFT 检验.以上检验本质上都是构造一个平方和统计量,比较适合于协方差矩阵是稠密矩阵时的检验.当 PVAR 模型的转移矩阵 是稀疏矩阵时,周期协方差矩阵是一个稀疏矩阵.自适应检验(adaptive test procedure,ATP)25是关于协方差矩阵的非参数检验,由于来自 PVAR 模型的协方差矩阵有内在的结构特征,非参数检验效果不是很好.根据自回归模型的精度矩阵具有稀疏的块状三对角形矩阵的结构特征,本文不仅给出了在 Frobenius 范数下,样本精度矩阵的收敛速度,还证明了在零假设下,基于样本精度矩阵的块状迹统计量的极限分布渐近
11、收敛于多维正态分布.数值实验表明,这种块状统计量检验方法与常用的检验方法（如 LRT,CLRT,UVW 和 TFT 等）相比,具有更简洁、更易算、功效更优良的特点.1 PVAR 模型的精度矩阵本章首先分析精度矩阵的结构特征,然后估计精度矩阵,最后研究样本精度矩阵在 Frobenius 范数下的收敛速度.XmT+v由式(2)可以表示为第 2 期邹 进:高维周期向量自回归模型的精度矩阵的假设检验49XmT+v=vj=1v1i=jAimT+j,1 v T,(4)v1i=jAi=Av1Av2Ajv1i=vAi=I?Xm=(XTmT+1,XTmT+2,XTmT+T)T约定 ,.定义随机变量 的协方差矩阵
12、为T=(tl)TT,(5)tl=tli=1MTi,t1 Mi,l1,t l=mint,l其中 .pqMp,q=ApAp+1AqMp,p=Ap,Mp,p1=I?m=(TmT+1,TmT+2,TmT+T)T当 时,而且 .假定 ,?AT=|I00A1I000A2I0.0AT1I|,那么式(2)可以改写为?AT?Xm=?m.(6)1T通过适当的矩阵变换,得到精度矩阵 的表达式为?AT?Xm=?m?AT?Xm(?AT?Xm)T=?m?Tm?Xm?XTm=?A1T?m?Tm(?ATT)1 E(?Xm?XTm)=?A1TE(?m?Tm)(?ATT)1 T=?A1T(?ATT)1 1T=?ATT?AT,(7
13、)E?AT1T其中“”是表示推出的符号,即如果左边的等式成立,那么可以推出右边的等式也成立,表示求期望.由矩阵 的表达式,得到精度矩阵 ,它是一个块状三对角矩阵,即1T=|I+AT1A1AT10A1I+AT2A2AT200A2I+AT3A30.0AT2I+ATT1AT1ATT10AT1I|.(8)T1=1TT=T1T注意,如果 是可逆矩阵,当 成立时,在等式两边分别左乘 和右乘 ,可以得到.由于精度矩阵 具有稀疏的块状三对角的结构特征,对精度矩阵进行假设检验H0:1=1T对 H1:1/=1T.(9)50华东师范大学学报(自然科学版)2023 年 1.1样本精度矩阵nm=(Xm1,Xm2,XmT
14、),1 m n,md取 个简单随机样本 的每一列都是 维向量,且满足Xmt=At1Xm(t1)+mt,1 t T,1 m n.(10)定义Yt=(X1t,X2t,Xnt),Ut=(1t,2t,nt),yt=vec(Yt),ut=vec(Ut),(11)vec其中 运算符是一个线性变换,将矩阵的元素按列堆栈.由式(11)的定义,可以将式(10)紧凑地表示为Yt=At1Yt1+Ut.(12)At1转移矩阵 的最小二乘估计是At1=YtYTt1(Yt1YTt1)1=At1+UtYTt1(Yt1YTt1)1.(13)根据式(8),得到了精度矩阵的如下估计:1T=|I+AT1A1AT10A1I+AT2A
15、2AT200A2I+AT30.0AT2I+ATT1AT1ATT10AT1I|.(14)1T 1.2样本精度矩阵 的收敛速度1T本节研究 在 Frobenius 范数下的收敛速度.下面引用一个关于求两个独立高斯矩阵的乘积的Frobenius 范数的界的问题的引理.(0,1)N 2ln(1/)fk Rmgk Rn1 k N,fk?N(0,f)gk?N(0,g)引理 124对于给定的常数 和 ,假设 和 是独立的随机向量,并且对于 ,则P(Nk=1fkgTkF 4f1/2Fg1/2FN(m+n)ln(9/)1 .(15)(0,1)3(T1)对于给定的常数 ,常数 ,定义DT=T1t=1(4t+4At
16、F3t+(4At2F+2)2t),(16)t=4d2nln(9/)(XXT)1F1/2(t1)(t1)FttX RdN(0,I)t 1,2,T 1其中 ,的定义如式(5),服从 ,.1T结合引理 1 来推导样本精度矩阵 的收敛速度.Xtt定理 1设 是服从式(2)的滞后 1 阶平稳 PVAR 过程,误差更新过程 相互独立且服从同一第 2 期邹 进:高维周期向量自回归模型的精度矩阵的假设检验51E(t)=0,cov(t)=IAi(i=0,1,T 1)A0=0 (0,1)3(T1)n 2ln(1/)分布,.为转移矩阵,定义 .则对于给定的常数,取常数 ,当 时,P(1T 1T2F DT),(17)1T1T其中 是精度矩阵 的估计.Ai AiFYtXit=tj=1(t1k=jAk)ijijXit1/2ttXX RdN(0,I)ttXit证明首先,讨论 的收敛速度.注意到式(12)中 的列向量可以表示为独立同分布误差向量的部分和 ,因为 相互独立且分布相同,由独立同分布的中心极限定理,与 的分布相等,其中 服从 ,是 的协方差矩阵.(0,1)n 2ln(1/)由引理 1,给定常数 ,当 时,P