1、3 矩阵的条件数与病态线性方程组 判断计算方法的好坏，可用算法是否稳定、解的精确程度以及计算量、存储量的大小(dxio)来衡量。然而，同一方法用于不同问题，效果却可以相差很远。,解为,例如(lr)方程组,第一页，共十五页。,方程组,的解为,它们的解变化很大，这样的方程组称为(chn wi)“病态”方程组。,下面，我们(w men)给出方程组“病态”，“良态”概念及其衡量标准，并介绍判断近似解可靠性方法。,第二页，共十五页。,为找出刻画方程组AX=b（A非奇异，b0）病态(bngti)程度的衡量标准，我们来分析A，b初始数据微小变化对解X的影响。,由于方程组AX=b系数矩阵A与右端向量b的初始数
2、据微小变化(binhu)引起解的很大变化(binhu)，这样的方程组称为“病态”方程组。,1 矩阵(j zhn)的条件数与线性方程组的性态,第三页，共十五页。,（1）仅b有小扰动(rodng)b,设方程组 AX=b+b 的解为,即,-得,即,于是(ysh)有,另一方面，由得,且,故,第四页，共十五页。,由与有,表明解的相对误差(xin du w ch)不超过右端向量b的相对误差的,倍。,第五页，共十五页。,（2）仅有小扰动(rodng)A（设 A+A 仍可逆）,设方程组,的解为,即,-得,即,于是(ysh)有,第六页，共十五页。,因A+A可逆且b0,从而(cng r)X+X0，故由上式可得,倍
3、。,表明解的相对误差(xin du w ch)不超过系数矩阵A的,第七页，共十五页。,分析表明，数 反映了方程组AX=b的解对初始数据A，b扰动(rodng)的灵敏度，可用来刻画方程组的病态程度。,我们称数 为矩阵(j zhn)A的条件数，记作,即,第八页，共十五页。,与,由线性代数(xin xn di sh)知识，有,通常(tngchng)使用的条件数有在行模意义下的条件数与在谱模意义下的条件数，即,第九页，共十五页。,定义 设A是非(shfi)奇异矩阵，若,则称方程组AX=b为病态(bngti)方程组；,若,相对(xingdu)地小，则称方程组 AX=b 为,比如矩阵,及其逆矩阵,良态方程
4、组。,第十页，共十五页。,在行模意义(yy)下的条件数,因此(ync)称方程组,为病态(bngti)方程组。,第十一页，共十五页。,在实际计算中，常通过一些容易得到的信息来推断方程组是否病态。例如，当出现下列情况之一时，方程组很可能病态：（1）用选主元消去法消元中出现小主元；（2）系数行列式的绝对值相对(xingdu)地很小；（3）系数矩阵元素间在数量级上相差很大且无一定规律；（4）出现了相对地很大的解。,利用定义判断一个方程组是否病态，需要计算矩阵的条件(tiojin)数，从而涉及计算逆矩阵，极不方便。,第十二页，共十五页。,方程组的病态性质，是方程组本身的特性(txng)。对于病态方程组，用一般的求解方法不易求得较精确的解，而且病态越严重，求解越困难。,第十三页，共十五页。,练习(linx):求矩阵A的条件数，其中,第十四页，共十五页。,内容(nirng)总结,3 矩阵的条件数与病态线性方程组。3 矩阵的条件数与病态线性方程组。判断计算方法的好坏，可用算法是否稳定、解的精确程度以及计算量、存储量的大小来衡量。然而，同一方法用于不同问题，效果却可以(ky)相差很远。下面，我们给出方程组“病态”，“良态”概念及其衡量标准，并介绍判断近似解可靠性方法。（1）仅b有小扰动b。因A+A可逆且b0。从而X+X0，故由上式可得。表明解的相对误差不超过系数矩阵A的,第十五页，共十五页。,