1、基金项目:国家自然科学基金重点项目(51637001)收稿日期:2021-06-04 修回日期:2021-08-03 第 40 卷 第 4 期计 算 机 仿 真2023 年 4 月 文章编号:1006-9348(2023)04-0257-06基于平滑 S 形曲线的永磁球形电机轨迹规划骆成路1,2,王群京1,2,4,武思傲1,2,李国丽1,3(1.安徽大学电气工程与自动化学院,安徽 合肥 230601;2.高节能电机及控制技术国家地方联合实验室,安徽 合肥 230601;3.工业节电与用电安全安徽省重点实验室,安徽 合肥 230601;4.工业节电与电能质量控制安徽省级协同创新中心,安徽 合肥
2、230601)摘要:为了提高永磁球形电机在给定轨迹运行时速度的平滑性,减小运行过程中加加速度突变对系统造成的冲击影响,提出了一种平滑 S 形曲线的永磁球形电机轨迹规划算法。为了描述转子输出轴末端姿态角信息,通过坐标变换原理求解出转子输出轴末端起止点之间的欧拉旋转角;根据预设轨迹规划策略反解出 S 形曲线对应的加速度方程,并通过转子动力学模型获得对应控制转矩;对于 S 形曲线的加加速度存在阶跃现象的问题,利用正弦函数无限可导的特点拟合改进原 S 形曲线,使得转子输出角速度、角加加速度均平滑连续,提高了控制系统的柔性,并通过动力学仿真验证了轨迹规划算法的可行性。关键词:永磁球形电机;轨迹规划;加加
3、速度;动力学仿真中图分类号:TP391.9 文献标识码:BTrajectory Planning of Permanent Magnet Spherical MotorBased on Smooth S-Shaped CurveLUO Cheng-lu1,2,WANG Qun-jing1,2,4,WU Si-ao1,2,LI Guo-li1,3(1.School of Electrical Engineering and Automation,Anhui University,Hefei Anhui 230601,China;2.National Engineering Laboratory
4、of Energy-saving Motor&Control Technique,Hefei Anhui 230601,China;3.Industrial Power Saving and Safety Laboratory,Anhui University,Hefei Anhui 230601,China;4.Collaborative Innovation Centre of Industrial Energy-Saving and Power Quality Control,Hefei Anhui 230601,China)ABSTRACT:In order to improve th
5、e smoothness of the speed of the permanent magnet spherical motor in the giventrajectory,and reduce the impact of accelerated acceleration sudden change on the system,a trajectory planning algo-rithm for permanent magnet spherical motor with smooth S-shape curve is proposed.In order to describe the
6、attitudeangle information at the end of the rotor output shaft,the Euler rotation angle between the start and end points of therotor output shaft is solved by the principle of coordinate transformation;The acceleration equation corresponding tothe S-shaped curve is inversely solved according to the
7、corresponding trajectory planning strategy,and the corre-sponding control torque is obtained through the rotor dynamics model.For the problem of step phenomenon in the ac-celerated acceleration of the S-shaped curve,the sine function is infinitely differentiable to fit and improve the origi-nal S-sh
8、aped speed curve,so that the rotor output angular velocity and angular accelerated acceleration are smoothand continuous,and the flexibility of the control system is improved.The feasibility of this trajectory planning algo-rithm is verified by dynamic simulation.KEYWORDS:Permanent magnet spherical
9、motor;Trajectory planning;Accelerated acceleration;Dynamic simula-tion7521 引言永磁球形电机是一种能够实现三自由度运动的电磁执行装置,它因具有体积小、精度高、结构新颖的优点而备受诸多领域所关注1-3。在球形电机轨迹规划领域,天津理工大学的吴凤英等人利用不同算法针对转子在给定轨迹下的最短运行时间和加速度冲击做了运动学上的优化4,5,但是其提出的算法并未考虑电机转子体动力学因素对其运行轨迹造成的影响。安徽大学的李绅采用三次样条插值的方法实现了球形电机的连续轨迹规划,并利用基于正弦加速度的点对点规划算法推导出对应的通电控制策略
10、6,但该策略并未考虑转子运行时的速度特性。Cheon H,Wang L 等人研究了多自由度机器人与机械臂在三维空间中的轨迹规划算法7,8,为球形电机的轨迹规划提供了一定理论基础。S 形曲线的轨迹规划算法最早应用在数控机床的控制中,该算法最显著的特点是对应的加减速曲线形如字母 S 形的走势,平滑的速度规划方式使得系统在运行时更加具有柔性,但其阶跃变化的加加速度仍然会对系统造成一定的冲击,从而引起机床的振动影响控制精度9。在 S 形曲线的应用领域,Chen Qizhi,Zhe Liu 等人推导了 S 形曲线的加减速原理,利用 S 形曲线平滑连续的特性实现了其在数控系统领域中的高精度控制10,11。
11、Fang,Yi 和 Fang,SX 利用分段连续的加加速度算法改进了 S 形加减速曲线,进而提高了工业机器人在运行过程中的柔性12,13,为改进 S 形曲线在球形电机中的应用提供了理论依据。本文提出了的轨迹规划方法创新点在于,将 S 形曲线与球形电机转子动力学模型结合,相比与文献4,5,实现了其在球形电机动力学层面上的应用;利用正弦函数无限可导的特点拟合改进 S 形曲线,相比与文献9,使球形电机输出速度呈现 S 形的平滑加减速趋势,提高了球形电机在运行时的稳定性。2 永磁球形电机的结构与控制转矩描述2.1 永磁球形电机的结构本文所研究的球形电机具体结构如图 1 所示14,该电机本体主要由定子和
12、球状转子组成,其中定子线圈结构分布为 2/24 方式,即上下两层定子外壳各内嵌 12 个线圈,由 12块驱动电路板单独供电;转子体上永磁体分布为 4/40 方式,且永磁体由钕铁硼材料加工而成,二者交替排列于转子体上。当不同序列线圈通电后,线圈产生的磁场与永磁体的磁场相互作用产生不同方向的控制转矩,驱动转子实现三自由度运动。2.2 永磁球形电机的动力学模型永磁球形电机的轨迹规划不同于传统的单自由度电机,若要将不同的运动学轨迹规划算法应用于球形电机中,首先需要建立电机转子的动力学模型。设转子输出轴末端角位图 1 永磁球形电机本体结构图移、角速度、角加速度、角加速度的导数(加加速度)分别为,?,(J
13、)。三轴角位移记为,。则有=,T?=?,?T=,TJ=,T|(1)由刚体坐标变换原理与拉格朗日第二方程可得球形电机的动力学方程为M()+C(,?)?=T(2)方程中 T=Tx,Ty,TzT为电机三轴控制转矩;M()是球形电机转子体的惯性矩阵;C(,?)是离心和哥氏力项。惯性矩阵的表达式为M()=Jxcos2+Jysin20Jzsin20Jx0Jysin 0Jy|(3)其中 Jx,Jy,Jz是转子体在 X、Y、Z 轴方向上的转动惯量,将转子模型导入 ADAMS 软件中经计算其三轴转动惯量满足Jx=0.0148kgm2Jy=0.0148kgm2Jz=0.0149kgm2JI=Jx=Jy=Jz=0.
14、0148kgm2|(4)于是离心和哥氏力项可表示为C(,?)=JI20?cos cos-?cos 0-?cos cos?cos 0|(5)2.3 基于坐标分解的永磁球形电机控制转矩描述根据刚体在空间中的坐标变换原理,本文采用 XYZ 的坐标旋转次序描述球形电机末端位置的姿态角,即在三维坐852标空间中转子输出轴末端 A 点在运动约束范围内任意旋转 角到 B 点都可以视为其先绕 X 轴旋转 角度到 A1(YOZ平面内),再绕 Y 轴旋转 角度到 A2(XOZ 平面内),最后再绕 Z 轴旋转 角度到 B 点(XOY 平面内)。具体旋转角 的分解如图 2 所示。且令 A 的坐标为(xA,yA,zA)
15、,B 的坐标为(xB,yB,zB),R 为球心到输出轴末端的距离(本电机中 R=105mm)。图 2 旋转角 的坐标分解经过三次坐标旋转变换,并通过转子末端姿态的逆运动学求解,即可得到输出轴末端空间直角坐标与对应欧拉旋转角之间的关系为=arcsin(yAzB-yBzAR2)=arcsin(xBzA-zBxAR2)=arcsin(xAyB-xByAR2)|(6)此坐标分解方法有利于求解球形电机的控制转矩,具体分析如下。当转子绕 X 轴由 A 点旋转至 A1 点时,此时旋转角 与 及其角速度、角加速度均为零,则有A-A1=,0,0T?A-A1=?,0,0TA-A1=,0,0T|(7)将其带入式(2
16、),可得 X 轴方向上的控制转矩为Tx=TA-A1=J,0,0T(8)同理可求出输出轴末端由 A1 旋转至 A2,由 A2 旋转至 B时的控制转矩分别为Ty=TA1-A2=0,J,0T(9)Tz=TA2-B=0,0,JT(10)因此由式(8)、(9)、(10)可知,对球形电机轨迹规划的问题可视为对已知运行路径的加速度进行规划。3 平滑 S 形曲线的永磁球形电机轨迹规划3.1 S 形曲线的运动学特性及规划策略设计S 形加减速曲线的由来是因为电机在加减速阶段的速度曲线呈现为 S 形,典型 S 形曲线在运行过程中分为 7 段:加加速段(I)、均加速段(II)、减加速段(III)、匀速段(IV)、加减速段(V)、匀减速段(VI)和减减速段(VII)。现给出 7 段 S形曲线的加速度方程(t)=Jmaxt,t 0,t1)(I)max,t t1,t2)(II)max-Jmaxt,t t2,t3)(III)0,t t3,t4)(IV)-Jmaxt,t t4,t5)(V)-max,t t5,t6)(VI)-max+Jmaxt,t t6,t7)(VII)|(11)式(11)中的 Jmax为加加速度的最大