1、第39卷第3期2023年6月Electro-Mechanical Engineering环境适应性设计DOI:10.19659/j.issn.10085300.2023.03.007基于模态扩展和曲率的形变混合重构*成东明1，刘法2，周金柱1，赵征1（1.西安电子科技大学电子装备结构设计教育部重点实验室，陕西 西安 710071；2.中国电子科技集团公司第十研究所，四川 成都 610036）摘要：文中提出了一种基于模态扩展和曲率的形变混合重构方法，该方法在实物和有限元模型之间存在一定误差的情况下可以适当降低形变重构的误差。首先，通过模态实验在待重构的表面上均匀选取有限个测点来获取实验模态，接着
2、用对应的有限元模态振型列表来平滑扩展这些实验模态，之后用平滑扩展的实验模态来重构大量的应变值，为了防止求取模态坐标时出现过拟合，此处引入了正则项。然后，将应变值转化为曲率，再通过切角递推公式求得相邻点的位移增量，随后耦合单元坐标增量便可获得全场的形变。最后，通过建立有限元模型进行仿真实验验证，并将此方法的重构结果与曲率法的结果进行对比以验证其有效性。关键词：形变重构；曲率法；实验模态中图分类号：TN82文献标识码：A文章编号：10085300(2023)03002906Hybrid Deformation Reconstruction Based onMode Expansion and Cu
3、rvatureCHENG Dongming1,LIU Fa2,ZHOU Jinzhu1,ZHAO Zhen1(1.Key Laboratory of Electronic Equipment Structure Design of Ministry of Education,Xidian University,Xian 710071,China;2.The 10th Research Institute of CETC,Chengdu 610036,China)Abstract:In this paper,a hybrid deformation reconstruction method b
4、ased on mode expansion and curvatureis proposed.This method can appropriately reduce the error of deformation reconstruction when there is certainerror between the real object and the finite element model.Firstly,the experimental modes are obtained byuniformly selecting a limited number of measuring
5、 points on the surface to be reconstructed,and then thecorresponding finite element mode list is used to smoothly expand the obtained experimental modes.Afterthat,a large number of strain values are reconstructed by the smoothly expanded experimental modes,anda regular term is introduced here to pre
6、vent over-fitting when obtaining modal coordinates.Secondly,thestrain value is transformed into curvature and the displacement increment of the adjacent points is obtained bythe chamfer recurrence formula,and then the deformation of the whole field can be obtained by coupling thecoordinate increment
7、 of the element.Finally,a finite element model is established to carried out simulationverification.The reconstruction results of this method are compared with those of the curvature method toverify its effectiveness.Key words:deformation reconstruction;curvature method;experimental mode引言随着科技的快速发展，
8、天线领域也受到了国内外研究者的大量关注，蒙皮天线电磁性能优良，服役可靠性较高，在军事国防领域得到广泛使用12。在实际服役环境中，蒙皮天线会遇到风雪、暴晒、雨水等恶劣气候，这些都会使得蒙皮天线出现天线增益下降、波束指向变化、旁瓣增高等电性能恶化的现象。为了保障蒙皮天线在服役过程中的有效性，需要实时感知天线阵面结构的变形位移，并根据计算得到的位移值设计自适应的电补偿方法以弥补天线阵面发生变形带来的影响3。*收稿日期：20221014基金项目：国家自然科学基金资助项目（52175247,51905403）；国家重点研发计划项目（2021YFB3302101）29环境适应性设计2023年6月现有的自适
9、应电补偿方法需要知道阵面的变形值，若采用现有的高精度形变测量设备则会带来结构冗余、操作繁琐的问题。如果能够借助应变传感器来实时获取蒙皮天线上有限点的应变值，并研究一种可利用这些应变值来重构整个阵面形变的算法，就可以实时感知天线阵面的变形，完成自适应电补偿所需数据的获取。此工作对蒙皮天线的发展有着重要意义。天线阵面可以看作由若干条空间曲线组成的曲面，在将传感器测得的应变转化为曲率后，便可由曲线的几何关系从应变推导出形变。文献4利用曲率传感器测量结构的曲率值，并以此不断转换局部坐标系，从而获得曲线的三维坐标。文献5将需要重构的曲面分成若干曲面片，对曲面片建立非线性方程组进行求解，得到曲面片的方程，
10、在求得所有曲面片的形状后便得到了整个曲面的形状。文献6在膜结构上布置了大量传感器，通过切角递推方法将传感器测得的曲率信息转化为曲面上曲线的坐标，最终得到整个曲面的形状。文献7对变形的曲面划分网格，并用正交的空间曲线来表征曲面的形状，这种方法在多种变形情况下相对于单向曲线的曲面表征有着更好的适用性。文献8提出用实验数据来获取应变模态振型和位移模态振型，实现从应变模态振型到位移模态振型的转换，在传感器布局最优的情况下用少量的应变传感器重构出了曲面形变。但是，基于模态的方法需要用有限元模型信息代替真实结构的模型信息，其重构结果过于依赖有限元模型的准确度。为了降低有限元模型建模误差对位移重构结果的影响
11、，文献911提出了Ko位移理论，对传感器测得的应变进行积分，从而得到转角的挠度。但是，这种方法只适用于典型的梁结构，对蒙皮天线这种较为复杂的结构，其重构效果不太理想。文献12提出了一种逆有限元方法，从单元角度出发推导出应变和位移之间的关系，通过变分原理由传感器测得的应变反演出三维板壳的位移场，此方法考虑了横向的剪切变形，适用于简单的薄、中、厚板壳结构的形变重构。由此可知，对于蒙皮天线这种较为复杂的结构，基于曲率法的方法较为合理。现有的曲率法首先需要获取待重构结构的大量应变，但受到安装位置以及传感器成本的限制，无法通过传感器来获取大量的应变，这就需要用少量传感器测得的应变来重构出大量的应变。然而
12、，蒙皮天线服役过程中的工作环境恶劣，天线本身的模态信息会发生改变，此时重构出大量的应变将会存在一定的误差。为了降低这种误差，可以用模态实验获得的实验模态振型来求得投影向量，用投影向量和对应的有限元模态振型列表来平滑扩展此实验模态振型，使平滑扩展后的实验模态振型更加接近于实际结构的模态振型，以此重构出更接近于实际结构应变的大量应变1314。接着，借助基于曲率的切角递推法可将得到的应变转化为待重构结构的形变值，最终完成形变重构。1模态扩展重构应变在应变场重构过程中，为了减小建模误差给重构精度带来的影响，可以使用局部对应原理13来扩展实验模态振型，即对有限元模型最佳的几阶振型进行线性组合，得到某一阶
13、平滑扩展模态振型：?exp,i=FEpi(1)式中：?exp,iRN1表示第i阶平滑扩展应变模态振型；FERNK表示从有限元模型中提取的应变模态矩阵，K表示提取的振型数量，N表示全场重构点数量；piRK1表示扩展第i阶振型的投影向量，在线性结构中投影向量pi可以通过实验位移模态矩阵expRaK以及有限元位移模态矩阵FERNK来获取15，exp可以通过模态实验获取，该矩阵中包含了a个实验测点的K阶振型。通过模态实验获取有限点的位移模态振型，以此构成exp，然后将该矩阵划分为拟合集实验位移模态振型列表exp,fit和观测集实验位移模态振型列表exp,obs：exp=exp,fitexp,obs(2
14、)将模态实验的a个测点对应的前K阶有限元位移模态振型挑选出来得到FEa，这a个点之外的有限元节点的前K阶振型构成FEb。然后将FEa划分为拟合集有限元位移模态振型列表FEa,fit和观测集有限元位移模态振型列表FEa,obs：FE=FEaFEb,FEa=FEa,fitFEa,obs(3)然后利用第i阶拟合集实验位移模态振型(i)exp,fit和FEa,fit计算对应的投影向量pi(m)14：pi(m)=(FEa,fitS(m)(i)exp,fit(4)式中：m代表选择FEa,fit中的前m阶最佳振型；pi(m)RK为(i)exp,fit对应的投影向量；()代表求取矩阵的伪逆；S(m)为对角聚类
15、选择矩阵，其作用是30第39卷第3期成东明，等：基于模态扩展和曲率的形变混合重构环境适应性设计选取FEa,fit中的某几阶振型。随后，用pi(m)计算第i阶观测集估计实验位移模态?(i)exp,obs(m)：?(i)exp,obs(m)=FEa,obspi(m)(5)为了得到最优的投影向量，可计算由模态实验测得的第i阶观测集实验位移模态(i)exp,obs和?(i)exp,obs(m)的模态保证原则16：Fobs,i(m)=|(?(i)exp,obs(m)H(i)exp,obs|2(?(i)exp,obs(m)H?(i)exp,obs(m)(i)exp,obs)H(i)exp,obs)(6)然
16、后根据式（7）求得(i)exp,fit平滑扩展时对应的最佳模态数目m0：findmmaxFobs,i(m)s.t.06m6K(7)通过m0即可得到投影向量pi，进而获得式（1）所示的第i阶平滑扩展应变模态振型。同理，获得全场的前K阶平滑扩展应变模态矩阵?expRNK：?exp=FEp1pK(8)用模态法获取全场应变all时有：all=FEFE,rr(9)式中：FE,r为r个应变传感器对应的有限元应变模态矩阵；r为r个传感器实测的应变。然后，用?exp代替FE：all=?exp?exp,rr(10)式中：?exp,r为r个应变传感器对应的平滑扩展应变模态矩阵。为了防止过拟合，引入了正则项I：all=?exp(?Texp,r?exp,r+I)1?Texp,rr(11)由此便可扩展得到大量的应变all。2结合曲率法重构形变将待重构的表面划分成若干个微小单元，如图1所示。其中Pi,j表示第i行第j列的单元节点，Pi,j+1表示Pi,j沿x向的下一个节点，Pi+1,j表示Pi,j沿y向的下一个节点。对于一个微小单元，由几何知识可知，板梁结构变形之后的应变和曲率存在以下关系17：ki=2ihi(1