1、书书书第 卷第期 年月辽宁师范大学学报（自然科学版）（）收稿日期：基金项目：教育部人文社会科学规划项目（）；辽宁省教育厅基本科研项目（）作者简介：张新立（），男，山东莘县人，辽宁师范大学教授，博士 ：文章编号：（）：量子纠缠条件下古诺博弈模型均衡解的动态演化分析张新立，胡世麒，张俊哲，孙小茹（辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 ；云南大学 工商管理与旅游管理学院，云南 昆明 ）摘要：利用量子博弈与非线性动力理论，构建了有限理性预期下的动态量子古诺博弈模型，分析了量子纠缠对均衡解稳定性的影响结果发现：量子纠缠能降低均衡解的稳定性，企业产量调整速度达到某一阈值会导致该系统进入混沌状态，纠缠度增加了
2、系统的混沌状态 最后通过数值模拟验证了理论的正确性关键词：古诺博弈模型；量子纠缠度；均衡解；动态演化中图分类号：文献标识码：自 对抛硬币博弈模型发表关于量子策略的开创性成果以来，现代博弈论就进入了一个全新的量子博弈时代，并受到越来越多的关注，其中应用于连续性变量最成功的案例是 等解决了古诺双寡头垄断模型的悖论问题其后诸多学者对不同形式的古诺模型进行了研究 认为，随着量子纠缠度的增加，古诺纳什均衡收敛于帕累托最优；通过二维网格的迭代来研究量子古诺双寡头博弈，发现每次迭代，参与人都与其最近的伙伴进行博弈，并采用报酬最高的最近伙伴策略而在现实经济市场中，由于企业采取完全理性行为是很难实现的，很多学者
3、又从放松理性假设角度对传统古诺模型进行了非线性动态分析 研究了相对利润最大化和具有外部性成本函数的古诺双寡头动力学问题，给出了纳什均衡的稳定性问题；和 分析了参与人异质性预期的古诺博弈模型的动态行为，给出了稳定性及出现混沌现象的条件然而上述文献还存在以下不足：要么参与人理性是建立在完全理性假设基础之上的，要么存在着均衡解不稳定问题，而把这两种因素统一起来的文献鲜为少见，量子博弈论可以为解决此问题提供一个有效思路 基于此，本文结合量子博弈和非线性动力理论，构建了有限理性预期下的量子古诺特双寡头博弈模型，分析了量子纠缠对其造成的影响，为控制该系统出现混沌现象提供一个有效的方法模型的假设与建立设两寡
4、头企业共同控制着某一产品市场，产品具有同质性与替代性，产品的市场价格由逆需求函数，.确定 其中，（，）表示产品价格，代表产量，表示产品在市场上最高价格，是表示产品差异化程度设两寡头企业的成本函数均取线性形式（），其中，表示企业的边际成本 两寡头企业的利润函数可表示为（，）（），.（）易得两企业的纳什均衡为辽宁师范大学学报（自然科学版）第 卷，（）其中，是正常数，表示消费者愿意为该产品支付的最高价格高于其边际成本根据 等人提出的最小量子化方案，可得出与（，）的关系为（）（），（）其中，和为两企业量子产量，（），（）为两企业的酉算子策略，为企业的最终状态，表示纠缠度代入式（），得到两企业的量子利润
5、为（，）（）（）（）（，）（）（）（）.（）求解可得量子纳什均衡：（）.（）不失一般性，假设个企业是有限理性的，即利用自己的边际利润与本期产量来调整下一期的产量当本期边际利润为正（负）数时，它将在下一期提高（降低）价格以获得更高利润，其产量决策二维离散复杂动态模型可表示为（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），（）其中，分别为企业双方的产量调整速度动态系统的量子均衡解及稳定性分析令（）（），可得到二维离散动态系统（）对应的代数系统为（）（）（）（）（）（）.（）求解方程组（），得系统个量子均衡点：（，），（），（），（，）.其中，均为量子边界均衡点，为量子纳什均衡点为研究量子均衡点的局部稳定
6、性，先求出系统的 矩阵如下：（，），（）其中，（）（），（），（），（）（）根据均衡点稳定性条件，均衡解是稳定的当且仅当 矩阵的所有特征值，对上述个均衡点，有以下结论成立：定理量子边界均衡点是不稳定排斥点证点的 矩阵（），其特征值 ，显然，点是不稳定的 证毕第期张新立等：量子纠缠条件下古诺博弈模型均衡解的动态演化分析定理量子边界均衡点，是鞍点证点的 矩阵（），其中，（）（）（），（）（）（）（），（）的特征值，易知，所以量子边界均衡点是鞍点 同理可证，也是鞍点 证毕定理量子纳什均衡点局部稳定的充要条件为（）（）（）（）（）（）（）（）.证点的 矩阵（），其中，（）（），（），（），（）（）（）
7、的特征多项式（）（）（），（）代表迹，（）代表行列式（）（），（）（）（），其中，（），（）（）显然，因此，（）（）（），所以（）的特征根全为实根该系统局部稳定的充要条件满足 判据，即（）（）（）；（）（）（）；（）（）条件（）（）（）（），显然成立条件（）（）（）（）（），条件（）（）（）（）条件（）和条件（）化简即得证毕数值模拟分析由于量子古诺博弈离散动态系统的两企业都是基于有限理性作出的决策，两企业产品的产量博弈不可能瞬时就能达到量子纳什均衡状态，而是需要不断重复博弈才能达到量子均衡状态，且量子 均衡是局部渐近稳定的，容易受任意参数的影响 现借助于 进行数值模拟，以便更具体了解某一参数变
8、化对它的影响 现假设两寡头企业产量的初始值为（）.，（）.，参数，.，根据定理可知，图显示了当.时量子纳什均衡点的稳定区域，易看出，随着量子纠缠度的增大，稳定区域变得越来越小也就是说，量子纠缠度增加了系统的混沌状态的发生，为控制系统出现混沌现象的发生提供了一定理论决策依据图是当纠缠度分别取，.，企业的调整速度.时，两企业关于企业产量调整速度的动态演化图 当时，满足.时，量子均衡点（.，.）是局部稳定的，当.时系统第一次出现倍周期分岔，纳什均衡点失去稳定性，系统进入二周期 随着调整速度的不断增大，系统通过倍周期进行分岔，当 时出现混沌行为.时也有相似动态演化规律 随着纠缠度的增大，产量调整速度对
9、市场产量的灵敏度影响增大，系统的稳定性降低，出现分岔与混沌的可能性增大 可见，量子纠缠度对纳什均衡点稳定性起破坏作用，增大了系统混沌行为的发生辽宁师范大学学报（自然科学版）第 卷图当时，量子纳什均衡在三维空间（，）和平面（，）上的稳定域 （，）（，）李雅普诺夫指数是系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率，是衡量系统是否存在混沌的一个重要指标 系统是否存在混沌现象，可以从最大李雅普诺夫指数是否非常直观地判断出来从图容易看出，最大李雅普诺夫指数与纠缠度呈现明显的负相关性因此，纠缠度能破坏系统的稳定性，增加系统分岔与混沌的出现图当，时，产量随变化分岔图 ，奇异吸引子是系统混沌行为的另一种典型
10、特征，是指时间趋于无穷大时，在任何一个有界集上出发的非定常流的所有轨道在其内部一个集合，具有局部拓扑结构图与图描述了不同纠缠度下，经过迭代 次对应图出现分岔和混沌现象的奇怪吸引子，分别显示了.，.时的分形结构 可以看出，在其他相同条件下，纠缠度越大，奇异吸引子结构就越复杂图当时不同值的奇怪吸引子 第期张新立等：量子纠缠条件下古诺博弈模型均衡解的动态演化分析图当.时不同值的奇怪吸引子 结束语本文建立了有限理性预期下动态量子古诺双寡头模型，在双方企业的产品具有差异性的条件下，分析了量子纠缠度，企业调整速度对量子均衡点稳定性及复杂性的影响 并对模型进行数值模拟 结果表明，量子平衡点的稳定区域随着量子纠缠的增大而减小，有限理性预期下的企业产量调整速度的增加会使系统产生混沌现象 当企业的产量调整速度增大时，引入量子纠缠度会加速系统进入混沌状态因此量子纠缠度对系统的稳定状态起破坏性作用参考文献：，（）：，（）：，（）：，：，：，：，：，（，）：，：；