1、舰 船 电 子 工 程2023 年第 3 期1引言全球卫星导航系统通过时间测量进行定位，精密时间频率是其正常运行、提供精确服务的基础保障，卫星原子钟钟差预报是实现高精度定位导航的重要前提12。目前，IGS发起的MGEX项目和iGMAS中心为用户提供 BDS精密钟差产品，精度达到纳秒级，但存在滞后性，不能满足实时需求；其超快速产品预报部分实时性较好，但精度在 3ns 以上，且不同类型卫星钟的预报精度差距较大3。因此，研究适用于BDS卫星原子钟的钟差报方法，具有重要的意义和实用价值。用于卫星钟差预报的多项式模型（Polynomialmodel，PM）及其拓展模型为代表的物理特性模型，以灰色系统模型
2、GM（1，1）、求和自回归滑动平均模型（ARIMA）为代表的数据驱动模型，以支持向量机、极限学习机和人工神经网络为代表的机器学习模型4。由于卫星原子钟特性受到环境变化、周期运动、随机因素等多方面影响，以上模型均有其各自的适用范围和局限性：PM建模简单、短期预报效收稿日期：2022年9月7日，修回日期：2022年10月13日作者简介：安景浩，男，研究方向：导航工程。王怀智，男，研究方向：导航工程。BDS 快速钟差预报方法对比分析安景浩王怀智梁益丰许江宁（海军工程大学电气工程学院导航工程教研室武汉430033）摘要随着北斗卫星导航系统（BDS）的全面开通，研究适用于BDS卫星原子钟的钟差预报方法具
3、有重要意义。针对BDS卫星钟差数据的特性，首先对常用的多项式模型和灰色模型进行介绍推导，然后尝试引入指数平滑法进行快速钟差预报，结合算例对比分析各模型的预报精度和特性规律，结果表明：多项式模型在BDS快速钟差预报中能够取得良好效果，平均预报精度好于其他模型；灰色模型受卫星原子钟类型影响较大，短期预报精度有明显波动；指数平滑法在短期预报中的精度略差于多项式模型，针对性能较差的钟的预报效果要好于灰色模型，在长期预报中的预报效果还有待进一步研究。关键词全球卫星导航系统；原子钟；钟差预报；指数平滑法中图分类号P228DOI：10.3969/j.issn.1672-9730.2023.03.013Com
4、parative Analysis of BDS Rapid Clock Bias ForecastingMethodsAN JinghaoWANG HuaizhiLIANG YifengXU Jiangning（Navigation Engineering Teaching and Research Section of the School of Electrical Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan430033）AbstractWith the full operation of the beidou satellite
5、navigation system（BDS），it is important to study the method of clockbias prediction applicable to the atomic clocks of BDS satellites.In view of the characteristics of BDS satellite clock bias data，thecommon polynomial model and gray model are introduced and deduced at first，and then exponential smoo
6、thing method is introduced to fast clock bias prediction.Combined with calculation examples，the prediction accuracy and characteristic law of each model are compared and analyzed.The results show that the polynomial model can achieve good results in BDS fast clock prediction，and the average predicti
7、on accuracy is better than other models.The grey model is greatly affected by the type of satellite atomicclock and the short-term prediction accuracy fluctuates obviously.The exponential smoothing method is slightly less accurate thanthe polynomial model in short-term forecast，and better than the g
8、rey model in long-term forecast for clocks with poor performance.Key WordsGNSS，atomic clock，clock bias prediction，exponential smoothing methodClass NumberP228总第 345 期2023 年第 3 期舰 船 电 子 工 程Ship Electronic EngineeringVol.43 No.355总第345期率较高，中长期预报效果较差；GM（1，1）适用于小数据量建模，适合中长期预报，对历史数据利用率不高；人工神经网络算法通常需要大量训练
9、样本、容易陷入局部极小值510。本文在分析原子钟钟差模型的基础上，首先介绍钟差预报中常用的多项式模型和灰色模型的原理及方法；然后根据指数平滑法的特点，尝试将指数平滑法应用于BDS的钟差预报；最后，通过不同类型BDS卫星原子钟的快速钟差预报试验，对三类模型进行全面对比，以验证多项式模型和灰色模型的预报精度与特点，并分析总结指数平滑法在钟差预报中的性能和优缺点。2原子钟钟差模型与特征分析一般卫星原子钟钟差模型可表示为式（1）11。其中，x0表示初始相位差、y0表示初始频率差、d为频漂值（对漂移率不明显的铯原子钟，d常取0），是钟差中趋势分量；由于导航卫星钟在太空受到转动、光照、温度等影响，其相位变
10、化存在一定周期性，假设频差波动为标准正/余弦形式，易证在相位上表示为|(A/2f0)sin(2f0+)t0是钟差的周期分量；W1(t)、W2(s)是两个独立的维纳过程，代表两种起主导作用的原子钟噪声，是钟差的随机项部分。x(t)=x0+y0t+12dt2+(A/2f0)sin(2f0+)|t0+1W1(t)+20tW2(s)ds（1）以相位、频率、频漂三种参数组成的多项式模型是钟差的主要成分，周期项与噪声项通常为纳秒级，此外还有部分残余项。多项式模型常被应用于表示钟差近似物理模型，在短期预报中效果较好，但由于频率和频漂随时间不断变化，其中长期预报精度将明显发散；钟差的复杂特性也常被作为“部分信
11、息已知、部分信息位置”的灰色系统，试验表明，在数据量有限或中长期预报情况下，灰色模型钟差预报性能优于多项式模型，但预报效果受原子钟性能的影响较大；指数平滑法是一种特殊的加权移动平均法，可充分利用先验信息，具有模型简单、计算方便的优点，因此曾被应用于GPS卫星原子钟的钟差预报，体现出较好性能12。3钟差预报模型3.1多项式模型多项式模型常被应用于钟差预报中1315，基本表达式为x(ti)=a0+a1(ti-t0)+an-1(ti-t0)n-1+an(ti-t0)n+(i)（2）式中，x(ti)为ti时刻的钟差数据，a0，a1，a2，an是多项式参数，t0是参考历元时刻，ti是采样历元时刻，n为模
12、型幂数，(i)为模型误差。通常情况下，用于钟差预报的多项式模型参数有相位、频率、频漂三种，因此其幂次一般不超过两次（一次或者两次取决于原子钟是否存在比较明显的频漂）。一次多项式模型（Linear Model，LM）表达式为x(i)=a0+a1(ti-t0)+i（3）若已知 m 个历元的钟差数据x(1)，x(2)，x(m)，记t0=0，记：X=|x(1)x(2)x(m)A=|1t111t2tma?=|a?0a?1（4）则：X=Aa?+（5）根据最小二乘法，有：a?=(ATA)-1ATX（6）解算出a?0、a?1两个参数后，即可对后续钟差进行预报：x(i+T)=a?0+a?1(ti+T-t0)（7
13、）二次多项式模型（Quadratic Polynomial Model，QPM）多一个参数a2（频率漂移率），其表达式为x(i)=a0+a1(ti-t0)+a2(ti-t0)2+i（8）类似的，记：X=|x(1)x(2)x(m)A=|1t1t211t2t221tmt2ma?=|a?0a?1a?2（9）则：X=Aa?+（10）参数矩阵a?仍可由式（6）计算。可以看出，一次多项式模型与二次多项式模型进行拟合和预报的原理基本一致，选取原则在于是否考虑卫星钟频率漂移率的影响。考虑到BDS卫星原子钟包含铷/氢原子钟两种类型，因此在试验部分分别采用一次和二次多项式模型进行分析。3.2灰色模型灰色模型（Gr
14、ey Model，GM）最早由中国学者邓聚龙提出，一般用于对样本数少、规律特征不明显、信息不确定的灰色系统进行预报16。表示一阶单安景浩等：BDS快速钟差预报方法对比分析56舰 船 电 子 工 程2023 年第 3 期变量的灰色GM（1，1）模型的求解过程为设原始钟差序列：y(0)(k)=y(0)(1),y(0)(2),y(0)(n)（11）对y0(k)作一次累加生成新序列y1(k)：y(1)(k)=y(1)(1),y(1)(2),y(1)(n)y(1)(k)=i=1ky0(i)k=1,2,n（12）计算y1(k)的紧邻均值生成序列z1(k)：z(1)(k)=z(1)(1),z(1)(2),z
15、(1)(n)（13）z(1)(k)=1/2(y(1)(k)+y(1)(k+1)k=2,3,n（14）则有：y(0)(k)+az(1)(k)=u（15）式中，a为发展系数，u为灰作用量。分别记：a?=auY=|y(0)(2)y(0)(3)y(0)(n)B=|-z(1)(2)-z(1)(3)11-z(1)(n)1（16）则：Y=Ba?（17）a?=(BTB)-1BTY（18）即可解得未知参量a和u。对式（15）求导，得到微分方程：dy(1)dt+ay(1)=u（19）求解微分方程，离散化，可得：y?(1)(k+1)=(y(0)(1)-ua)e-ak+ua,k=1,2,n（20）对上式作累减运算，得
16、到GM（1，1）模型的预报公式：y?(0)(k+1)=y?(1)(k+1)-y?(1)(k)=(1-ea)(y(0)(1)-ua)e-ak，k=1,2,n,（21）式中，当k(m+n*MAD)（24）MAD=Median(|yi-m|/0.6745)（25）式中，m=Median（yi），是待测序列的中值，n的值需根据实际情况和反复试验去调整和确定，以求达到最好的效果，当观测量yi满足式（27）时，就认定其为异常值。需要注意的是，原始相位数据的异常值容易被绝对值较大的正常值淹没，因此这种方法通常应用在相对应的频率数据上。具体试验方案设计如下：1）根据预报模型不同，试验共分为三组：一次多项式模型与二次多项式模型、GM（1，1）模型、二次指数平滑法模型；2）每组试验拟合时长均为24h，对四颗原子钟进行预报，预报时长设6h、12h、24h三种；3）每组预报均选取不同的拟合区间进行7次试验，最后结果取平均值。4.2钟差预报结果计算四种模型对四颗钟进行不同预报时长的残差，并求残差的均方根平均值作为衡量预报精度的指标。以第一天试验为例，给出各类模型预报误差曲线如图2。图2预报误差曲线安景浩等：BD