1、 2 0 2 3年5月重庆师范大学学报(自然科学版)M a y2 0 2 3第4 0卷 第3期J o u r n a l o fC h o n g q i n gN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c e)V o l.4 0 N o.3 D O I:1 0.1 1 7 2 1/c q n u j 2 0 2 3 0 3 1 0非线性色散波K(2,2)方程的精确解及动力学性质*吴 春(重庆师范大学 数学科学学院,重庆4 0 1 3 3 1)摘要:【目的】研究了非线性色散波K(2,2)方程的行波解问题。【方法】利用行波变换研究
2、了非线性色散波K(2,2)方程的行波解问题。【结果】获得了非线性色散波K(2,2)方程的各种精确行波解,并讨论了这些解的动力学性质。通过图像模拟,直观地展示了部分精确解的动力学行为和动力学演化现象。【结论】研究发现部分解具有奇异性质,与现有文献中的结果相比,获得的精确解都是新结果,而且求解方法和技巧较之前文献中的要简便许多。关键词:非线性色散波K(2,2)方程;行波变换;精确解中图分类号:O 1 7 5.2 9文献标志码:A 文章编号:1 6 7 2-6 6 9 3(2 0 2 3)0 3-0 0 7 8-0 8对非线性波的研究起源于1 9世纪苏格兰工程师R u s s e l l对非线性波(
3、即孤立波)的发现。随着社会的发展和科技的进步,科研人员对非线性波的研究逐渐深入,最终发现:波形在传播中是陡峭还是光滑,与所研究的问题中是否存在色散现象和非线性现象有着直接的联系。比如,Y a n1-2研究了K(m,n,k)方程um-1ut+a(un)x+b(uk)x x x=0,(n,k1),获得了上述方程的紧波解、孤立波解以及周期波解。Y a n2还通过作变换获得了以上方程的J a c o b i椭圆函数解。特别地,当m=1,n=k=2时,以上K(m,n,k)方程就变成了K(2,2)方程。近些年来,田立新等人3-5采用动力系统面分支法研究了下列K(2,2)方程的各种行波解及动力学性质:ut+
4、(u2)x-(u2)x x x=0,(1)其中负色散项表示收缩色散。这些解的形状有尖峰型孤立(尖峰波)、周期尖峰波、光滑波等。这些现象被看作非线性收缩色散与非线性对流之间相互作用而产生的结果。关于K(2,2)更多的研究结果,详见参考文献6-8及相关引用文献。著名的C a m a s s a-H o l m方程9ut-ux x t+3u ux=2uxux x+u ux x x(后简称CH方程)与本文研究的K(2,2)方程具有类似的结构,且与方程(1)含有相同的非线性项,只是非线性项的系数略有不同。早期的研究者们通过不同的方法获得了CH方程的大量精确解。例如,C a m a s s a等人1 0通
5、过动力系统面分支法获得了该方程的尖峰波(p e a k o n)解;L i u等人1 1和L i等人1 2通过平面动力系统分支方法获得了该方程的周期尖峰波解;L i等人1 3进一步证明了周期尖峰波解的收敛性;L i u等人1 4用J a c o b i a n椭圆函数法获得了该方程的尖峰波和孤立尖波解,并通过因式分解的方法获得了该方程具有参数形式的尖波解;此外,P a r k e s等人1 5还研究了尖峰波以及反尖峰波的收敛性和非色散极限。更多关于非线性色散波方程的精确解的研究可以参看文献1 6-2 0。虽然利用上述方法可以有效地得到一些非线性偏微分方程的精确解,但在寻找尖峰型和周期尖峰型等非
6、光滑波解时仍存在一些局限性,其中最具挑战性的是不能用上述方法来研究非线性偏微分方程的弱解。值得指出的是L e n e l l s在解决这一问题上做出了巨大的贡献2 1,他给出了弱解一个很好的定义,在弱解定义下,L e n e l l s研究了CH方程,得到了包括尖峰波、周期尖峰波和一些复合波等的各种行波解,极大地丰富了CH方程的行波解内容。尽管如此,在上述文献中,一些奇特形式的行波解,如环状孤立波(l o o ps o l i t o n)、破缺的扭结波和其他非对称形式的行波并没有揭示出来,仅对尖峰孤立波和周期尖峰波给出了显式解。此外,解的极限行为也尚未被研究。因此,本文引入平面动力系统分岔理
7、论2 2-2 5,即简化的积分分岔法1 1-1 2,再次研究了方程(1),本文将获得与上述文献结果不相同的精确行波解,并讨论它们的动力学性质,并通过解的三维图形展示几种新解的空间演化现象。*收稿日期:2 0 2 2-0 1-1 3 修回日期:2 0 2 2-1 2-1 6 网络出版时间:2 0 2 3-0 6-0 8 T 1 0:1 0资助项目:国家自然科学基金面上项目(N o.1 1 6 7 1 0 6 2);重庆市自然科学基金面上项目(N o.c s t c 2 0 1 9 j c y j-m s x mX 0 3 9 0);重庆市教育科学规划课题年度规划一般课题 现代信息技术与高校数学教
8、学深度融合实践研究(N o.K 2 2 Y G 2 0 5 1 4 4)第一作者简介:吴春,男,副教授,博士,研究方向为偏微分方程,E-m a i l:w u c h u n c q n u.e d u.c n网络出版地址:h t t p s:/k n s.c n k i.n e t/k c m s 2/d e t a i l/5 0.1 1 6 5.n.2 0 2 3 0 6 0 5.1 6 5 4.0 0 6.h t m l1 方程(1)的二维平面动力系统及首次积分方程作行波变换u(x,t)=(),=x-c t,把方程(1)约化成常微分方程,式中:c是沿x轴方向运动的波速。将行波变换代入式
9、(1),约化成非线性常微分方程:-c+(2)-(2)=0,(2)式中:=dd。通过对式(2)进行积分,可得:-c+2-2()2-2=g,(3)式中:g为积分常数。令=dd=y,当0时,式(3)可以转化为如下的一个奇异的二维动力系统:dd=y,dyd=-g+c-2+2y22。(4)=0为系统(5)的奇异直线。不难发现,当=0时,式(4)并不等于方程(3)。不管函数如何变化,为获得完全等价于式(3)的系统,需做如下变换:d=2d。(5)这里为参数。通过变换(6),系统(7)可化为如下规则系统:dd=2y,dyd=-(g+c-2+2y2)。(6)显然,系统(4)与(6)具有相同的首次积分:2y2-4
10、4+c33+g22=h,(7)式中:h为另一积分常数。记函数H(,y)=2y2-44+c33+g22,从式(6)、(8)易知dd-Hy,dydH。因此,系统(6)不是哈密顿系统。在H(,y)=h(h为常数)的条件下,虽然全局的能量是守恒的,但是局部能量,即系统的动能和势能并不守恒,这意味着系统还有外能存在,因此方程(1)还应该包含许多奇异的行波解(不光滑的行波解)。2 模型的精确行波解及动力学性质本节将讨论方程(1)的各种精确行波解,下面以定理的形式来叙述方程(1)的行波解及分类。定理 设h,g为任意常数,当数h=g=0时,K(2,2)方程(1)有一个双曲函数型的无界U型波解;当数h=0,g0
11、时,K(2,2)方程(1)有一个指数函数型的解;当数h0,g=0时,K(2,2)方程(1)有一个第一类J a c o b i椭圆积分函数型的解;当数h0,g0时,K(2,2)方程(1)有一个第三类J a c o b i椭圆积分函数型的解。证明 首先,由方程(7)可解得:y=142-13c-12g+h2。(8)1)当积分常数h=g=0时,式(8)可以化简为y=142-13c,代入式(4)得d24-c3=d,对它积分,有:=c1e/2+c32c1e/2,(9)式中:c1为一常数。特别地,当c1=c3时,式(9)能被化简为=2c3c o s h2+1。结合u(x,t)=(),可以获得式(1)的精确行
12、波解u=2c3c o s hx-c t2+1,这是一个无界的U型波解,为了展示它的动力学性质,取c=2,得到它在空间97第3期 吴 春,等:非线性色散波K(2,2)方程的精确解及动力学性质中的波形图(图1)。当c1=-c3时,方程(9)能被化简为=2c31-c o s h2。因此,由u(x,t)=(),可以得到式(1)的精确行波解为u=2c31-c o s hx-c t2。这是一个无界的反U型波解,为了展示它的动力学性质,取c=2,得到它在空间中的波形图(图2)。图1 c=2时解2c3c o s hx-c t2()+1的波形演化F i g.1 G r a p h so fw a v e f o
13、 r me v o l u t i o nt h e s o l u t i o n2c3c o s hx-c t2()+1a tc=2图2 c=2时解2c31-c o s hx-c t2()的波形演化F i g.2 G r a p h so fw a v e f o r me v o l u t i o nt h e s o l u t i o n2c31-c o s hx-c t2()a tc=2图3 c=2,c1=1时解(c1e(x-c t)/2+c/3)2c1e(x-c t)/2的波形演化F i g.3 G r a p h so fw a v e f o r me v o l u t
14、i o nt h e s o l u t i o n(c1e(x-c t)/2+c/3)2c1e(x-c t)/2a tc=2,c1=1当c1c3时,结合u(x,t)=(),可得到式(1)精确解u=(c1e(x-c t)/2+c/3)2c1e(x-c t)/2,该解是一个具有衰减性质的行波解,取c=2,c1=1,得到它在空间中的波形图(图3)。2)当积分常数h=0,g 0时,式(8)可以化简为y=142-13c-g2,代入式(4)的第一个方程,可得d24-c3-g2=d,再对此式积分得:=11 82(3c1e/2+c)2+9gc1e/2。(1 0)当c1=c3时,式(1 0)可以化简为=162
15、c2+9gce-/2+2ce-/2+4c。再由u(x,t)=()可得方程(1)的精确行波解u=162c2+9gce-(x-c t)/2+2ce-(x-c t)/2+4c。为了展示该解的动力学性质,取c=2,g=3,得到它在空间中的波形图(图4)。当c1=-c3时,可以将式(1 0)化简为=164c-2c2+9gce-/2-2ce-/2。因此,利用u(x,t)=()得到式(1)的如下行波精确解:u=164c-2c2+9gce-(x-c t)/2-2ce-(x-c t)/2,为了展示它的动力学性质,取c=2,g=3,得到它在空间中的波形图(图5)。08重庆师范大学学报(自然科学版)h t t p
16、s:/c q n u j.c q n u.e d u.c n 第4 0卷a c=2,g=-3b c=2,g=3图4 c=2,g=3时解162c2+9gce-(x-c t)/2+2ce-(x-c t)/2+4c的波形演化F i g.4 G r a p h so fw a v e f o r me v o l u t i o nt h e s o l u t i o n162c2+9gce-(x-c t)/2+2ce-(x-c t)/2+4ca tc=2,g=3a c=2,g=-3b c=2,g=3图5 c=2,g=3时解164c-2c2+9gce-(x-c t)/2-2ce-(x-c t)/2的波形演化F i g.5 G r a p h so fw a v e f o r me v o l u t i o nt h e s o l u t i o n164c-2c2+9gce-(x-c t)/2-2ce-(x-c t)/2a tc=2,g=3当c1c3时,由u(x,t)=()得到式(1)的如下行波精确解u=11 823c1e(x-c t)/2+c()2+9gc1e(x-c t)/2,为了