1、文章编号：（）拟可加积分的收敛定理马秋红，郭彩梅，张德利（长春大学 理学院，吉林 长春 ；长春师范大学 数学软计算与应用重点实验室，吉林 长春 ）摘要：拟积分作为 积分的推广，有着重要的理论价值，并成为 积分等的基础。本文将进一步研究该积分序列的收敛问题，给出了单调递减收敛定理、广义单调递增收敛定理及 引理。关键词：拟加；拟乘；拟可加测度；拟可加积分；收敛定理中图分类号：文献标识码：引言自 提出模糊测度与模糊积分的概念以来，这一理论得到了迅猛的发展，并被广泛应用于综合评判、决策过程、机器学习、非线性分析等诸多领域。虽然模糊测度是经典测度的推广，但模糊积分却不是 积分的推广，即使是广义模糊积分仍
2、不能以 积分为特款。沿着减弱经典测度的可加性条件且能推广 积分的思路，学者们很早就开始了探索。年，利用反三角模，定义了可分解测度，且在 三角模的情形下，给出了关于此种可分解测度的积分，这种积分是 积分的推广。几乎是与此同时，杨庆季引入了两种被称为“泛加”和“泛乘”的运算，从而定义了一种“泛积分”，这种积分在王震源等工作中得到进一步深化。在这一方向上的一项代表性工作是由 与 完成的，该积分是基于一种拟加“”和拟乘“”运算定义的拟可加测度和关于这种测度的拟可加积分，这一测度与积分推广了 的工作，当然包含了 积分，且以满足模糊可加性的模糊测度与模糊积分为特款。这一理论一经提出，便得到了很好的应用，如
3、 于 年定义了一种更广义的 积分，使 积分、积分及（）模糊积分成为特款。等建立了半环上的拟积分基本理论，使得 与 的拟积分得以进一步推广，此领域最新研究成果见作者的工作 。对于任何一种积分，其收敛定理均为核心内容。关于 与 的拟积分，文 只给出了单调递增收敛定理，这显然是不够的，本文将进一步研究此问题，给出了单调递减收敛定理、广义单调递增收敛定理及 引理。第 卷第期 模糊系统与数学 ，年月 ，收稿日期：基金项目：吉林省自然科学基金资助项目（）作者简介：马秋红（），女，吉林德惠人，长春大学理学院副教授，研究方向：模糊分析学；郭彩梅（），女，辽宁建平人，长春大学理学院教授，研究方向：模糊分析学；张
4、德利（通讯作者）（），男，吉林农安人，长春师范大学副校长（正校长级），数学软计算与应用重点实验室主任，一级教授，博士生导师，研究方向：非可加测度论。拟可加测度与积分的基本概念本节为预备知识，取自 与 。定义区间，上的二元运算称为拟加，如果满足下列条件：（）；（）（）（）；（），；（），（）（）。显然（，）构成半群。定义设（，）；是以可数集为指标集的一族，的开子区间。对每个，指定一个连续的严格增函数：，称二元运算有表示（，），：当且仅当（）（），（，）（，）（，），其他这里，是的拟逆，即（）（，（）定理.二元运算是拟加运算当且仅当它有一个表示（，），：。例.通常的加法有表示（，），其中（），最大
5、运算有表示，即它没有（，），因而，均是拟加运算。在下述讨论中，设拟加具有表示（，），：，且表示的幂等元集合，即：，显然，（，）记，且?：（，?（）（），（，?（）（），定义.设是，上的拟加运算，是，上另一二元运算。称为对应于的拟乘，如果它满足下述条件：（）（）（）（）；（）；（）或；（）左恒等元，使；（）（，），且 （）。定义.设是对应于拟加的拟乘，则存在一列连续的非减函数，使得第期 马秋红，郭彩梅等：拟可加积分的收敛定理（）（），（），（），。设（，）为可测空间。定义.集函数：，称为测度，也简称为拟可加测度，如果它满足下述条件：（）（）；（）（）（）（）；（）（）（）。显然拟可加测度具有与经
6、典测度相当的性质，如单调性、完全（拟）可加性等。对于拟可加测度，引入下述两个符号与约定，称对某个，具有性质：（），（）（，（），（），。定理.设（，）是拟可加测度空间。若对某一个，具有性质（），则存在通常的测度?，使得?；若还满足（），则?是有限且唯一的。定义.给定拟可加测度空间（，）。设是简单函数，即（），；，其他（）这里，（），定义在上的积分为（）（）设是非负可测函数，则存在非负简单函数列，且，定义在上的积分为（）（）上述定义的积分称为拟可加积分或（）拟积分。若，则简记“（）”为“（）”。定理.若对某个，具有性质（），且?是通常的测度，满足?，则（）?此处，“”是 积分。引理.设没有幂零区
7、间（即（），），且设与之相对应的为，是幂等元（），则有下述等式成立：（）（）（）（）定理.给定非负可测函数列 及非负函数。若，则（）（）模糊系统与数学 年拟可加积分的收敛定理本节中，恒设（，）为可测空间，其上的拟可加测度的全体记为（）（这些拟可加测度是针对于同一拟加运算的，且是与之相应的拟乘），全体广义非负实值可测函数记为（）。性质.设（）。若 是单调上升的（即，（）（），则 存在（即，（）（）存在），且（）。证明首先 的存在性是明显的，且（）（），又，有（）（）（）（）（）（）（）（）（）下面只须证明（）（）。若，则对，有（）（）（）（）（）（）因而（）（）。定理.设（），（）。则等价于对一
8、切（），有（）（）证明：，取（），为的左恒等元，则（）（），（）（），从而。：显然（）是单调上升的。下面分两步完成等式的证明。（）若是简单函数，即式（），则（）（）（）（）由拟运算的连续性，易见（）（）。（）若是一般的非负可测函数，则存在简单函数列，从而（）（）（）（）（）（）（）第期 马秋红，郭彩梅等：拟可加积分的收敛定理即（）（）。定理.设（），（）。则当且仅当对一切简单函数（），均有（）（）。下面给出单调递减收敛定理。定理.在引理.中的运算下，设（），（），且。若下列条件之一成立：（）（）；（）（）不是幂等元；（）（），则（）（）证明由知（）单调下降，因而 （）存在，且不小于（）。（）若
9、 （），则（），等式成立。（）若 （）不是幂等元，则，使（，），因而，使（）（，）。利用，可得单调增函数列：。由引理.，有（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）由单调增加收敛定理，进一步有（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）由于（）（）（），故（）（），因而下面分两种情形讨论。当（）（）时，由式（）有（），进而由式（）有（）。当（）（）时，有（）（）（）（）（）（）（）（）模糊系统与数学 年比较上述两式可得，（）。（）若（），则等式直接成立。综上，（）。定理.（广义单调递增收敛定理）设（），（）。若，则（）（）定理.（引理）设（），（），则（）（）（）定理.（引理 ）在引理.
10、的运算下，设（），（），若 （）（）或为非幂等元，则 （）（）推论.在引理.的运算下，设（），（），。若 （）（）或为非幂等元，则（）（）结论与注记至此，我们已经得到了拟可加积分的单调递减收敛定理、广义单调递增收敛定理及 引理等，这些结果丰富了拟可加积分序列的收敛理论。相较于拟可加积分，我们对含义更广的积分 定义的半环上的拟积分做了进一步的探索，重新定义了该拟积分，并以此为基础定义了广义 积分 。广义 积分是一种涵盖更广的积分，的模糊积分，（）模糊积分，积分，积分，积分 等均是其特款，我们得到了广义 积分的各种性质与收敛定理，其中的单调递增收敛定理能够包含定理，但单调递减收敛定理是关于特殊的半环，情形得到的，不能包含本文的定理。同时我们需指出，与函数列依测度收敛有关的收敛定理本文没有涉及，读者可参见广义 积分的对应结果。参考文献：，：，：，：，：，：，：赵汝怀（）模糊积分数学研究与评论，：第期 马秋红，郭彩梅等：拟可加积分的收敛定理 ，：，：，：，（）：，：，：，（，；，）：，：；模糊系统与数学 年