1、 （）年 第 卷 第 期 收稿日期：基金项目：国家自然科学基金项目（）；山西省基础研究计划项目（）；山西省高等学校科技创新项目（）；太原科技大学科研启动基金项目（）作者简介：范凯，男，博士，讲师，主要从事非线性偏微分方程的行波解研究，：。本文引用格式：范凯，刘健康，孙宝，等 扩展的极简（）展开法获取杆中非线性波动方程的精确解及分析 重庆理工大学学报（自然科学），（）：，（）（），（）：（）扩展的极简（）展开法获取杆中非线性波动方程的精确解及分析范 凯，刘健康，孙 宝，李占龙（太原科技大学 应用科学学院，太原；太原科技大学 车辆与交通工程学院，太原）摘 要：对扩展的（）展开法进行等价简化，将 个
2、 方程的精确解耦合为非线性波动方程的精确解。使用扩展的极简（）展开法获取非线性波动方程的 个精确解，发现耦合解中不仅分布有极简（）法与极简（）法获取的精确解，还存在新形式的精确解。对讨论得到的位移梯度解，及对应的应变波函数，代入材料参数进行数值模拟，发现扭结孤立波和钟状应变波，且杆半径越大，对材料的抗拉强度要求越高。关 键 词：非线性波动方程；扩展的（）展开法；行波解；孤立波解中图分类号：文献标识码：文章编号：（）引言对冲击机械的研究起源于撞击问题，部分冲击机械设备中存在横向尺寸比轴向尺寸小很多的部件，比如钎杆、锤杆和桩等。对此类部件沿轴向方向进行撞击时，弹性杆是冲击系统力学模型中的核心元件，
3、必须考虑波动过程。刘德顺等基于经典线性波动方程研究了冲击机械动力学，但存在微小变形假设和忽略泊松效应的理论局限，对要发生有限变形的高速或重载冲击失效，无法分析泊松效应的效用。等在考虑泊松效应、有限变形的情况下，使用 变分原理导出如下形式的杆中非线性波动方程：()（）式中：为轴向位移梯度；为杆密度；为泊松比；为弹性模量；为剪切模量。显然，方程（）可以退化为经典的线性波动方程，进一步研究方程（）的精确解有助于高速或重载冲击下机械系统动力学问题研究的深入和突破。非线性波动方程的精确解不仅可以图形化地展示许多复杂的非线性现象，还允许对其机理进行解读，是开展其他问题研究的重要基础。等提出获取非线性波动方
4、程精确行波解的（）展开法，之后被广泛应用，后续产生许多修改版，如有理（）展开法、（）展开法、扩展的（）函数展开法 等。（）展开法过程更简洁，但获得的基本解形式变少。获取非线性波动方程的新的精确解是重要的课题，等把（）展开法的幂次从正整数推广到负整数，获取了 方程的新精确解，但未阐明扩展（）展开法相比（）展开法获取新精确解的机理。本文研究中，首先，把扩展（）展开法的辅助方程变换为等价的极简辅助方程，记为扩展的极简（）展开法，并阐明扩展的极简（）展开法相比（）展开法是把 个 方程的解以某种形式进行融合，从而获得新精确解；其次，使用扩展的极简（）展开法获取方程（）的精确行波解，并讨论获取到的 个精确
5、解；最后，对扭结孤立波解及其对应的应变波函数进行数值模拟与分析。扩展的极简（）展开法 极简的辅助方程及（）函数的解形式定理 （）展开法辅助方程 可以简化为极简辅助方程 ，其中，为常数，（），（）。通过极简辅助方程的通解，在不同的条件下得到（）的解如下：()（）（）（）（），（）（）（）（），|（）式中：、为自由常数，式（）的结果可以进一步改写为式（）。()（），（），（），（），（），（）（），（），|（）扩展的极简（）展开法的注解注解 扩展的极简（）展开法只是把扩展（）展开法中的辅助方程修改为 ，为了方便叙述，把修改后的方法记为扩展的极简（）展开法。对于扩展的（）展开法，辅助方程选 不应只理
6、解为是 中 ，的一种特殊情况，更好的理解应该是通过结合常数 和 来使辅助方程的参数数量减少 个，因为使用这 个辅助方程得到的解完全等价，并能使整个计算过程更简洁。注解 对于扩展的极简（）展开法，拟设解的形式如下：（）（）（）（）当系数（，）为 时，退化为极简（）展开法，有范 凯，等：扩展的极简（）展开法获取杆中非线性波动方程的精确解及分析（）（）（）（）（）当式（）中的系数（，）为 时，退化为极简（）展开法，此时有（）（）（）（）（）（）由式（）和式（）可知，当 满足极简辅助方程时，（）和（）分别满足一个广义 方程。因此对扩展的极简（）展开法做出说明，扩展的极简（）展开法可将 个 方程的解以某
7、种形式融合在一起作为非线性波动方程的精确解，也可以说，扩展的极简（）展开法可将非线性波动方程的解分解为 个 方程的解。扩展的极简（）展开法获取杆中非线性波动模型的精确解 对方程（）做行波变换（，）（），然后取（）（）（）（）则方程（）化为 （）（）（）使用平衡原理，得到方程（）的拟设解为（）（）（）把式（）代入式（），令（）的所有幂次项系数为，得到如下非线性代数方程组：（）：（）：（）：（）：（）：（）：（）：（）：（）：（）：（）：求解上面 个方程组成的非线性代数方程组，得到 组非平凡解：耦合解组 ，（）耦合解组 ，（）解组 ，（）解组 ，（）通过验算发现，极简（）展开法得到的解组就是解组，
8、极简（）展开法的解组就是解组，实例说明了扩展的极简（）展开法获得的解包含极简（）展开法的解和极简（）展开法的解。结合式（）或（），将式（）（）的值代入式（），得到方程（）在不同参数条件下的不同精确解，结合行波变换式就可得到方程（）的精确解。耦合解组 ）当 ，使用式（），方程（）具有如下形式的由双曲函数构成的精确解：，（，）（）当 ，使用式（），方程（）具有如下三角函数形式的精确解：，（，）（）当 ，此时，方程（）的有理函数形式的精解为：，（，）（）耦合解组 ）当 ，使用式（），方程（）具有如下由双曲函数构成的精确解：，（，）（）当 ，使用式（），方程（）的三角函数形式的精确行波解为：，（，）（
9、）当 ，此时，此时的解为前面的，（，）。解组 ）当 ，方程（）具有如下形式的精确解：，（，）（），（，）（），（）当 ，方程（）的三角函数形式的精确解为：，（，）（），（），（，）（），（）当 ，此时的解为前面的，。解组 ）当 ，方程（）具有如下形式的精确解：，（，）（），（，）（），）当 ，方程（）的三角函数形式的精确行波解为：，（，）（），（），（，）（），（）当 ，此时，解退化为常数。验证及精确解的存在性分析通过对所获取的精确解的讨论，展示扩展的极简（）展开法或扩展（）展开法相比（）展开法能够获得新解的原因，即注释 中的理论分析的验证。分析精确解在实数域和材料正参数条件下的存在性。精确解
10、的讨论及理论分析的实例验证参数 和 取值任意，相位 造成行波的平移，所以考虑 个行波是否等价时，忽略相位。由此可得：极简（）展开法获得的解，和解，与用扩展的极简（）展开法获得的解，和解，分别相等，但缺省使用扩展的极简（）函数展开法求得的解，和，；极简（）展开法获得的解，和解，与解，和解，分别相等，同样缺省解，和，；极简（）展开法与极简范 凯，等：扩展的极简（）展开法获取杆中非线性波动方程的精确解及分析（）展开法除 时的解不同，其余情况分别等价。更明确地说，和，是使用扩展的极简（）函数展开法求得的不同耦合解组下的解，而通过扩展的极简（）函数展开法求得的解，和，不能通过极简（）函数展开法或极简（）
11、展开法获得。由此，对于极简（）或（）函数展开法，认为，和，就是在行波拟设解中加入负或正幂次项而额外获得的耦合解。忽略相位，极简（）法与极简（）法有相同的双曲函数和三角函数解，但是由他们组合构成的扩展的极简（）法却得到了非线性方程的新解，和，。而这 个耦合解，在采用 椭圆函数展开法求解的文献中未获得。解的存在性分析分析解，的存在性：当 时，由式（），代入式（）中，的表达式有 （）（）（）（）（）由于 大于，考虑参数，都大于 的情况，推导出 （）。要使，为实数域上的解，则要 小于，得到 （）。综上，可得在实数域，杆中允许有形如，的双曲函数形式的波传播的条件为 （）。对于方程（）的 个精确解，在实数
12、域和正材料参数的条件下依次进行存在性分析，整理结果如下：）不存在的解为，；）在 ，的条件下存在的解为，其中，；）在 ，的条件下存在的解为，；在实数域中存在且互异的解可取，它们将作为数值模拟的可选解。基于，的非线性应变波及数值模拟分析 对于方程（），轴向位移梯度 与轴向应变的关系为 ，可得到非线性应变波。不失一般性，取 为，以，为例进行数值模拟分析。考虑由 钢加工成的横截面半径 的杆，钢的材料参数取值为：，（）（）根据解的存在性分析结果，代入式（）中的参数和杆的半径 ，计算得 ，精确行波解，中的 （），整理可得非线性波速为：（）（）（）画出，的正系数的三维数值模拟图，如图 所示，显示为一个扭结孤
13、立波，它是由方程（）中的几何非线性效应与横向惯性和横向剪切导致的色散效应达到一种平衡形成的。与解，对应的轴向非线性应变波函数为（，）（）（）（）（）（）取 ，将式（）中的数据和 代入式（）。式（）的三维数值模拟图见图，可以看出式（）代表 个钟状非线性应变波解。由非线性波速公式（）可知，随着杆半径的增大，非线性波速增大；由式（）的表达式可知，非线性波速增加，振幅增加。结合图 可以清晰地发现，振幅增加对应正应变幅值变大，说明对于半径越大的杆，钟状非线性应变波在其中传播时，对材料的抗拉强度要求越高。图 当 时，式（）中扭结孤立波解的 三维数值模拟图图 当 ，时，钟状非线性 应变波解的三维数值模拟图
14、结论）通过理论分析，阐明通过扩展的极简（）展开法不仅可以获得极简（）展开法与极简（）展开法所获取的非线性演化方程的精确解，还能获得由 个 方程精确解耦合成的解，且使整个计算过程更简洁。）通过对比分析使用扩展极简（）展开法获取的 个精确解，发现忽略初始相位下，极简（）法与极简（）法具有相同的双曲和三角函数解，耦合解中不仅分布有极简（）法与极简（）法的精确解，还存在新形式的精确解，比如，和，就是新的精确行波解。）梳理出 组在实数域存在且独立的精确解，通过位移梯度解，及对应的应变波函数的数值模拟和分析，发现方程（）存在扭结位移梯度孤立波解，此时杆中能存在稳定传播的钟状应变波，半径越大，对材料的抗拉强
15、度要求越高。参考文献：刘德顺，李夕兵，朱萍玉 冲击机械动力学与反演设计 北京：科学出版社，（）：，（），：，：曾琦（）展开法求解（）维广义浅水波方程新的精确解 南昌大学学报（理科版），（）：，（），：陆求赐，张宋传，王学彬，等 分数阶及整数阶 方程的孤立波解研究 数学的实践与认识，（）：马志民，孙峪怀 构造非线性偏微分方程精确解的（）展开法 重庆理工大学学报（自然科学），（）：，：范 凯，等：扩展的极简（）展开法获取杆中非线性波动方程的精确解及分析 ，（）：，：郭鹏，唐荣安，孙小伟，等 非线性弹性杆波动方程的显式精确解 应用数学和力学，（）：（），（，；，）：（），（）（）（），：；（）；（责任编辑 杨黎丽）