1、宝鸡文理学院学报(自然科学版棭第43卷，第1期，第1-7,18页,023年3月Jo u r n a l o f Ba o ji Un iver sit y o f Ar t s a n d Sc ien c es(Na t u r a l Sc ien c e),Vo l：4 3,No：1,p p：1-7,18,Ma r：2023DOI：10.134 67/j.c n ki.jbu n s.2023.01.001分数阶漂移一扩散模型解的Gevrey解析性和衰减率罗永轲，赵继红灣（宝鸡文理学院数学与信息科学学院，陕西宝鸡721013）摘要摘要：目的目的研究一类分数阶漂移一扩散模型整体解的Ge v
2、r ey解析性和衰减率，该模型是半导 体中经典模型Po isso n-Ne r n st-Pl a n c k方程组的推广模型，数学形式上表现为分数阶非线性抛物型和椭 圆型偏微分方程耦合而成的混合型方程组暎暎方法 方法 利用多线性奇异积分算子理论和Fo u r ier微局部分 析技术进行研究暎暎结果与结论 结果与结论 证明了分数阶漂移一扩散模型在临界Fo u r ier-Beso v空间中的整体解 是Gevr ey解析的，并得到了此整体解的衰减率暎 暎关键词关键词：分数阶漂移一扩散模型；整体解；Gevr ey解析性；衰减率中图分类号中图分类号：O175.28 文献标志码文献标志码:A 文章编号
3、文章编号：1007-1261（2023）01-0001-07Gevrey analytic ity and dec ay rates of solutions forthe frac tional d rift-d iffusion modelLUO Yo n g-ke,ZHAO Ji-h o n g*(Sc h o o l o fMa t h ema t ic sa n d In fo r ma t io n Sc ien c e,Ba o jiUn iver sit yo fAr t sa n d Sc ien c es,Ba o ji721013,Sh a a n xi,Ch in a)
4、Abstrac t:PurposesTo st u d y t h e Gevr ey a n a l yt ic it y a n d d ec a y r a t es o f g l o ba l so l u t io n s fo r a c l a ss o f fr a c t io n a l d r ift-d iffu sio n mo d el：Th e mo d el is a g en er a l iza t io n o f t h e c l a ssic a l Po isso n-Ner n st-Pl a n c k eq u a t io n set i
5、n semic o n d u c t o r d evic es,wh ic h ma t h ema t ic a l l y exh ibit s t h e mixed eq u a t io n syst em c o up l ed wit h fr a c t io n a l n o n l in ea r p a r a bo l ic a n d el l ip t ic p a r t ia l d iffer en t ia l eq u a t io n s：Method sTh e mu l t il in ea r sin g u l a r in t eg r
6、a l t h eo r ie s a n d t h e Fo u r ie r mic r o l o c a l a n a l ysis a r e u sed t o p r o ve ma in r esu l t s：Results and Conc lusionsIt is p r o ved t h a t t h e g l o ba l-in-t ime so l u t io n s o f t h is mo d el a r e Gevr ey a n a l yt ic a l in c r it ic a l Fo u r ie r-Beso v sp a c
7、es,wit h d ec a y r a t es o f t h ese g l o ba l so l u t io n s o bt a in ed：Key word s:fr a c t io n a l d r ift-d iffu sio n mo d el;g l o ba l so l u t io n s;Gevr ey a n a l yt ic it y;d ec a y r a t esMSC 2020：35A20；35Q81；35R11；78A35本文主要研究半导体理论中经典的漂移一扩 散模型的推广模型，分数阶漂移一扩散模型，其初 值问题形式如下：掛3+AF=V*（
8、jVAPp），文暿 R，棳0,掜 3口+=V*（棬VAp），棳暿 R，棳0,（1）丨 丨iKC）=让（棬）,s（棬,0）=氓棬），暿R,其中，1 0：曑2,00曑/,曒2,=巳（棬,）和 3=3（,）是未知函数，s（）和g（）是给定 的初值函数，分数阶La p l a c e算子公=（）可 通过Fo u r ier变换定义如下：A%（）：=斊椲 斊（）（），其中，斊（棬）=u表示m的Fo u r ie r变换，斊】（）表 示“的Fo u r ier逆变换暎19世纪末，为刻画电解质中带电粒子的漂移 和扩散现象,Ne r n s t和Pl a n c k提出了经典的 Po isso n-Ner n
9、 st-Pl a n c k（PNP）方程组，其初值问 灣 收稿日期=2022-07-25,修回日期：2022-09-20：基金项目：国家自然科学基金项目（11961030）；陕西省自然科学基础研究计划一般项目-面上项目（2022JM-034）；陕西省教育厅 自然科学专项科研计划（21JK04 79）；宝鸡文理学院研究生科研创新项目（YJSCX22YB28）作者简介：罗永轲（1996-），男，甘肃武威人，在读硕士研究生，研究方向：偏微分方程.Ema il：yo n g kel u o l ma t h 163：c o m通讯作者：赵继红（1982-），男，甘肃天水人，教授，博士，硕士生导师，研
10、究方向：偏微分方程.Ema il：jih zh a o 163：c o m2宝鸡文理学院学报(自然科学版)2023 年题如下：QN AN=V(NVQ,暿 R,0,灥P AP=V(V(p)，棳暿 R 棳0,掜 (2)Ap=P N，棳暿 R，棳0,、N(,0)=N(),P(,0)=暿 R,其中,N=N(,)和P=P(,)分别表示带负 电荷和正电荷粒子的密度函数，卩表示电子静电 势。易见经变换d:=NP,w：=N+P,即可由 方程(2)推得方程(1)(对应于a=2,0=2的情 形)。作为半导体理论的经典模型，方程组(2)的 研究成果已经有很多k archh证明了方程组(2)在临界Beso v空间瓦曓
11、(R)掝 p d掫中 的局部适定性和小初值问题的整体适定性。随后,ZHAO et a l2椵利用Fo u r ier微局部分析将上述适 定性结果中力的范围优化为1 p 2JJDENG et a l3在低正则性临界Bes o v空间中给出了二维 PNP方程组适定性和不适定性的完整刻画，证明 了 PNP方程组(2)在临界Beso v空间瓦，2(R2)中 是适定的，而在临界Beso v空间B2(R2)(2 q曑曓)中是不适定的。相应的高维情形也有类似 的结果。相比于经典PNP方程组(2)的诸多研究，其 推广模型(1)的研究始于近十多年暎010年,BILER et a l5建立了单分支分数阶漂移一扩散
12、 模型在临界Lebe sg u e空间L吕(R)(1 a 2)中 小初值问题的整体适定性，并且证明了当初值具 有大质量或者满足某种集中条件时，其对应的局 部解将在有限时间内发生爆破。进一步，BILER et a l6建立了方程组(1)在二维情形下，小初值 问题在临界Beso v空间暏打(斠斠2)(1 a 2,1曑 q曑曓)中的整体适定性WU et a l7证明了方程 组(1)在临界 Fo u r ier-Her z 空间斅 22(R)(1 a曑2)中的局部适定性和小初值问题的整体适定 性，并且证明了方程组(1)在临界Fo u r ie r-He r z空 间斅2(R)及临界Beso v空间暏爲
13、(斠2)(2 q曑 曓)中的不适定性。对于分数阶漂移一扩散模型 的更多研究可见文献8 10。对于经典的PNP方程组(2),ZHAO11已经 证明了其整体解在临界Bes o v空间中的Gevr ey 解析性和衰减率，即当1 少24,1曑曑曓时,方程组(2)的整体解(N,P)满足：(e d Ne d p)暿斕8(0,曓;暏棲(R)暽1(0,o；B|r(R),d其中是象征为|E 11=暺丨E丨的Fo u r ier乘子。i=1由解的Ge vr ey解析性易得解关于时间的衰减率 II(AN(t),AP()暚,片曑Gt-2 I(N,P)I,片,其中，c。=I Ae人I。最近,cui et l2将上 述结
14、果推广至分数阶PNP方程组(1),即当卩=2,1 a 1+min d楜,?；少 曓，1曑 于曑8时，方程组(1)在临界Fo u r ier-Beso v空间 FB,棲(R)中存在唯一的整体解(,3)满足：暿斕,曓椈暏棴呼(斠)暽 斕棻(0,8；FB,(R),并且得到了解关于时间的衰减率II(A%(),AwO)IfB曑 Cr II(s,s)Ifb”。基于文献口 1 12中的研究结果，本文将在 Fo u r ier-Beso v空间中进一步考虑方程组(1)(对 应于0曎2的情形)整体解的Gevr ey解析性和衰 减率。贯穿全文，用少表示P的共轭指标，即1+P1=1,用符号A 表示估计A曑CB,其中
15、CP是与所研究问题无关的一致常数。1 预备知识预备知识先介绍R上的Lit t l ewo o d-Pa l ey 二进制分解 理论口3。用S(R)表示Sc h wa r t z速降函数空间,S(R)表示其拓扑对偶空间,即Sc h wa r t z缓增分 布函数空间。设光滑径向函数卩满足：0曑卩曑1,su p p p U C：=胃暿R 曑丨E旤曑3楜且 暺卩(2?)=1 VE暿 R O。暺令()=卩(2-j,()=斊(工)则对任意的 fR)定义二进制分解算子和Sj如下：4/():=2曇詁(2灼)(y)d y,SJO：=暺孑忑j1设S；(R)是由S(R)中满足l里S/=0的 分布函数构成的空间，则
16、对任意的于暿S；(R)，有 所谓的齐次Lit t l ewo o d-Pa l ey分解:/=暺、f。暺需要指出的是，上述定义的齐次二进制算子第1期罗永轲等 分数阶漂移一扩散模型解的Gevr ey解析性和衰减率34和5满足如下的拟正交性质：汀曉 0,|i曒 2,(Sj_/Ajg)曉 0,|i|曒 5。进一步，利用Bo n y仿积分解椲，2个缓增分 布函数的乘积可在形式上进行如下分解：fg=Tfg+Tg _f+R(棬,g),其中，Tfg：=暺称为fg的仿积，TJ疋Z是其对称项，R(,g)：=暺厶払jg称为余项，其疋Z中：=厶1+$+Aj+i 暎其次,给出齐次Fo u r ier-Beso v空间与 Ch emin-Ler n er型混合时空空间的定义暎定义定义115 设s暿R,1曑少,少,曑曓，则可定 义齐次Fo u r ier-Beso v空间如下：F氏,”(斠)：=楙暿Sl/R)：|川码”0,任意实数对(a,)满足1曑b曑a曑曓，存在正常数C,使得如下不等式成立：su p p了 U 入斠炤 su p|曑t=kc 1 入屮(丄-1)|f|.,su p p U AC炤炤LL棴於 棴於|了