1、电子设计工程Electronic Design Engineering第31卷Vol.31第15期No.152023年8月Aug.2023收稿日期：2022-03-25稿件编号：202203202基金项目：国家自然科学基金资助项目（61973266）作者简介：周卫光（1998），男，江苏盐城人，硕士。研究方向：混沌系统的控制与同步。近年来，人们在整数阶混沌系统的理论基础上开始对分数阶系统展开研究。通过研究发现，许多分数阶系统也存在混沌现象，如分数阶 Chen系统1，分数阶离散 Lorenz 系统2，分数阶时滞 L系统3，分数阶统一混沌系统4-6，分数阶金融系统7和分数阶Genesio-Tesi
2、系统8等。与此同时，分数阶混沌系统的控制和同步也取得了很大的进展，各种各样的混沌同步控制方法被相继提出，如滑模控制9、自适应控制10-11、无源控制12和主动控制13等。分数阶统一系统将分数阶 Lorenz 系统、分数阶L系统和分数阶 Chen 系统联系起来。由于分数阶统一系统包含了混沌动力学的许多特征，因此很多学者对其进行研究，并取得了一些研究成果。文献14基于无源控制理论，设计一种能够使分数阶统一混沌系统稳定的无源反馈控制器。文献15设计了一种实现分数阶统一混沌系统函数投影同步的自适应控制器。但这些控制和同步方案都未考虑分数阶统一混沌系统存在的外部未知扰动。文献16利用分数阶扰动观测器对分
3、数阶金融系统存在的外部未知有界扰动进行估计，结合分数阶扰动观测器设计了自适应滑模同步的控制方案，实现了分数阶金融系统的有界混合投影同步。然而文献16所设计的分数阶扰动观测器只能使扰动误差是有界的，而不能不相称分数阶统一混沌系统的滑模同步周卫光，郑永爱（扬州大学 信息工程学院，江苏 扬州 225127）摘要：该文聚焦含有未知扰动的不相称分数阶统一混沌系统的同步问题。为了处理未知扰动，设计了一种新的分数阶扰动观测器来进行估计，并构建合适的分数阶滑模面及相应的自适应滑模控制器，以实现两个具有不同初始条件的不相称分数阶统一混沌系统的渐近同步。数值模拟验证了该方法的有效性。关键词：分数阶统一混沌系统；滑
4、模控制；扰动观测器；混沌同步中图分类号：TN93文献标识码：A文章编号：1674-6236（2023）15-0001-05DOI：10.14022/j.issn1674-6236.2023.15.001Sliding mode synchronization of incommensurate fractionalorder unifiedchaotic systemsZHOU Weiguang，ZHENG Yongai（College of Information Engineering，Yangzhou University，Yangzhou 225127，China）Abstract:T
5、his article focuses on the synchronization problem of asymmetric fractional order unifiedchaotic systems with unknown disturbances.In order to deal with the unknown disturbance，a newfractional order disturbance observer is designed to estimate the disturbance，and a suitable fractionalorder sliding m
6、ode surface and corresponding adaptive sliding mode controller are constructed to achievethe asymptotic synchronization of two asymmetric fractionalorder unified chaotic systems with differentInitial condition.The effectiveness of this method is verified by numerical analog verification.Keywords:fra
7、ctionalorder unified chaotic system；sliding mode control；disturbance observer；chaoticsynchronization-1电子设计工程 2023年第15期使扰动误差渐近趋于零，并且也只是实现了分数阶金融混沌系统的有界混合投影同步，而不是渐近同步。针对以上问题，笔者首先设计了一种新的分数阶扰动观测器来估计分数阶统一混沌系统的外部扰动，该分数阶扰动观测器能使扰动误差渐近趋于零；然后结合所提出的分数阶扰动观测器构造分数阶积分滑模面并设计了合适的自适应滑模控制器，实现了具有未知干扰、不相称分数阶统一混沌系统的渐近同步控制
8、；最后数值模拟验证了该方法的有效性。1系统描述与分数阶导数分数阶导数的定义有多种，这里采用 Caputo定义来研究具有未知扰动的不相称分数阶统一混沌系统的同步问题。Caputo导数定义为：CDqtf(t)=1(n-q)0t(t-)n-q-1f(n)()d其中，n-1qq2，则分数阶系统(4)的零点是渐近稳定的。引理 2 设x(t)R是一个连续可导的函数，那么-2对于任意时间tt0且0q1，有：12CDqtx2(t)x(t)CDqtx(t)（5）引理3 设V(t)函数如下：V(t)=12yT1(t)Q1y1(t)+12yT2(t)Q2y2(t)（6）其中，y1(t)Rn和y2(t)Rn具有连续的
9、一阶导数，Q1Rnn和Q2Rnn为两个正定矩阵。若存在正定矩阵Q3Rnn和常数h00使得：CDqtV(t)-h0yT1(t)Q3y1(t)（7）则y1(t)和y2(t)有界且y1(t)渐近趋于零（即limt+y1(t)=0）。2观测器及滑模同步控制设计2.1分数阶扰动观测器的设计为了实现驱动系统(1)与响应系统(2)之间的同步，控制目标选取合适的控制器u(t)，使得误差系统(3)的零点是渐近稳定。然而由于外部扰动d(t)未知，不能直接用于控制器u(t)的设计。为了克服这一问题，首先设计一个分数阶非线性扰动观测器来估计未知扰动。在设计分数阶扰动观测器之前，引入假设1如下：假设1 假设外部扰动d(
10、t)的Caputo分数阶导数有界，即|CDq2td(t)，其中是已知的正常数。为了设计分数阶非线性扰动观测器，定义辅助变量：(t)=d(t)-y2（8）其中，是正常数。辅助变量(t)的Caputo分数阶导数为：CDq2t(t)=Dq2d(t)-Dq2y2（9）由系统（2）中第二个等式和（9）得：CDq2t(t)=CDq2td(t)-(28-35)y1-y1y3+(29-1)y2+(t)+y2+u(t)（10）为了计算扰动估计，中间变量(t)的估计描述为：CDq2t?(t)=sign(?(t)-(28-35)y1-y1y3+(29-1)y2+?(t)+y2+u(t)（11）其中，sign()是符
11、号函数，?(t)=(t)-?(t)。根据式（8），外部扰动d(t)的估计为：d?(t)=?(t)+y2（12）定理 1 考虑扰动观测器(11)和(12)，如果假设 1的条件满足，那么扰动估计误差d?(t)=d(t)-d?(t)渐近收敛于零。证明：根据式（8）、（12）得：?(t)=d(t)-y2(t)-d?(t)+y2(t)=d?(t)根据式（10）、（11）得：CDq2t?(t)=-?(t)+Dq2d(t)-sign(?(t)（13）构造如下 Lyapunov 函数来分析扰动估计误差d?(t)的收敛性：Vd=12d?2(t)=12?2(t)（14）根据引理2，Vd的Caputo分数阶导数为1
12、8：CDq2tVd?(t)CDq2t?(t)（15）将式（13）代入式（15）并根据假设1，得：CDq2tVd?(t)CDq2t?(t)-?2(t)+?(t)Dq2d(t)-sign(?(t)?(t)-?2(t)（16）根据引理 3，可得出扰动估计误差d?(t)=d(t)-d?(t)渐近收敛于零19。2.2自适应滑模同步为了让研究能够进一步开展，给出下面的假设2。假设2 假设存在未知正常数k，使得：|d?(t)=|d(t)-d?(t)k。设计分数阶积分滑模面为：s(t)=e2(t)+D-q2e2(t)（17）滑模控制器设计为：u(t)=-(28-35-y3)e1-(29-1)e2+(y1-e1
13、)e3-d?-e2+k?sign(s)-s（18）自适应律为：CDq2tk?=-r|s(t)（19）其中，r0，k?=k-k?，k?为k的估计。定理2 在假设1和2的条件下，如果设计分数阶扰动观测器(11)和(12)，自适应滑模控制器(18)和(19)，那么误差系统(3)的零点是渐近稳定的，即驱动系统(1)和响应系统(2)实现渐近同步。证明：构造Lyapunov函数：Vs(t)=12s2(t)+12rk?2(t)（20）根据引理2，Vs的Caputo分数阶导数为：CDq2tVs(t)s(t)Dq2s(t)+1rk?Dq2k?=s(t)Dq2e2(t)+e2(t)+1rk?Dq2k?（21）由控
14、制器(18)和自适应律(19)有：周卫光，等不相称分数阶统一混沌系统的滑模同步-3电子设计工程 2023年第15期CDq2tVs(t)s(t)(28-35)e1+(29-1)e2-y1y3+x1x3+d(t)+u(t)+e2(t)-k?|s(t)=s(t)d?-k?signs(t)-s(t)-k?|s(t)=d?s(t)-s2(t)-k|s(t)-s2(t)（22）根据引理 3 可知s(t)渐近趋于零，当s(t)=0时，CDq2te2(t)=-e2(t)0。根据引理1，e2(t)0；当e2(t)=0时，由误差系统(3)的第一个方程得CDq1te1=-(25+10)e10；根据引理1，e1(t)
15、0。当e1(t)=e2(t)=0时，由误差系统(3)的第三个方程得CDq3te3(t)=-(8+)e30，根据引理 1，e3(t)017。因此误差系统(3)的零点是渐近稳定的，即驱动系统(1)和响应系统(2)实现渐近同步。3数值模拟仿真利用 Matlab 进行数值仿真，选取不相称分数阶q1=0.991,q2=0.992,q3=0.993，初始值x(0)=5,8,10T，y(0)=-6,-8,-10T，=0，d(t)=4cos(2t)，=60，?(0)=0.1，=20，r=0.1，=0.01。所设计的分数阶扰动观测器(11)和(12)的扰动观测结果和观测估计误差分别如图 4和图5所示，这表明所设
16、计的分数阶扰动观测器是有效可行的。图4扰动d和扰动估计d?的轨迹应用自适应滑模控制器(18)和(19)后，驱动系统(1)和响应系统(2)的状态响应如图6所示。同步误差系统(3)的状态响应如图 7所示，误差系统(3)渐近趋于零，驱动系统(1)和响应系统(2)实现渐近同步。滑模运动轨迹和未知正常数k的估计曲线分别如图 8和9所示。4结论将含有未知扰动的不相称分数阶统一混沌系统作为研究对象，设计分数阶扰动观测器对系统中的外部扰动进行估计。基于Lyapunov理论和自适应控制理论，设计合适的自适应滑模控制器，实现含有未知扰动的不相称分数阶统一混沌系统的渐近同步。参考文献：1 ermk J,Nechvtal L.Stability and chaos in thefractional Chen systemJ.Chaos,Solitons&Fract-als,2019(125):24-33.图5估计误差d?的轨迹图6驱动系统与响应系统的状态轨迹图7同步误差与时间状态轨迹-42 梁雪峰,刘晓君.分数阶离散Lorenz系统的动力学行为J.河北师范大学学报(自然科学版),2022,46(2):154-