1、第 39 卷 第 3 期2023 年 6 月北 京 建 筑 大 学 学 报Journal of Beijing University of Civil Engineering and ArchitectureVol.39No.3Jun.2023摇 摇 文章编号:2096-9872(2023)03-0105-06两相交平面与其交线平面束夹角间的关系研究程科登,摇 徐华博(北京建筑大学 理学院,北京 100044)摘摇 要:设空间直线 l 为空间2 个平面 仔1和 仔2的交线,仔3是 仔1和 仔2确定过 l 的平面束,兹 为平面仔1和 仔2间的夹角,兹1为平面 仔1和 仔3间的夹角,兹2为平面 仔
2、2和 仔3间的夹角,进而研究 兹 与 兹1,兹2间的关系。此外,对每一种关系式给出相应的例子,通过若干数学问题来阐述结论的实用价值。关键词:平面束;法向量;夹角中图分类号:O182郾 2文献标志码:ADOI:10.19740/j.2096鄄9872.2023.03.13摇 摇 收稿日期:2023-02-05基金项目:北京市科技新星计划项目(2018 年度)(No.Z181100006218010);北京建筑大学混合课程建设项目(YC220144);北京建筑大学青年教师科研能力提升计划项目(No.X22026)。第一作者简介:程科登(1999),男,硕士研究生,研究方向:生物数学。Relatio
3、nship between the Angles of Two Intersecting Planes andTheir Intersecting Plane BundlesCHENG Kedeng,摇 XU Huabo(School of Science,Beijing University of Civil Engineering and Architecture,Beijing 100044)Abstract:Let the space line l be the intersection of two planes 仔1and 仔2,仔3be the plane bundlesdete
4、rmined by 仔1and 仔2,兹 be the angle between planes 仔1and 仔2,兹1be the angle between planes 仔1and 仔3,and 兹2be the angle between planes 仔2and 仔3.The relationship between 兹 and 兹1,兹2isdescribed in the paper.In addition,some corresponding examples are given,and the practical value ofthe conclusion is illus
5、trated through several mathematical problems.Keywords:plane bundles;normal vector;clamping angle摇 摇 空间直线是高等数学中的重要概念,也是硕士研究生考试中的重要考查内容,其可以看成空间 2个不同平面的交线。由这 2 个平面可构造经过该直线的所有平面,在文献1 中称此平面为平面束。平面束在理论证明有重要作用。寇冰煜等2证明了平面束与向量组的线性相关性有紧密联系。徐传友等3应用平面束给出了点到直线的距离公式,证明了直线与平面相关位置的定理。郑惠等4利用平面束方法给出了两异面直线的公垂线方程和距离公式。
6、此外,利用平面束的方程解题往往比较方便。任春丽等5给出了利用平面束解题若干例子。成荣飞6研究了平面束与凸体相交的几何概率。李维铨7利用平面束来讨论双曲抛物面直母线族的性质。给定空间直线 l 的一般方程,即由 2 个平面 仔1和 仔2确定的方程。本文主要刻画平面 仔1和 仔2间的夹角,直线 l 对应的平面束与平面 仔1间的夹角以及平面束与平面 仔2的夹角之间的关系。1摇 平面束与平面的夹角设空间直线 l 的一般方程为:北 京 建 筑 大 学 学 报第 39 卷A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0(1)摇 摇 其中方程 A1x+B1y+C1z+D1=0 和方程A2x+B
7、2y+C2z+D2=0 分别为平面 仔1和平面 仔2的方程。设过直线 l 的平面束为 仔3,其方程为:(A1+姿A2)x+(B1+姿B2)y+(C1+姿C2)z+(D1+姿D2)=0(2)平面 仔1,仔2以及平面束 仔3的法向量分别为:n1=A1,B1,C1,n2=A2,B2,C2,n3=A1+姿A2,B1+姿B2,C1+姿C2。设 兹 为平面 仔1和 仔2间的夹角,兹1为平面 仔1和 仔3间的夹角,兹2为平面 仔2和 仔3间的夹角。以下为本文的主要结论,其刻画了 兹,兹1以及兹2间的关系。定理摇 兹,兹1与 兹2满足下列关系之一:兹1+兹2=兹兹1-兹2=兹兹2-兹1=兹兹2+兹1+兹=仔证
8、摇 设 兹忆为n1和n2的夹角,兹忆1为n1和n3的夹角,兹忆2为n2和n3的夹角。首先讨论 兹忆与 兹忆1,兹忆2之间的关系。根据法向量间夹角的定义知:cos兹忆=A1A2+B1B2+C1C2(A1)2+(B1)2+(C1)2(A2)2+(B2)2+(C2)2(3)cos兹忆1=A1(A1+姿A2)+B1(B1+姿B2)+C1(C1+姿C2)(A1)2+(B1)2+(C1)2(A1+姿A2)2+(B1+姿B2)2+(C1+姿C2)2(4)cos兹忆2=A2(A1+姿A2)+B2(B1+姿B2)+C2(C1+姿C2)(A2)2+(B2)2+(C2)2(A1+姿A2)2+(B1+姿B2)2+(C
9、1+姿C2)2(5)摇 摇 从而得到:sin兹忆1=1-(cos兹忆1)2=1-A1(A1+姿A2)+B1(B1+姿B2)+C1(C1+姿C2)2(A1)2+(B1)2+(C1)2(A1+姿A2)2+(B1+姿B2)2+(C1+姿C2)2(6)摇 摇 为便于叙述,令:p1=(A1)2+(B1)2+(C1)2(A1+姿A2)2+(B1+姿B2)2+(C1+姿C2)2(7)q1=A1(A1+姿A2)+B1(B1+姿B2)+C1(C1+姿C2)2(8)摇 摇 则:sin兹忆1=p1-q1p1(9)摇 摇 由于:p1-q1=(姿A1B2-姿A2B1)2+(姿A1C2-姿A2C1)2+(姿B1C2-姿B
10、2C1)2(10)摇 摇 故得到:sin兹忆1=(姿A1B2-姿A2B1)2+(姿A1C2-姿A2C1)2+(姿B1C2-姿B2C1)2(A1)2+(B1)2+(C1)2(A1+姿A2)2+(B1+姿B2)2+(C1+姿C2)2(11)sin兹忆2=1-(cos兹忆2)2=1-A2(A1+姿A2)+B2(B1+姿B2)+C2(C1+姿C2)2(A2)2+(B2)2+(C2)2(A1+姿A2)2+(B1+姿B2)2+(C1+姿C2)2(12)摇 摇 进一步令:p2=(A2)2+(B2)2+(C2)2(A1+姿A2)2+(B1+姿B2)2+(C1+姿C2)2(13)q2=A2(A1+姿A2)+B2
11、(B1+姿B2)+C2(C1+姿C2)2(14)摇 摇 因此:sin兹忆2=p2-q2p2(15)摇 摇 注意到:p2-q2=(A1B2-A2B1)2+(A1C2-A2C1)2+(B1C2-B2C1)2(16)摇 摇 故:sin兹忆2=(A1B2-A2B1)2+(A1C2-A2C1)2+(B1C2-B2C1)2(A2)2+(B2)2+(C2)2(A1+姿A2)2+(B1+姿B2)2+(C1+姿C2)2(17)cos兹忆1cos兹忆2=A1(A1+姿A2)+B1(B1+姿B2)+C1(C1+姿C2)(A1)2+(B1)2+(C1)2(A2)2+(B2)2+(C2)2A2(A1+姿A2)+B2(B
12、1+姿B2)+C2(C1+姿C2)(A1+姿A2)2+(B1+姿B2)2+(C1+姿C2)2(18)sin兹忆1sin兹忆2=姿(A1B2-A2B1)2+(A1C2-A2C1)2+(B1C2-B2C1)2(A1)2+(B1)2+(C1)2(A2)2+(B2)2+(C2)2601摇 第 3 期程科登,等:两相交平面与其交线平面束夹角间的关系研究1(A1+姿A2)2+(B1+姿B2)2+(C1+姿C2)2(19)摇 摇 令:p=A1(A1+姿A2)+B1(B1+姿B2)+C1(C1+姿C2)A2(A1+姿A2)+B2(B1+姿B2)+C2(C1+姿C2)(20)q=姿(A1B2-A2B1)2+(A
13、1C2-A2C1)2+(B1C2-B2C1)2(21)摇 摇 则:cos(兹忆1+兹忆2)=cos兹忆1cos兹忆2-sin兹忆1sin兹忆2=p-q(A1)2+(B1)2+(C1)2(A2)2+(B2)2+(C2)2(A1+姿A2)2+(B1+姿B2)2+(C1+姿C2)2(22)p-q=A1A2(A1+姿A2)2+B1B2(B1+姿B2)2+C1C2(C1+姿C2)2+A1A2(B1+姿B2)2+A1A2(C1+姿C2)2+B1B2(A1+姿A2)2+B1B2(C1+姿C2)2+C1C2(A1+姿A2)2+C1C2(B1+姿B2)2(23)摇 摇 即:p-q=(A1A2+B1B2+C1C2
14、)(A1+姿A2)2+(B1+姿B2)2+(C1+姿C2)2(24)摇 摇 故:cos(兹忆1+兹忆2)=(A1A2+B1B2+C1C2)(A1)2+(B1)2+(C1)2(A2)2+(B2)2+(C2)2(25)摇 摇 即:cos(兹忆1+兹忆2)=A1A2+B1B2+C1C2(A1)2+(B1)2+(C1)2(A2)2+(B2)2+(C2)2(26)摇 摇 因为:cos兹忆=A1A2+B1B2+C1C2(A1)2+(B1)2+(C1)2(A2)2+(B2)2+(C2)2(27)摇 摇 所以 cos(兹忆1+兹忆2)=cos兹忆。由于 2 个法向量之间夹角的取值为0,仔,故得到 兹忆与 兹忆
15、1、兹忆2的关系为兹忆1+兹忆2=兹忆或 兹忆1+兹忆2+兹忆=2仔。由于 2 个平面之间夹角的取值为 0,仔2,故存在如下关系:若 0臆兹忆1臆仔2,则 兹忆1=兹1;若仔2 兹忆1臆仔,则 兹忆1=仔-兹1。若 0臆兹忆2臆仔2,则 兹忆2=兹2;若仔2 兹忆2臆仔,则兹忆2=仔-兹2。若 0臆兹忆臆仔2,则 兹忆=兹;若仔2 兹忆臆仔,则兹忆=仔-兹。下面来分类讨论 兹1、兹2、兹 的关系:第一,假设 兹忆1+兹忆2=兹忆。如果 兹忆1=兹1,兹忆2=兹2,则兹忆1+兹忆2=兹1+兹2=兹忆=兹 或 仔-兹,即 兹1+兹2=兹 或兹2+兹1+兹=仔;如果 兹忆1=仔-兹1,兹忆2=兹2,
16、则 兹忆1+兹忆2=仔-兹1+兹2=兹忆=仔-兹,即 兹1-兹2=兹;如果 兹忆1=兹1,兹忆2=仔-兹2,则 兹忆1+兹忆2=兹1+仔-兹2=兹忆=仔-兹,即兹2-兹1=兹。第二,假设 兹忆1+兹忆2=2仔-兹忆。当 兹忆1=仔-兹1,兹忆2=仔-兹2时,则 兹忆=兹 或 仔-兹;若 兹忆1+兹忆2=仔-兹1+仔-兹2=2仔-兹忆=2仔-兹,即 兹1+兹2=兹;若 兹忆1+兹忆2=仔-兹1+仔-兹2=2仔-兹忆=2仔-(仔-兹),即 兹2+兹1+兹=仔。当 兹忆1=兹1,兹忆2=仔-兹2时,则 兹忆=仔-兹;若 兹忆1+兹忆2=兹1+仔-兹2=2仔-兹忆=2仔-(仔-兹),即兹1-兹2=兹。当 兹忆1=仔-兹1,兹忆2=兹2时,则 兹忆=仔-兹;若 兹忆1+兹忆2=仔-兹1+兹2=2仔-兹忆=2仔-(仔-兹),即兹2-兹1=兹。当 兹忆1、兹忆2分别等于仔2和 仔,兹忆为仔2。类似可得到 兹1-兹2=兹 或 兹2-兹1=兹 成立。综上所述,兹1、兹2、兹 的关系存在以下几种情况:兹1+兹2=兹;兹1-兹2=兹;兹2-兹1=兹;兹2+兹1+兹=仔。结论得证。2摇 示例运用若干例子来验证