1、第 卷第期华 侨 大 学 学 报（自 然 科 学 版）年月 （）：求解耦合非线性 方程的能量稳定方法郭姣姣，庄清渠（华侨大学 数学科学学院，福建 泉州 ）摘要：研究基于指数标量辅助变量方法的耦合非线性 方程有效数值方法 首先，采用指数标量辅助变量处理方程的非线性项，构造求解方程的无条件能量稳定格式；然后，对方程在时间方向上采用 格式进行离散，在空间方向上采用紧致差分格式进行离散，证明全离散格式的修正能量守恒律最后，通过数值算例进行验证结果表明：文中格式具有有效性，修正能量具有守恒性关键词：耦合非线性 方程；指数标量辅助变量方法；修正能量；守恒律中图分类号：文献标志码：文章编号：（），（，）：，
2、：；耦合非线性 （）方程描述了复中子场和中性介子场之间相互作用的经典动力学过程，在量子场理论中起着重要作用 近几十年来，方程得到较为广泛的关注与研究 夏静娜等利用齐次平衡原则导出 方程的精确孤立波解 构造具有周期初值的 方程的守恒型谱逼近格式，并进行误差分析 对 方程构造带参数的守恒型差分格式，并进行收敛性分析 等利用 外推法构造一种线性隐式有限差分格式，该格式在时间方向上具有二阶精度，在空间方向上具有八阶精度 等对 方程的种差分格式的经典保守收稿日期：通信作者：庄清渠（），男，副教授，博士，主要从事微分方程数值解法的研究 ：基金项目：国家自然科学基金资助项目（）；福建省自然科学基金资助项目（
3、）：性质进行比较，并对比这些格式的数值 等基于两种不同的离散梯度得到 方程的两种能量守恒格式基于近年发展起来的标量辅助变量（）方法及拉格朗日乘子法 ，等 构造了求解 方程的种保结构数值求解格式，并对种格式进行比较 基于拉格朗日乘子法的格式需要求解组常系数线性系统及个非线性代数系统，而基于传统的 方法的格式只需求解两组常系数线性系统然而，为了保证格式的稳定性，传统的 方法需在计算前给定一个常数（），使模型满足非线性自由能与的和大于零.由于的取值会影响数值逼近结果的精度，为了消除传统的 方法中取值的影响，等 在 方法的基础上提出求解相场模型的指数标量辅助变量（）方法，严格证明 半离散格式的无条件能
4、量稳定性，并给出详细的计算过程基于此，本文提出一种求解耦合非线性 方程的能量稳定方法问题与 格式考虑带周期边界条件的 方程的无条件能量稳定数值求解格式，即 ，（，（，.（）式（）中：；，；（，）为复值函数；（，）为实值函数；为实常数式（）的初始条件为（，）（），（，）（），（，）（），.式（）满足电荷（）守恒律和能量（）守恒律，有（）（，）（，）（），（）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（）.为了采用 方法求解式（），引入指数标量辅助变量，（）（），则式（）可改写为（，），（，（，），（，（，（）（，）（，），（，.（）式（）中：（，）（）（）；（，）（）（）.定理式（）满足修正能量守恒律
5、，有?.（）式（）中：?为修正能量，?.证明：将式（）中第个方程与作内积，并取实部；式（）中第，个方程分别与，（，）作内积 将以上作内积所得的个式子相加，并结合式（）中最后一个方程，即可证得式（）证明完毕全离散格式为了得到式（）的全离散格式，在空间方向上采用紧致差分格式进行离散，在时间方向上采用 格式进行离散 将，分成个部分，记空间步长为，空间节点为 华 侨 大 学 学 报（自 然 科 学 版）年 ：（，）.令为时间步长，并记，.记函数（，）在节点（，）上的解析解为（，），它的数值解相应地记为.引入算子，有，.由文献 可知：（）（）.再记 ，.式中：为差分算子对应的阶实对称矩阵；为紧致差分算子
6、对应的阶实对称正定矩阵，因此，存在实对称正定矩阵，使对于任意，（，），分别定义内积和范数为（，），.在（，）处考虑式（）中前两个方程，将作用于方程两端，并略去余项，可得（）（）（?），（）（）（?）.（）式（）中：?；?（?，?）；?（?，?）；?；?因此，式（）的全离散 紧致差分格式可用矩阵向量积形式表示，有（）（）?，（）（）（）?，（）（），?（?，）（?，）.（）式（）的初始值，相应地通过隐格式进行计算，有（）（），（）（）（），（）（），（，）（，）.（）式（）中：，（）；，（）.引理：设为任一实值对称正定矩阵，若网格函数，则有（?，），（?，）（）.第期 郭姣姣，等：求解耦合非线性
7、 方程的能量稳定方法 ：式中：是对进行 分解得到的实值上三角矩阵，满足定理式（）满足修正能量守恒律，有?，.式中：?为全离散格式下的修正能量，?.证明：对任意，将式（）第个方程两端与（）作内积 然后，取实部，根据引理可得?（?）.将式（）第，个方程两端分别与，（）（）?）作内积再相加，根据引理，可得 （）?（?）（）.将上述作内积后的两个等式相加，并利用式（）中最后一个方程可得 .由此?，.利用式（），类似可证明?证明完毕式（）的求解首先，将式（）前个方程分别改写为，（），（）.（）式（）（）中：?；?；.因此，由式（）可解得联立式（），（），可得.（）由此可得，进而有.（）最后，由式（）的最
8、后一个方程可得 （?（?，）（?，）.（）此外，初始值，可通过式（），采用预估校正法进行类似的求解全离散格式（式（），（）可以通过以下个步骤快速求解）通过式（）可得初始值，；）计算，；）依次从式（），（），（）求解，；）由式（）可得数值实验将全离散格式进行数值实验，验证该格式在时间方向上具有二阶精度，在空间方向上具有四阶精度，能够有效地保持修正能量?的守恒，并模拟孤立波的演化行为.定义数值解的误差为 （，），（，），（，）.华 侨 大 学 学 报（自 然 科 学 版）年 ：同时记电荷误差，能量误差，修正能量误差?.定义收敛阶 为 （）（）（）（）.式中：可分别表示，；可分别表示，算例在数值实验
9、中选取初始条件，有（，）（）（），（，）（）（），（，）（）（）（）.（）式（）中：为波的传播速度，且；为初始常数此时，式（）具有解析孤立波解，即（，）（）（）（）（），（，）（）（），（）计算中取参数.，.，.首先，检验时间方向的精度数值计算中，固定空间步长.不同时间步长下数值解在时刻的误差及相应的收敛阶，如表所示表中：，分别为，的收敛阶 由表可知：格式在时间方向上是二阶收敛的表.时的误差及收敛阶 .其次，检验空间方向的精度 数值计算中，固定时间步长.不同空间步长下数值解在时刻的误差及相应的收敛阶，如表所示 由表可知：文中格式在空间方向上是四阶收敛的表.时的误差及收敛阶 .取空间步长.，时间
10、步长.，的精确解及数值解在不同时刻的波形图，如图，所示 由图，可知：文中格式是准确有效的为了考察守恒律的保持情况，取.，.，进行计算.修正能量?和修正能量误差?随时间的变化情况，如图，所示.由图，可知：格式保持修正能量?守恒，与能量守恒定律一致.第期 郭姣姣，等：求解耦合非线性 方程的能量稳定方法 ：图的数值解与精确解 图的数值解与精确解 当.，.，.，.时，数值计算得到的电荷误差及能量误差，如图，所示由图，可知：电荷误差和能量误差随着时间步长的减小而减小图修正能量随着时间的变化情况图修正能量误差随着时间的变化情况 图电荷误差随着时间的变化情况图能量误差随着时间的变化情况 算例考虑式（）具有两
11、个相向碰撞的孤立波的演化行为，分别为对称碰撞的孤立波和非对称碰撞的孤立波，初始条件为（，）（，），（，）（，），（，）（，）.（）式（）中：，分别为第，列孤立波的速度；，分别为第，列孤立波的切相，它们在运动一段时间后会发生碰撞，此时无法求得精确解，但有一些碰撞的现象.对称碰撞.式（）在初始条件（式（）下，取一对对称碰撞孤立子.，和.，（速度大小相同，方向相反，初始相位关于原点对称），.，.，.孤立波，的对称碰撞，如图，所示.图，中：两孤立波在发生碰撞后分离，的对称碰撞是有弹性的，碰撞后，均有余波产生.两孤立波在对称碰撞下修正能量和修正能量误差，如图，所示.由图，可知：格式依旧保持修正能量?守恒
12、华 侨 大 学 学 报（自 然 科 学 版）年 ：图孤立波的对称碰撞图孤立波的对称碰撞 图对称碰撞下的修正能量 图 对称碰撞下的修正能量误差 非对称碰撞式（）在初始条件下，取一对非对称碰撞孤立子.，和.，.，.，.孤立波，的非对称碰撞，如图，所示.由图，可知：两孤立波在发生碰撞后分离，的非对称碰撞也是有弹性的，碰撞后，均有余波产生.两孤立波在非对称碰撞下修正能量和修正能量误差，如图，所示.由图，可知：格式依旧保持修正能量?守恒图 孤立波的非对称碰撞图 孤立波的非对称碰撞 图 非对称碰撞下的修正能量 图 非对称碰撞下的修正能量误差 第期 郭姣姣，等：求解耦合非线性 方程的能量稳定方法 ：结束语利用 方法构造耦合非线性 方程的能量稳定数值求解格式，理论上证明了全离散格式的修正能量守恒定律，并通过数值实验验证格式的有效性及修正能量的守恒性参考文献：，（）：（）夏静娜，韩淑霞，王明亮 方程组的精确孤立波解应用数学和力学，（）：，：（），（）：，：，：，：，（）：，（），：，：，：，（）：，：，：，（），（）：任全伟，庄清渠一类四阶微积分方程的紧差分格式华侨大学学报（自然科学版），（）：王廷春，郭柏灵一维非线性 方程的两个无条件收敛的守恒紧致差分格式中国科学：数学，（）：（责任编辑：钱筠英文审校：黄心中）华 侨 大 学 学 报（自 然 科 学 版）年