1、第40卷第2期2023年3月新疆大学学报（自然科学版）（中英文）Journal of Xinjiang University(Natural Science Edition in Chinese and English)Vol.40,No.2Mar.,2023全Fock空间中生成子的谱研究耿德文，闫 成(新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830017)摘要：借助 hyponormal 算子的谱的性质，对全 Fock 空间中生成子的谱的相关性质进行研究，得出生成子的近似点谱包含在复平面中以原点为心半径 1 的方体内关键词：全 Fock 空间；生成子；湮灭子；hyponormal 算子
2、；谱DOI：10.13568/ki.651094.651316.2022.05.14.0002中图分类号：O177.7文献标识码：A文章编号：2096-7675(2023)02-0169-06引文格式：耿德文,闫成.全 Fock 空间中生成子的谱研究J.新疆大学学报(自然科学版)(中英文),2023,40(2):169-174.英文引文格式：GENG Dewen,YAN Cheng.Study on the spectrum of creation operator in the full Fock spaceJ.Journal of Xinjiang University(Natural S
3、cience Edition in Chinese and English),2023,40(2):169-174.Study on the Spectrum of Creation Operator in the Full Fock SpaceGENG Dewen,YAN Cheng(School of Mathematics and System Sciences,Xinjiang University,Urumqi Xinjiang 830017,China)Abstract：With the help of the properties of the spectrum of the h
4、yponormal operator,this paper studies therelevant properties of the spectrum of the creation operator in the full Fock space,and obtains that the approximatepoint spectrum of the creation operator is contained in the square whose original point is the center radius 1 in thecomplex plane.Key words：fu
5、ll Fock space;creation operator;annihilation operation;hyponormal operator;spectrum0引 言1932年,物理学家Fock给出了Fock空间,用来解决全同粒子系统中玻色子的表示问题1.随着算子代数理论的发展,Fock空间被推广为全Fock空间(参阅文献2,当时不称为全Fock空间).二十世纪九十年代Voiculescu等3提出了自由概率理论,半圆元(见文献4,29页)是自由概率理论中用于计算的核心工具,恰好Fock空间中生成子与湮灭子的和是半圆元.这使得全Fock空间成为自由概率理论中的一个重要例子.近年来,qFo
6、ck空间是全Fock空间的最新进展5.此外,Zhu6指出Fock空间在量子物理学、海森堡群调和分析以及偏微分方程中有广泛的应用.半圆元生成的von Neumann代数被称为自由von Neumann代数,自由von Neumann代数给出了一个非交换概率空间.自由概率理论给出了非交换概率空间中的中心极限定理等一系列重要定理3.Cuntz代数7是C代数的一个基本例子,由全Fock空间中的生成子生成的C代数是Cuntz代数3.这意味着单独研究生成子的性质也是有必要的.Voiculescu等3利用半圆元的谱及概率分布给出了由全Fock空间中的半圆元生成的非交换概率空间高阶矩的表示.但对于生成子的谱研
7、究还没有相应的结果.因此,本文主要对全Fock空间中的生成子的近似点谱进行研究.收稿日期：2022-05-14基金项目：国家自然科学基金“非交换对称空间中的导数和算子的研究”（12261084）作者简介：耿德文（1996-），女，硕士生，从事泛函分析的研究，E-mail:通讯作者：闫成（1984-），男，博士，副教授，从事泛函分析的研究，E-mail:170新疆大学学报（自然科学版）（中英文）2023年1预备知识设H是一个实Hilbert空间的复化,即H=HR+iHR8,B(H)是H上的有界线性算子.对任意的X B(H),X:=ReX+iImX,其中ReX:=(X+X)/2称为X的实部,ImX
8、:=(XX)/2i称为X的虚部.对算子X的谱集分类如下:p(X)表示算子X的点谱的全体,c(X)表示算子X的连续谱的全体,r(X)表示算子X的剩余谱的全体.特别的,p(X),c(X),r(X)是互不相交的集合,并且(X)=p(X)c(X)r(X).进一步,在文献9中,算子X的联合点谱是满足如下条件的的全体,记为jp(X):若存在一个ReX和ImX的非零公共特征向量f H,使得ReXf=Ref,ImXf=Imf.算子X的近似点谱是满足如下条件的的全体,记为a(X):若存在一个单位向量序列fnH,使得limn(lI)fn=0.算子X的联合近似点谱是满足如下条件的的全体,记为ja(X):若存在一个单
9、位向量序列fnH,使得limn(ReXReI)fn=limn(ImXImI)fn=0.在文献3中,H上的全Fock空间定义如下:F(H):=n0Hn.F(H)是Hilbert空间,其中H0:=C?是一个一维的Hilbert空间,这里?:=1 0 0 是一个单位向量,称为真空向量.任意的 F(H),在全Fock空间中对应的向量形式如下:=(c,11,2122,),其中c C,iji,jI H,I是指标集.对任意的 H,有关系式 (0,00,),因此H可以嵌入到F(H)中.B(F(H)上的迹态H(X)由F(H)上的真空向量和内积定义,即H(X):=X?,?,X B(F(H),我们称之为真空期望态.
10、对于 H,其对应的左生成算子(后面简称为生成子)l():F(H)F(H)定义为l()(c,11,2122,313233,):=(0,c,11,2122,313233,).其中:iji,jIH.l()的共轭算子l()满足以下条件l()(c,11,2122,313233,)=(,11,2122,313233,),我们称l()为左湮灭算子(以下简称湮灭子)3.X B(H),X为算子X的共轭算子.若XXXX0,我们称算子X为hyponormal算子;若(XX)12(XX)120,我们称算子X为semi-hyponormal算子.性质19hyponormal算子一定是semi-hyponormal算子.
11、2生成子谱的性质首先给定 H,已知l()B(F(H).为了方便,我们简记l()为l.定理1生成子是hyponormal算子.第2期耿德文，等：全Fock空间中生成子的谱研究171证明对任意的1,nH有(llll)1n,1n=ll1n,1nll1n,1n=l1n,l1nl1n,l1n=1n,1n|,1|22n,2n=1,12n,2n|,1|22n,2n=(1,1|,1|2)2n,2n=(,1,1|,1|2)2n,2n0.由此可得,llll0,结论得证.对生成子的研究我们需要借助文献9中的以下性质.性质29令T是semi-hyponormal算子,则jp(T)=p(T).性质39设T H,则z j
12、p(T)当且仅当存在一个非零向量f,使得Tf=zf,Tf=zf.定理2当是H中的单位向量时,jp(l()=p(l()z|z|2=1.证明由定理1知,生成子l是hyponormal算子,则由性质1和2得jp(l)=p(l).设z jp(l),则由性质3知,存在f F(H),有lf=zf,lf=zf.又l()l()=,I=I,这里I是恒等映射.由l()l()f=z zf=f知,|z|2=1.所以jp(l)z|z|2=1,结论得证.记x,y分别表示从复平面到x轴与y轴的投影，即对任意的复数z=x+iy,有xz=x和yz=y.性质49令X+iY是hyponormal算子,其中X,Y是自共轭的,则有x(
13、a(X+iY)=(X)和y(a(X+iY)=(Y).令l()=X+iY是生成子,其中X:=Rel=(l+l)/2,Y:=Iml=(ll)/2i,是H中的单位向量.由文献4,168页知(X)=1,1.下面是我们的主要定理.定理3令l=X+iY是生成子,其中X=(l+l)/2,Y=(ll)/2i,则有x(a(l)=(X)=1,1,y(a(l)=(Y)=1,1,a(l)x(a(l)iy(a(l)=1,1i,i.证明根据性质4我们直接得到x(a(l)=(X),y(a(l)=(Y).下面我们借助文献10,定理6.6.3中的方法来计算Y的谱.因为H中的基向量可以看成HR中的基向量,所以我们可以在HR中考虑
14、这一问题.对任意的1,nHR,我们给出类似Wick积的定义,W(12n):=nk=0(1)nkl(1)il(k)il(k+1)il(n)i.取为H中的任意一个标准正交基,W(n)是关于2Y的n阶多项式:W(n)=Qn(2Y).172新疆大学学报（自然科学版）（中英文）2023年由W的定义及ll=I可以得到(lili)nk=0(1)nk(li)k(li)nk=nk=0(1)nk(li)k+1(li)nknk=0(1)nkli(li)k(li)nk=(1)n(li)1(li)n+(1)n1(li)2(li)n1+(1)1(li)n(li)1+(1)0(li)n+1(li)0(1)nli(li)0(
15、li)n+(1)n1li(li)1(li)n1+(1)1li(li)n1(li)1+(1)0li(li)n(li)0=(1)n(li)1(li)n+(1)n1(li)2(li)n1+(1)1(li)n(li)1+(1)0(li)n+1(li)0(1)n(li)n+1+(1)n1(1)(li)n1+(1)1(1)(li)n2(li)1+(1)0(1)(li)n1(li)0=(1)n(li)1(li)n+(1)n1(li)2(li)n1+(1)1(li)n(li)1+(1)0(li)n+1(li)0+(1)n+1(li)n+1+(1)n1(li)n1+(1)1(li)n2(li)1+(1)0(li
16、)n1(li)0=n+1k=0(1)n+1k(li)k(li)n+1k+n1k=0(1)n1k(li)k(li)n1k.因此Qn满足以下递推关系:2Y Qn(2Y)=Qn+1(2Y)+Qn1(2Y),n1.令Qn(Y):=Qn(2Y),则有2Y Qn(Y)=2Y Qn(2Y)=Qn+1(2Y)+Qn1(2Y)=Qn+1(Y)+Qn1(Y).即2sQn(s)=Qn+1(s)+Qn1(s)(1)Q0(s)=1,Q1(s)=(ll)/i=2s.由以上递推关系可以确定所有的Qn.接下来证明W(n)n0是L2(HR)的正交系,其中(HR)表示由2Y生成的B(F(H)的自由von Neu-mann代数,L2(HR)表示关于(HR)的非交换L2空间.由W(n)定义可得:W(n)=(nk=0(1)nk(li)k(li)nk)=nk=0(1)nk(li)nk(li)k=nk=0(1)nk(li)nk(li)k(1)n=nk=0(1)k(li)nk(li)k第2期耿德文，等：全Fock空间中生成子的谱研究173=nk=0(1)k(li)nk(li)k=W(n).W(n)是自共轭的.由l?=0H(W(n)W