1、第 36 卷第 2 期2023 年 4 月振 动 工 程 学 报Journal of Vibration EngineeringVol.36 No.2Apr.2023桥梁车辆荷载识别的贝叶斯方法研究茅建校1，庞振浩1，王浩1，王飞球2（1.东南大学混凝土及预应力混凝土结构教育部重点实验室，江苏 南京 211189；2.中铁二十四局集团江苏工程有限公司，江苏 南京 210038）摘要:基于贝叶斯推理提出了一种可实现误差模式选择的桥梁车辆荷载识别方法。该方法通过静力影响线构建车辆荷载与实测响应的关系表达式，并建立修正曲面以消除动力效应造成的识别误差。引入与结构响应大小和车速相关的五种误差模式。根据
2、假设的先验分布推导车辆轴重参数的后验分布，以获得车辆荷载的最优估计值和置信区间，并计算各误差模式的后验概率。分别采用简支梁数值算例和某连续梁桥动载试验，对该方法在不同车速工况下的识别精度和可靠性进行了验证。结果表明，修正曲面可以有效消除车辆动力冲击的影响，提高了荷载识别精度；荷载识别结果以置信区间形式呈现，可量化荷载识别结果的不确定性；贝叶斯方法能够识别出最佳误差模式，进一步提升了荷载识别的鲁棒性。关键词:车辆荷载识别；贝叶斯推理；不确定性量化；模式选择；动力响应消除中图分类号:U441+.2 文献标志码:A 文章编号:1004-4523（2023）02-0467-10 DOI：10.1638
3、5/ki.issn.1004-4523.2023.02.018引 言运营条件下的桥梁车辆荷载识别对于交通轴载调查、桥梁维护管理、超载治理和桥梁耐久性与安全性评价等具有重要意义。近年来，随着中国交通货运量呈现爆发式的增长，重车和超重车已逐渐成为最 重 要 的 运 输 工 具 之 一1。动 态 称 重（Weigh-in-Motion，WIM）技术可以在不中断交通的情况下获得车辆的轴重、轴距以及车速等信息。然而，WIM 技术须将称重传感器安装在路表面，存在安装复杂、成本较高和易损坏等缺点，且荷载识别精度受路面刚度与不平整度的影响较大2-3。与传统的动态 称 重 技 术 比 较，桥 梁 动 态 称 重
4、（Bridge-WIM，B-WIM）技 术 具 有 成 本 低、精 度 高、耐 久 性 好 等优点。B-WIM 技术是通过测量桥梁在车辆作用下的结构响应，求解获得车辆轴重等信息的技术4-5。目前，B-WIM 方法可分为静力法6-7和动力法8-10两大类。Moses算法6 是经典的静力法之一，它的核心思想是最小化实测桥梁响应与利用影响线概念计算的响应之间的差异来识别车辆轴重。然而，由于实测响应为动力响应，利用静力影响线得到的理论响应为静力响应，导致该算法存在一定的误差。动力法采用桥梁结构动力响应时程进行车辆荷载识别，从动力角度对荷载和响应的关系进行建模，理论上具有较高的精度，但动力法依赖于精确的
5、桥梁有限元建模和分析，计算效率低，不易在现代商业 B-WIM系统中应用11。另一方面，静力法易于实现，只要对实测响应进行误差处理或其信噪比足够高，静力法可获得较高的精度。影响线是 Moses算法的重要参数，耿少波等12 针对桥梁结构影响线的标定方法进行说明与求解，并推导车辆荷载计算的通用矩阵表达式，为 B-WIM 系统开发提供了理论支持。王宁波等13 通过梯度法对 Moses算法得到的初始荷载识别值进行局部优化，进一步提高了荷载识别精度。Tik-honov正则化技术14 是解决响应误差问题的一种思路，主要通过在原最小化公式中添加附加罚项来实现消除动力的影响。Liu 等15 借鉴交替迭代法和正则
6、化技术，提出一种基于半凸函数的移动荷载识别方法，通过迭代得到恒力分量和时变力分量，与L2正则化和移动平均 Tikhonov正则化相比，该方法可以进一步提高移动荷载识别精度。Pan等16 提出一种基于稀疏自估计传感器网络的桥梁车辆荷载识别方法，该方法考虑每个传感器的信号特征、噪声能量和信噪比，以传感器的加权残差来定义代价函数，改进了 L2 范数正则化模型。张梓航等17 提出了一种基收稿日期:2021-07-19；修订日期:2021-10-28基金项目:国家自然科学基金资助项目（51978155，52108274）；住房和城乡建设部科学技术计划项目（2020-K-125）；高速铁路建造技术国家工程
7、实验室开放基金资助项目（HSR202003）。振 动 工 程 学 报第 36 卷于双稀疏字典和稀疏 K-SVD 字典学习算法的动态荷载识别方法。张龙威等18 提出了桥梁动态称重迭代算法，该算法通过 Moses 算法和实测影响线算法之间的反复迭代实现。随着桥梁跨径增大、桥面行驶车辆数增多，基于 Moses 算法荷载识别方法的精度 和 稳 定 性 呈 逐 步 下 降 的 趋 势19-20，因 此 目 前B-WIM技术大多针对中小跨径桥梁并且只考虑单辆车过桥的工况。从参数识别的角度来看，车辆荷载识别值是最优值或估计值，具有不确定性。然而，现有的B-WIM算法较少根据车辆轴重的概率分布来考虑其不确定性
8、21 。针对车辆荷载的不确定性，Yoshida等22 将贝叶斯理论应用于轴重识别，从概率分布角度实现了不确定性分析，同时也表明了观测误差建模的重要性；Yu等21 提出了一种基于生成对抗网络（GAN）的车辆轴重概率估计方法；此外，Yang23 提出了一种基于非概率理论的面向不确定性的正则化荷载识别方法，但这些研究仅仅限于参数识别层面，而缺乏对误差模式选择的研究。从数据采集的角度看，不同类型的样本数据的误差模式可能不同，误差模式选择不当可能会导致参数识别精度下降24 。然而，误差模式的优选尚未被相关文献报道。本文提出了一种基于贝叶斯推理的桥梁车辆荷载识别方法。该方法主要包括置信区间估计、模式选择和
9、动力响应消除，通过修正曲面实现了动力响应的消除，通过贝叶斯推理对误差模式进行了优化选择，从而提高了荷载识别的精度，并对荷载估计值的不确定性进行量化。最后，通过数值算例和某连续梁桥动载试验对该方法的可靠性进行了验证，以期为桥梁的长期运营和维护管理提供科学依据。1基于贝叶斯推理的桥梁车辆荷载识别方法1.1荷载与响应的关系假设一辆 K 轴车辆行驶通过窄桥（不考虑横向效应），对车辆的位置数据和响应数据进行采样，构建荷载与响应的关系表达式如下：Ri=k=1KI(xik)Ak（1）式中 Ri为第 i次采样的理论响应；K 为车辆的车轴数目；Ak为第 k个车轴的轴重（前轴为第 1个车轴）；I(x)为位置 x
10、处的影响系数25 ；xik为在第 i 次采样中第 k个车轴的位置。整理 N 次采样的数据，荷载与响应的关系式以矩阵的形式表示为：R=I A（2）式中 R RN 1为 理 论 响 应 向 量，R=R1 R2 R3 RNT；A RK 1为轴重荷载向量，即待求未知数向量，A=A1 A2 A3 AKT；I RN K为影响系数矩阵，矩阵的第 i 行第 k 列元素表示在第 i次采样中第 k个车轴对应位置处的影响系数，即I(i，k)=I(xik)（3）考虑到实测响应相对于静力响应存在误差，对荷载与响应的关系式引入误差项，表达式如下：R=I A+（4）式中 R RN 1为实测响应向量；N(0，0)代表实测响应
11、存在的误差，即第 i次实测响应的误差i相互独立且服从零均值，方差为 2i的高斯分布。参考 Mu 等26 的研究成果，并且考虑到 2i可能与实测响应Ri和速度大小Vi相关，本文针对方差 2i设定 5种误差模式，表达式如下：|2i=20Type1 2i=20|RiType2 2i=20V iType3 2i=20|RiType4 2i=20ViType5（5）式中 Vi为第 i 次采样中车辆行驶的速度，单位为m/s；为误差参数，可对与响应大小Ri和速度大小Vi相关的误差进行调整和控制。基于上述线性回归模型，以M 表示该数学模型；D表示样本数据，即影响系数矩阵I 和响应向量R；=AT 20 T表 示
12、 不 确 定 的 参 数；p(D|，Cj)表示数据的似然函数，它反映待求参数和数学模型Cj 对数据D的拟合程度，似然函数为多维高斯分布，表达式为：p(D|，Cj)=(2)-N2|0|-12exp|-12(R-I A)T0-1(R-I A)|（6）1.2贝叶斯推理1.2.1先验分布假设未知参数的先验分布是互相独立的，则：p(|Cj)=|p()A|Cjp()20|Cj，j=1Type1p()A|Cjp()20|Cjp()|Cj；j=2，3，5 Type25（7）468第 2 期茅建校，等：桥梁车辆荷载识别的贝叶斯方法研究式中 C1C5代表误差模式Type15。假设轴重荷载向量A的先验分布为服从均值
13、A（数值算例中，车辆为二轴普通小轿车，一般前轴重量是后轴的一半，总重量位于 1.21.6 t 之间，故取A=0.45 0.9 T。动载试验算例中，车辆为满载的三轴大型载重货车。参考 GB 15892016 汽车、挂 车 及 汽 车 列 车 外 廓 尺 寸、轴 荷 及 质 量 限值27 ，单轴重量不超过 11.5 t，因此在动载算例中取A=10 10 10 T）和协方差矩阵A（协方差代表了轴重的先验分布的离散程度，数值算例取A=diag 1 1，动载试验算例取A=diag 1 1 1）的高斯分布：p(A|Cj)=(2)-K2|A|-12exp|-12(A-A)T-1A(A-A)|（8）误差方差
14、20服从具有形状参数0和尺度参数 0的逆伽马分布（0和 0决定了 20的离散程度，结合实测响应可能出现的误差，取0=1，0=1），表达式如下：p(20|Cj)=00 2(0+1)0()0exp(-0 20)（9）误差参数服从均值为 0，标准差为（由式（5）可知，不宜过大，取为 0.1）的正态分布：p(|Cj)=(2)-12-1exp|-22 2|（10）1.2.2后验分布根据贝叶斯定理，未知参数的后验分布28 为：p(|D，Cj)=p()D|，Cjp()|Cjp()D|Cjp()D|，Cjp()|Cj（11）Mu等26和 Muto29对后验分布的最优值进行了相关推导，具体如下：对 于 误 差
15、模 式Type1，不 确 定 参 数=AT 20T。通过最大化p(|D，Cj)，可得到参数A和 20的最优值如下：-A(20)=(-20ITI+-1A)-1(-20IT R+-1AA)（12）20(A)=(R-I A)T(R-I A)+2 0N+2(0+1)（13）最优值-A(20)和 20(A)是互相耦合的，通过迭代 可 得 到 其 条 件 最 优 值。从A的 极 大 似 然 解(ITI)-1IT R开始，交替使用式（12）和（13），直到迭代稳定或误差小于预先设定的阈值。目标函数J()定义为p(|D，Cj)的负对数，表达式如下：J()=-lnp(|D，Cj)（14）海森矩阵H()是目标函数
16、的二阶偏导30 ，则后验协方差矩阵的表达式为：=H(*)-1=2J()-1|=*（15）式中 为哈密顿算子（Hamiltonian），不确定性参数的最优值*=-AT 20T。A为A的后验协方差矩阵，是的前 K阶。A的后验分布p(A|D，20，Cj)是均值为-A和协方差矩阵A为（-20ITI+A-1）-1的正态分布；误差方差 20的后验分布p(20|D，Cj)是逆伽马分布，后验形状参数-和比例参数-的表达式如下：-=N2+0（16）-=(R-I-A)T(R-I-A)2+0（17）对 于 误 差 模 式Type25，不 确 定 参 数=AT 20T。通过最大化p(|D，Cj)，可得到参数A和 20的最优值，如下：-A(20，)=(-20ITL-1I+-1A)-1(-20ITL-1R+-1AA)（18）20(A，)=(R-I A)TL-1(R-I A)+2 0N+2(0+1)（19）式中 L为与误差协方差矩阵0有关的矩阵，表达式如下：L=0 20（20）通过类似的迭代方式，可得到参数的条件最优值。A的后验分布p(A|D，20，Cj，)是均值为-A和协方差矩阵A为(-20ITL-1I+-1A)