1、第五章第五章 极限定理极限定理 1 5.1 大数定律大数定律 定义定义 5.1.1 称随机变量序列nX依概率收敛依概率收敛于 X，如果对于任意给定的0，有 0|limXXPnn 或 1|limXXPnn 记为 XXPn2 服从大数定律服从大数定律 定义定义 5.1.2 设nX是一列随机变量序列，如果存在一列实数na使得 011PnniiaXn 成立，则称随机变量序列nX服从大数定律服从大数定律 3 定理定理 5.1.1(切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律)设nX是一列相互独立的随机变量序列，若存在常数0C，使得对所有,2,1i，有()iD XC成立，则对于任意给定0，有 1111lim()0nn
2、iiniiPXE Xnn即 1111()0nnPiiiiXE Xnn 4 证明证明 因为由切比雪夫不等式得 1111()nniiiiPXE Xnn121niiDXn2nC所以 1111lim()0nniiniiPXE Xnn2121niiDXn5 例例 5.1.1 设nX是一列独立随机变量序列，且,2,1,21)ln(nnXPn，证明nX服从大数定律 证明证明 由于2()lniD Xi，所以 2211lnlnnniiiDXinn从而 2212221ln1ln0limlimlim0nniinnniinnDXnnn6 1111()nniiiiPXE Xnn21210niinDXn 2212221l
3、n1ln0limlimlim0nniinnniinnDXnnn故有 故nX服从大数定律 7 Pnpn 定理定理 5.1.2（伯努利大数定律）（伯努利大数定律）设n是n次独立试验中事件A发生的次数，又在每次试验中事件A发生的概率是p，10 p，则对于任意给定0，有 lim0nnPpn即 证明证明 令 没出现次试验中第出现次试验中第AiAiXi,0,1,2,1i由于(),()(1),iiE Xp D Xpp,2,1i1nniiX并且)(11niiXEnp由切比雪夫大数定律，即得定理之结论.8 01lim1niinXnP定理定理 5.1.3（辛钦大数定律辛钦大数定律）设 X1，X2，Xn独立同分布，
4、数学期望均为,则对于任意的0，有 或 PniiXn119 中心极限定理是确定在什么条件下中心极限定理是确定在什么条件下大量的随机变量之和的分布可以用正态大量的随机变量之和的分布可以用正态分布近似，它不仅提供了计算独立随机分布近似，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率而且有助于解释为变量之和的近似概率而且有助于解释为什么很多随机现象可以用正态分布描述什么很多随机现象可以用正态分布描述这一事实这一事实 第二节第二节 中心极限定理中心极限定理 10 定理定理5.2.15.2.1(林德伯格林德伯格-勒维中心极限定理勒维中心极限定理)设nX是一列独立同分布的随机变量序列，且2(),()nnE XD
5、 X，则对于任给的x，有 2121limed2nxixinXnPxxxn这定理说明当n很大时，11niiXnn近似服从标准正态分布，或niiX1近似服从正态分布2,nnN 11 例例5.2.15.2.1 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱的平均重50千克，标准差5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.解解 设Xi(i=1,2,n)是装运的第i箱的重量,n是所求的箱数,由条件可知,可以把 看作是相互独立同分布的随机变量,而总重量 nXXX,21nnXXXT21是独立同分布的随机变量之和.由题意
6、知,5)(,50)(iiXDXE并且要求n满足)2(977.05000nTP12)2(977.05000nTP由林德伯格林德伯格-勒维定理勒维定理 nnnnTPTPnn55050005505000nn101000所以n必须满足 2101000nn0199.98n即最多可以装98箱。13 定理定理 5.2.2（棣莫弗棣莫弗拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理）设nY是n次独立试验中事件A发生的次数，又在每次试验中事件A发生的概率是p，10 p，则对于任意给定x有 limnnYnpPxxnpq 14 证明证明 令 没出现次试验中第出现次试验中第AiAiXi,0,1,2,1i则nX是一列独立同分
7、布的随机变量序列，又(),()(1)iiE Xp D Xpp1,2,i 并且 1nniiYX由林德伯格-勒维中心极限定理，即得本定理的结论 15 根据该定理，若),(pnBX则当n很大时，有)()1(xxpnpnpXP二项分布的正态近似二项分布的正态近似 16 例例5.2.25.2.2 将一枚硬币连续的抛掷1000次,分别计算出现正面的次数大于530,550的概率.解解 设X为出现正面的次数,则有)5.0,1000(BX由棣莫弗-拉普拉斯定理,有 5301530XPXP5.05.010005.010005305.05.010005.010001XP0294.09706.01)8974.1(12
8、50301同理 0)1623.3(1250501550XP17 例例 5 5.2.3.2.3 在一家保险公司中有一万人参加保险，每人每年付 12 元保险费，在一年内一个人死亡的概率是 0.006，死亡时其家属可向保险公司领取 1000元，问：(1)保险公司亏损的概率有多大？(2)保险公司一年的利润不少于 40000 元和 80000 元的概率各为多少？解解 设X是一万个参加保险人员中在一年内死亡的人数，则006.0,10000 BX 由于试验次数很大，所以X近似服从正态分布64.59,60N(1)10000121000XP120XP64.596012010746.7118(2)40000100
9、01000012XP80XP 995.058.264.5960808000010001000012XP40XP005.058.264.596040 上述计算结果的说明保险的利润在正常情况下至少4万元，但也不会超过8万元 19 例例 5.2.4 某调查公司受委托，调查某电视节目在 S 市的收视率 p，调查公司将所有调查对象中收看此节目的频率作为 p 的估计 p.现在要保证有 90%的把握，使得调查所得收视率 p与真实收视率之间的差异不超过 5%.问至少要调查多少对象？解解 设共调查n个对象，其中收看此电视节目的人数为Yn，则有 (,)nYb n p于是由题意，要求 且 nYpn(|0.05)0.05nYPppPpn20 0.05(1)(1)nYnpnPppnpp(|0.05)0.05nYPppPpn20.0510.90(1)nnpp 所以 0.050.95(1.645)(1)nnpp 解得 1082.41(1)npp21 1082.41(1)npp由于(1)0.25pp所以只需 270.6n即可，即至少需调查271个对象.22