1、DOI:10.11858/gywlxb.20220640应用于多层靶准等熵压缩实验的反积分方法陶沛东1,2，张红平3，张志友1，李牧2（1.四川大学物理学院,四川成都610064；2.深圳技术大学工程物理学院,先进材料测试技术研究中心,深圳市高功率激光与先进材料重点实验室,广东深圳518118；3.深圳技术大学大数据与互联网学院,广东深圳518118）摘要：针对磁驱动和激光驱动准等熵压缩实验物理中多层结构靶设计和实验数据处理的需求，在反积分处理方法的基础上，提出了多层靶的层间传递方法，实现了多层靶内加载历史的反演计算。通过正、反积分数值实验以及激光驱动实验的正、反计算，验证了多层靶中反积分数据
2、处理方法的有效性，在绝大部分计算范围内，多层靶的反积分处理精度可以达到 1%以内。利用反积分方法开展了多层靶物理实验的波形设计，并分析了不同厚度胶层的多层靶对斜波加载实验的影响。关键词：准等熵压缩；多层靶；反积分；激光驱动；胶层中图分类号：O521;O347.1文献标识码：A准等熵压缩实验具有压缩历程可连续测量、加载过程温升较小等特点，在行星物理和材料动态响应特性研究中应用广泛12。为了实现理想的加载路径或特殊的实验目标，靶常被设计为多层结构，例如：在激光加载实验中，在目标材料与烧蚀层之间添加高 Z 材料以阻隔加载过程中焦耳加热、辐射输运等效应对加载结果的影响。在可提供准等熵加载条件的激光与磁
3、驱实验中，靶样品的尺寸在加载方向一般为数微米至百微米量级，难以在不产生信号干扰的情况下通过内嵌传感器测量样品内部及加载面的加载信息，限制了传统的流体力学积分计算方法对数据处理的应用。反积分计算方法是 Hayes3在处理 Z 加速器的实验数据时提出的，使用样品靶自由面或窗口界面的无接触光测数据作为积分计算的输入条件，在样品靶加载信息未知的情况下，利用双曲型控制方程的特点，在空间上向样品靶内部进行反向积分计算，从而实现样品内部物理信息的计算。目前，基于计算得到的高精度声速曲线和原位粒子速度，反积分方法已在准等熵压缩实验中得到广泛应用46。在准等熵加载实验中，反积分方法主要有两种应用方式：(1)当样
4、品的物性参数未知时，依据多台阶靶在不同台阶处测量得到的速度历史积分到加载位置处应基本相同这一原理，修正未知的物态方程参数；(2)当样品的物态方程参数已知时，由单个台阶测量得到的速度历史，可积分推导整个样品内部直至加载面所有位置的加载信息。我国对于反积分方法的研究从流体力学近似78开始，将材料的弹塑性和力学响应等因素进行综合考虑9，在准等熵压缩实验和复杂路径加载实验中逐步得到完善10，利用准等熵加载实验数据对反积分方法和特征线反演方法计算得到的拉格朗日声速及原位粒子速度进行对比11，发现反积分方法与特征线方法的精度基本一致。目前，应力波的反演都是针对单层材料，然而实际实验中几乎没有单层样品，在实
5、验数据处理和加*收稿日期：2022-08-15；修回日期：2022-08-28 基金项目：国家自然科学基金（11972330，11974321）；国防基础科研科学挑战专题（TZ2016001）作者简介：陶沛东（1997），男，硕士研究生，主要从事动高压物理研究.E-mail： 通信作者：张红平（1981），女，博士，副教授，主要从事计算力学和数值方法研究.E-mail：第37卷第1期高压物理学报Vol.37,No.12023年2月CHINESEJOURNALOFHIGHPRESSUREPHYSICSFeb.,2023012301-1载波形设计中必须考虑多层材料结构的影响。考虑多层材料间阻抗失配
6、造成的应力波反射问题时，寻找相同加载历史的拉格朗日位置变得比较困难。在解决这类问题时，实现多层靶内加载历史反演是成功的关键。对于界面经历多次反射/透射后的复杂波系区域，采用特征线方法处理相对复杂，而反积分方法是全域计算方法，可以通过初边值条件处理界面问题，更容易实现多层计算。为此，本研究基于反积分方法，结合多层材料分界面两侧各参数的传递方法，实现多层靶的反向积分计算，并进行验证。1 多层靶的反积分方法多层靶的反积分计算可沿材料层数依次反向积分实现，对每层材料而言，需重点考虑其积分初始条件的获取。在准等熵压缩过程中，以加载方向（第一道压缩波传播的方向）定义样品的前后顺序，该扰动出发的位置为上游，
7、传播的方向为下游方向。设右行方向为加载方向，对于每一层材料，左边界为前界面，右边界为后界面。1.1 单一材料的正反积分计算方法考虑应力波在流体近似下的一维传播情况，控制方程可以选择质量方程、动量方程和一个描述应力与应变之间关系的力学响应方程作为流场积分计算的基础。在已知拉格朗日坐标系下样品某空间位置的应力历史或粒子速度历史的情况下，可以计算获得样品内部所有空间位置的应力-应变曲线以及粒子速度随时间变化的情况。以下为微分形式的控制方程。质量方程ux=t(1)动量方程x=0ut(2)力学响应方程=F()(3)u=1vv0v0=1v0式中：为粒子速度；为体应变，其中 为比容，v0为初始比容；为应力；
8、为初始密度；t 为时间。在数值计算中，需要根据不同的边界条件和已知信息对控制方程进行离散。当计算的边界条件在加载面时，即已知靶材料的加载信息，数值计算沿时间方向推进，常称为正向积分计算，控制方程的差分离散形式为u(x,t)=u(x,tdt)10(x+dx,tdt)(xdx,tdt)dt2dx(4)(x,t)=(x,tdt)+u(xdx,t)u(x+dx,t)dt2dx(5)(x,t)=F(x,t)(6)当计算的边界条件在自由面或样品-窗口界面时，即已知实验测得的样品靶自由面或样品-窗口界面上的材料信息，数值计算沿空间反向向样品加载面推进，自由面或样品-窗口界面信息亦可看作数值计算过程中的“初始
9、条件”，因此常称为反向积分计算，控制方程的离散形式为(xdx,t)=(x,t)+0u(x,t+dt)u(x,tdt)dx2dt(7)(xdx,t)=F(xdx,t)(8)第37卷陶沛东等：应用于多层靶准等熵压缩实验的反积分方法第1期012301-2u(xdx,t)=u(x,t)+(xdx,t+dt)(xdx,tdt)dx2dt(9)正向积分法（式(4)式(6)）与反向积分法（式(7)式(9)）在数值计算中的主要区别在于力学响应方程（式(6)和式(8)）的形式和离散。在斜波加载实验中，其应力-应变关系与根据主 Hugoniot 线推导的等熵压缩线上的应力-应变关系非常接近。沿 Hugoniot
10、线的应力-应变关系可简单表示为pH(v)=p0+0C20(1)2(10)pHusupus=C0+up式中：为 Hugoniot 线上的压力；C0和 为 Hugoniot 系数，由冲击波速度和粒子速度的关系决定。结合 Grneisen 物态方程，可得到过同一起始点的等熵线应力-应变关系p(v)=p0+0C20e001(0)z(1z)3e0zdz(11)0式中：p 为等熵线上的压力，为 Grneisen 参数。为了方便数值计算，将该积分形式的应力-应变关系转换成微分形式dpd=0(p p0)0C20(0)1(1)3(12)=p在不考虑材料弹塑性等其他偏应力和黏性应力的情况下，式(12)离散后可直接
11、替换式(6)用于正向积分计算。而在反积分计算过程中，应变随时间的变化关系应当由应力随时间变化关系推导而来，需要将式(12)转化为ddp=10p0C20(0)1(1)30p0(13)同样，式(13)离散后可直接替换式(8)用于反向积分计算。需要说明的是，由于式(13)属于超越方程，一般采用二阶龙格-库塔法等算法以保证其精度。由反积分差分形式的离散公式（式(7)式(9)）可知，进行反积分计算需要样品边界的应力、应变、速度三者随时间的变化关系。对于自由面，该边界的压力为零，应变为零，根据实验测量的速度历史可直接开始计算。对于窗口界面，要求窗口内的应力波为简单波，结合窗口材料参数，由式(14)可给出界
12、面处窗口材料的压力历史dp=cdu(14)1.2 不同材料层参数的传递方法目前广泛应用的反积分方法主要以样品窗口界面或自由面速度历史为初始条件，其中带窗口实验要求应力波在窗口内维持简单波，即应力随时间单调增加。在多层靶的计算中，计算域的后边界仍然需要维持上述条件，但是计算域内不需要简单波条件。根据下游材料层反积分计算结果，可以得到该层材料的加载面状态。由于相邻层的材料属性不同，对应的状态方程和强度存在差异，但在压缩过程中始终保持界面连续，因此可以保证运动的连续性。相邻边界处的应力和速度相等是处理多层靶的基本原则，即u(t)=u+(t)(15)(t)=+(t)(16)(t)式中：下标“”表示边界
13、左侧待算区域的边界，下标“+”表示已计算完成的材料层的加载面。根据界面左侧区域材料的准等熵压缩力学响应关系，可根据应力大小给出应变，即可得到新的材料层反积分计算初始条件，再按照单层反积分方法进行计算。第37卷陶沛东等：应用于多层靶准等熵压缩实验的反积分方法第1期012301-3 1.3 多层靶的反积分计算过程对于如图 1(a)所示的多层靶结构，反积分计算流程如图 1(b)所示。首先，通过实验可在探测面，即图 1(a)中最后一层材料后界面，测量得到粒子速度历史；然后，将其作为反积分的初始条件，利用材料的物性参数计算，得到此界面的应力和应变；接着，以此 3 个变量为输入信息，采用 1.1 节中的方
14、法进行单层材料的反积分运算，得到该层材料前界面的应力、应变和粒子速度历史；最后，采用 1.2 节中的界面参数传递方法，获得上游材料的后界面信息，作为上游材料反积分计算的初始条件，再进行该层材料的反积分运算。依此循环，直至计算到多层靶的加载面。2 多层靶的反积分方法的数值验证为验证该方法的可行性，进行了数值实验，采用经典的数值计算方法进行正向计算，计算过程采用的参数与反积分方法保持一致。根据准等熵压缩过程中常见的靶结构和边界条件，分别采用两种类型的夹层靶进行计算，靶的两侧为同一种材料，中间分别夹高阻抗和低阻抗材料。具体材料和尺寸分别为：(1)铝（5m）/铜（5m）/铝（20m）；(2)铝（5m）
15、/CH（5m）/铝（20m）。计算时间长度取 100ns，是应力波渡越时间的 10 倍以上，足以反映不同阻抗界面的多次反射过程。考虑到内部界面中已经选择产生较强的阻抗差异，计算域的后边界取为无反射的原位条件。给定一个近指数加载历史，图 2(a)和图 2(b)给出了增加高/低阻抗夹层材料计算的各界面的压力历史。其中后界面的压力为正积分法计算结果，以此为初始条件进行反积分计算，最后得到内部各截面和加载面的压力历史。从图 2 可以看出，经过 3 层反积分处理后，加载面的压力历史与正积分法输入的压力历史吻合。正、反积分法在加载面上的差异如图 2(c)所示：在压缩初始阶段（压力不足1GPa 时），两种方
16、法所得计算结果的相对误差较大，达到 5%以上；在后续过程中，压力波形的相对误差均远小于 1%，处于 0.1%0.4%之间。计算发现，增加阻抗差异后，反积分法给出的加载压力误差略有增加，但在低压段的相对误差仍然较大。低压段相对误差较高的原因部分来源于数值弥散。实验研究中，低于 1GPa 的数据本身的测量误差就非常大，因此可以认为在阻抗差异不大的情况下，多层靶的数据处理可以采用反积分方法。(a)(b)Integration directionDetectionequipmentAblationsurfaceFrontinterfaceRearinterfaceMeasuringsurface.+Data recordedfrom measuringsurfaceExportHistory of variablesover time at rearinterfaceCheck whetherit is a loadingsurface(Proceed into next layer)NoYesSingle layerbackward integrationHistory of variabl