1、书书书收稿日期:2022 12 02;修订日期:2023 01 15作者简介:袁志会(1983)，男，博士，讲师，主要从事分形几何与动力系统的研究工作。基金项目:国家自然科学基金项目(12061006);江西省自然科学基金项目(20212BAB201002);东华理工大学博士启动金项目(DHBK2019210)。第 41 卷第 1 期2023 年 2 月江西科学JIANGXISCIENCEVol 41 No 1Feb 2023doi:1013990/j issn1001 3679 202301001一类 Moran 测度的加细重分形分析袁志会，占雨晴(东华理工大学理学院，330013，南昌)摘
2、要:主要研究了在 2 种压缩方式和 2 种测度分配方式下的 Moran 集上的 Moran 测度的重分形分析。在假设2 种方式的频率存在的前提下，得到了关于上、下局部维数所确定的水平集的 Hausdorff 维数和 Packing 维数，证明此类 Moran 测度满足重分形机制。关键词:Moran 测度;重分形分析;Hausdorff 维数;Packing 维数中图分类号:O174 12文献标识码:A文章编号:1001 3679(2023)01 001 05efined Multifractal Analysis for a Class of Moran MeasuresYUAN Zhihui
3、，ZHAN Yuqing(School of Science，East China University of Technology，330013，Nanchang，PC)Abstract:The article focuses on the refined multifractal analysis for a class of Moran measures onMoran sets The Moran sets and the measure are construct by two types of compression and distribu-tion under the assu
4、mption that the existence of the frequencies of the two types Both the Hausdorffand packing dimensions of the level sets indicating lower and upper local dimension will be consid-ered We prove that such Moran measures satisfy the multifractal mechanismKey words:Moran measures;multifractal analysis;H
5、ausdorff dimension;Packing dimension0引言重分形分析是可以从几何角度精细地描述度量空间上小尺度测度分布的异质性的一种自然工具。特别地，对紧度量空间(X，d)上完全正有限的 Borel 测度 ，它的异质性可以用局部维数dimloc(，x)=limr0+log(B(x，r)logr来表示。重分形分析主要研究由局部维数确定的水平集 E(，)=xX:dimloc(，x)=的 Hausdorff 维数和 Packing 维数。对于很多测度，如自相似测度，Gibbs 测 度 等 都 满 足 重 分 形 机 理1 13，即dimHE(，)=*()，其中 称为“自由能”函数
6、或 Lq谱，其定义如下:(q)=limr0logsupi(Bi)qlogr，这里 sup 取自所有半径为 r，中心在 supp()中，互不相交的闭球 Bi=B(xi，r)形成的球族(即supp()的所有填充)，而 f*表示函数 f 的 Leg-endre 变换，即 f*()=infqR q f(q)。特别地，若 dimHE(，)为负数，意味着集合为 ，Packing 维数与之类似。不过，一般来讲，并不能保证局部维数定义中极限的存在性13。此时，极限可以分裂为上、下极限的形式:dimloc(，x)=limr0+log(B(x，r)logr;dimloc(，x)=limr0+log(B(x，r)l
7、ogr。分别称为 在 x 处的上、下局部维数，它们分别反映了此测度在 x 的最小和最大集中程度。对于，R +，由上、下局部维数所确定的水平集 E(，)的定义为:E(，)=x supp:dimloc(，x)=，dimloc(，x)=。这些水平集形成了 supp()的分割，它的研究更能反映出测度本身的分形性质，因此其研究也至关重要。同样地，对 R，也十分关注下述水平集:E(，)=x supp():dimloc(，x)=;E(，)=x supp():dimloc(，x)=。可以看出 E(，)=E(，)E(，)。希望证明这些加细的水平集的维数可以由自由能函数的 Legendre 变换的形式给出。1模型
8、构造及主要结论记 =0，1，n=x=(12 n):i ，*=n0n。给 定 12 n n，12 k k，定义 12 n*12 k=12 n12 k n+k。设 A，B 都是大于 2 的实数。给定序列 M=mkkN，mk 0，1，按如下步骤可构造分形集 X:步骤 1:给定区间 I=0，1。若 m1=0，则 I0=0，1A，I1=1 1A，1;否则，若 m1=1，有 I0=0，1B，I1=1 1B，1。步骤 2:对任意的 k，I已经被定义。若 mk+1=0，则 I*0=X，X+IA，I*1=X+IIA，X+I;若 mk+1=1，则 I*0=X，X+IB，I*1=X+IIB，X+I。类似的，重复构造
9、下去，即可得到相应的分形集 X=k1kI。定义 Fk=I12 k|12 kk表示n 阶柱集构成的集合，对每一个 x X，In(x)表示包含 x 的 n 阶柱集，即唯一的 n 阶柱集 I12 n Fn，使得 x I12 n。对任意的 n Z+，1 n n，按照如下方式定义分形集 X 上的一个集函数:(I12 n)=nj=1P1jj(1 Pj)j(1)其中:当 mk=0 时，Pj=a，mk=1 时，Pj=b。由测度扩张定理可知，集函数 可以延拓为分形集 X 上的测度 ，并且测度 也满足上述关系式。这种测度是 Moran 测度的一种特殊情况。对任意的 n N 和 q R，定义:1(q)=log(aq
10、+(1 a)q)，2(q)=log(bq+(1 b)q)令IFnIn|n(q)(In)q)=1，从而:(AnB(nn)n(q)(aq+(1 a)q)n(bq+(1 b)q)nn=1。解出 n(q):n(q)=lnlog(aq+(1 a)q)+(n n)log(bq+(1 b)q)lnlogA+(n ln)logB=ln1(q)+(n ln)2(q)lnlogA+(n ln)logB。(2)在本文中，假设 limn#k n:mk=0n=存在，可知对任意的qR，(q)表示n(q)的极限且(q)=limnn(q)=1(q)+(1 )2(q)logA+(1 )logB总是存在的。按照标准的计算步骤7
11、8，12 14，可以得出它的值正好等于 Lq谱(q)。注意 n(q)，都是凹函数并且是光滑函数。在以上模型以及假设 limn#k n:mk=0n存在的前提下，可得以下结论。定理 1:对任意的，(+)，()，有:dimHE(，)=min*()，*();dimPE(，)=max*():，。基于上述定理，可得下述推论。推论1:对任意的 (+)，()，2江西科学2023 年第 41 卷有:dimHE(，)=dimHE(，)=dimHE(，)=dimPE(，)=*();dimPE(，)=sup*():，dimPE(，)=sup*():。2定理的证明2 1定理 1 的证明运用文献 4第 4 章、文献 13
12、引理 3 4 的办法，容易得到下面引理。引理 1:在定理 1 条件下，对于任意的形如(1)的方式定义的测度 ，都有:dimloc(，x)=limnlog(In(x)In(x)，dimloc(，x)=limnlog(In(x)In(x)。其中In(x)代表区间 In(x)的长度。对于重分形分析而言，测度的维谱的上界一般来讲是相对容易的，文献 7，14 中都以不同的形式给出了测度维谱的上界，定理中的 是标准且容易验证的。因此本文将主要关注 的证明，主要是构造 2 个测度，和，使得:(1)，(E(，)=，(E(，)=1;(2)dimH，inf*()，*()，dimP，sup*():，。根据测度的维数
13、的定义以及其与集合的维数的关系，便可得结论。证明过程将分成 3 个部分:第 1 部分，一般情形下 Hausdorff 维数的下界;第 2 部分补足第 1 部分忽略的部分，处理特殊情况;第3 部分，Packing维数的下界，其中第 1 部分是证明的本质部分，其他两部分都比较类似。第 1 部分:一般情形下 Hausdorff 维数的下界。对任意的，(+)，()，使得存在 q，q R 0，满足(q)=，(q)=。此外，固定一递减序列iiN，且有 limii=0。1)选择 n1 N 足够大，使得任意 k n1，有:|k(q)|1，|k(q)|1。对于 1 k n1，定义:，(I12k)=kj=1ej(
14、q)(Pqj)1j(1 Pj)qj。其中:当 mj=0 时，j(q)=1(q)，Pj=a;当mj=1 时，j(q)=2(q)，Pj=b。若 ni和，在 nik=1Fk上已经被定义好，选 ni+1远远大于 ni，使得对任意的 k ni+1，有:|k(q)|i+1，|k(q)|i+1。对于 ni k ni+1，定义:，(I1 ni k)=，(I12 ni)kj=ni+1ej(qi)(Pqij)1j(1 Pj)qij。同上，当 mj=0 时，j(qi)=1(qi)，Pj=a;当mj=1 时，j(qi)=2(qi)，Pj=b。其中关于 qi的选取为:若 i=2l(l N)，qi=q;i=2l+1(l
15、N)，qi=q。由测度扩张定理知:集函数，可以被延拓成由 k=1Fk生成的 代数上的概率测度(同样用，表示)，而且其在 k=1Fk的定义不变。还知道limkk(q)=，limkk(q)=。(3)2)对于任意的 k N，定义随机变量 Xk:对于任意的 x=(12 kk+1 )，Xk(x)=logPkk=0，log(1 Pk)k=1，其中当 mk=0 时，Pk=a;当 mk=1 时，Pk=b。令:(q)=1(q)mk=02(q)mk=1。则由等式(2)知:n(q)=1lnlogA+(n ln)logBnj=1j(q)。当 mk=0 时，随机变量 Xk关于测度，的期望为:E(Xk(x)=logae1
16、(qi)aqi log(1 a)e1(qi)(1 a)qi=e1(qi)(aqiloga+(1 a)qilog(1 a)=(aqiloga+(1 a)qilog(1 a)aqi+(1 a)qi=k(qi)。同理，当 mk=1 时，上述过程同样成立，从而3第 1 期袁志会等:一类 Moran 测度的加细重分形分析有:kj=ni+1EXj=kj=ni+1j(qi)=k(qi)(lklogA+(k lk)logB)ni(qi)(lnilogA+(ni lni)logB)。令 k=lklogA+(k lk)logB，则上式可以改写成:kj=ni+1EXj=kj=ni+1j(qi)=kk(qi)nini(qi)。则有:|kj=ni+1EXj(k ni)(qi)|=|kk(qi)nini(qi)(k ni)(qi)|k(k(qi)(qi)|+|ni(ni(qi)(qi)|ki+1+nii(k+ni)i。这就意味着|kj=1EXji1s=0ns+1j=ns+1(qs)kj=ni+1(kni)(qi)|=|i1s=0ns+1j=ns+1(EXj(qs)+kj=ni+1EXj(k ni)(qi)|i1s