1、 收稿日期2 0 2 1-0 9-2 6;修改日期2 0 2 1-0 5-1 3 基金项目国家自然科学基金(1 2 0 7 1 4 1 2)作者简介李诗雨(1 9 9 8-),女,硕士在读,基础数学专业.E-m a i l:y z u l i s h i y u 1 6 3.c o m 通讯作者陈惠香(1 9 6 0-),男,博士,教授,从事代数学研究.E-m a i l:h x c h e n y z u.e d u.c n第3 8卷第6期大 学 数 学V o l.3 8,.62 0 2 2年1 2月C O L L E G E MATHEMAT I C SD e c.2 0 2 2伪酉矩阵的
2、分类李诗雨,陈惠香(扬州大学 数学科学学院,江苏 扬州2 2 5 0 0 2)摘 要2阶伪酉矩阵自然产生于8维R a d f o r d代数上*-结构的研究.研究n阶伪酉矩阵及其等价分类,得到任一n阶伪酉矩阵均等价于单位方阵.关键词伪酉矩阵;等价关系;等价分类 中图分类号O 1 5 文献标识码A 文章编号1 6 7 2-1 4 5 4(2 0 2 2)0 6-0 0 1 9-0 51 引 言H o p f*-代数的概念起源于W o r o n o w i c z对紧矩阵伪群的研究1,紧矩阵伪群是紧矩阵群概念的推广,与C*-代数有着密切的联系.在C*-代数的框架下,W o r o n o w i
3、 c z展示了量子群上的H o p f*-代数结构1-3.有许多关于H o p f*-代数的研究,例如,G Lq(2),S Lq(2),Uq(s l(2)和H(1,q)都是H o p f*-代数4-6.R a d f o r d代数是一个n3-维的H o p f代数,文献7 研究了复数域上R a d f o r d代数的H o p f*-代数结构,证明了当n2时,绝对值为1的一对复数可确定R a d f o r d代数的H o p f*-代数结构,并且任意两个这样的H o p f*-结构等价;当n=2时,满足A A=I的2阶复数方阵A可确定R a d f o r d代数的H o p f*-结构
4、,这里I为单位矩阵.称满足A A=I的n阶复数方阵为伪酉矩阵.文献7 还证明了,由两个2阶伪酉矩阵A和B所确定的两个H o p f*-结构等价当且仅当存在2阶可逆复数方阵使得-1A=B,由此可定义伪酉矩阵间的一个等价关系.文献8 证明了任意两个2阶伪酉矩阵A和B总是满足关系,从而8维R a d f o r d代数的任意两个H o p f*-代数结构等价.一个自然的问题是:任意两个n阶伪酉矩阵关于关系是否总是等价的?若不是,有多少等价类?矩阵具有广泛的应用,与酉矩阵相关的研究也很多,一些相应的研究可见参考文献9-1 0.因此,伪酉矩阵是一个有意义的研究课题,本文将围绕伪酉矩阵关于关系的等价分类展
5、开讨论.2 预备知识在本文中,记为实数域,为复数域,i 为虚数单位.对任意复数=a+bi,其中a,b,的共轭复数记为=a-bi,的绝对值记为|=a2+b2.对于正整数n,nn复数矩阵全体表示为Mn().对于矩阵A=(j k)Mn(),令A=(j k)Mn(),n阶单位矩阵记作In,或简记I.对于正整数1j2,A=(j k)Mn()是伪酉矩阵.若1n0,则A001nA1A2A3-11n00 ,其中A1,A3是(n-2)1矩阵,A2Mn-2().证 由A A=I知nj=11jj1=1,nj=11jj i=0,i=2,3,n,令=100001000010-11n1 1-11n1 2-11n1n-11
6、 ,则-1=100001000010-11n1 1-11n1 2-11n1n-11 ,且-1A=100001000010-11n1 1-11n1 2-11n1n-11 1 11 21n-11n2 12 22n-12nn-1 1n-1 2n-1n-1n-1nn1n2n n-1n n 100001000010-11n1 1-11n1 2-11n1n-11 =1 11 21n-11n2 12 22n-12nn-1 1n-1 2n-1n-1n-1n-11n000 100001000010-11n1 1-11n1 2-11n1n-11 =0001n2 1-2n-11n1 12 2-2n-11n1 22n
7、-1-2n-11n1n-12nn-1 1-n-1n-11n1 1n-1 2-n-1n-11n1 2n-1n-1-n-1n-11n1n-1n-1n-11n000 .推论1 设n2,A=j k Mn()是伪酉矩阵.若1n=0但n10,则A00n1A1A2A3-1n100 ,02大 学 数 学 第3 8卷其中A1,A3是(n-2)1矩阵,A2Mn-2().证 取1=Pn(1,n)为n阶初等矩阵,则-11=1,且-11A 1的(1,n)-元素为n10.再由引理3,得A00n1A1A2A3-1n100 ,其中A1,A3是(n-2)1矩阵,A2Mn-2().引理4 设B=001nA1A A2-11n00
8、Mn()是伪酉矩阵,其中n2,01n,A1,A2是(n-2)1矩阵,AMn-2().则B001n0A0-11n00 .证 由于B是可逆矩阵,所以A也是可逆矩阵.由B B=I知A11n+A A2=0.(1)显然A-1=A-1,用A-1左乘(1),得A-1A11n+A2=0.(2)令=100-A-1A1In-20001 ,则-1=100A-1A1In-20001 .这样,由(2),有-1B=100A-1A1In-20001 001nA1A A2-11n00 100-A-1A1In-20001 =001n0A0-11n00 .引理5 设A=j k Mn()是伪酉矩阵且n2,则AA1OOA2 ,其中A
9、1Mn-2(),A2M2()或A1M1(),A2Mn-1().证 若1n0,则由引理3和引理4知,A001n0B10-11n00 ,其中B1Mn-2().取=01 0In-20 000 1 ,则-1=0In-20100001 ,所以-1001n0B10-11n00 =B100001n0-11n0 .若1n=0但存在2jn-1使得1j0,取1=Pn(j,n),则-11=1,且-11A 1的(1,n)-元素为1j0,这样由上面的证明知结论成立.若1j=0,2jn,但n10,则由推论1和引理4可得A00n10B20-1n100 ,其中B2Mn-2().再由上面的证明知结论成立.若1 2=1n=n1=
10、0,但存在2jn-1使得j10,取1=Pn(j,n),则-11=1且-11A 1的(n,1)-元素为j10,再由上面的证明知结论成立.若1j=j1=0,2jn,则12第6期 李诗雨,等:伪酉矩阵的分类1 10,A=1 10002 22n0n2n n ,结论仍然成立.定理1 设AMn()是伪酉矩阵,则AI.证 对n用数学归纳法.当n=1时,结论显然成立,当n=2时,由引理2知结论成立.现在设n2且假设结论对阶数小于n的伪酉矩阵成立,考虑n阶伪酉矩阵A.由引理5知AA1OOA2 ,其中A1Mn-2(),A2M2()或A1M1(),A2Mn-1().由引理1知A1OOA2 是伪酉矩阵,从而A1和A2
11、都是伪酉矩阵.由归纳假设存在可逆矩阵1和2使得-11A11=I,-12A22=I.令=1OO2 ,则可逆,且-1A1OOA2 =-11OO-12 A1OOA2 1OO2 =-11A11OO-12A22 =In.4 结 论本文给出了伪酉矩阵的关于的划分,在证明过程中利用了伪酉矩阵的基本性质.主要旨在一定程度上简化伪酉矩阵相关问题,以便在实际研究中选取合适的等价形式.致谢 作者十分感谢提供启发的相关文献以及提出宝贵意见的审稿专家.参 考 文 献1 WO R ON OW I C ZSL.C o m p a c tm a t r i xp s e u d o g r o u p sJ.C o mm u
12、 n i c a t i o n si n M a t h e m a t i c a lP h y s i c s,1 9 8 7,1 1 1:6 1 3-6 6 5.2 WO R ONOW I C Z S L.T w i s t e d S U(2)g r o u p.A n e x a m p l eo fn o n-c o mm u t a t i v ed i f f e r e n t i a lc a l c u l u sJ.P u b l i c a t i o n so f t h eR e s e a r c hI n s t i t u t e f o rM a t h
13、 e m a t i c a lS c i e n c e s,1 9 8 7,2 3:1 1 7-1 8 1.3 WO R ON OW I C ZSL.T a n n a k a-K r e i nd u a l i t yf o rc o m p a c tm a t r i xp s e u d o g r o u p s.t w i s t e dS U(N)g r o u p sJ.I n v e n t i o n e sM a t h e m a t i c a e,1 9 8 8,9 3:3 5-7 6.4 KA S S E LC.Q u a n t u mg r o u p
14、sM.N e wY o r k:S p r i n g e r-V e r l a g,1 9 9 5:3 9-2 3 8.5 MA S UD AT,M I MA CH IK,NAKA G P AM IY,e ta l.U n i t a r yr e p r e s e n t a t i o n so ft h eq u a n t u m S Uq(1,1):s t r u c t u r eo f t h ed u a l s p a c eo fUq(s l(2)J.L e t t e r s i nM a t h e m a t i c a lP h y s i c s,1 9 9
15、 0,1 9:1 8 7-1 9 4.6 MOHAMME D HSE,L iT,CHE N HX.H o p f*-a l g e b r as t r u c t u r e so nH(1,q)J.F r o n t i e r so fM a t h e m a t i c s i nC h i n a,2 0 1 5,1 0:1 4 1 5-1 4 3 2.7 MOHAMME D H S E,C h e n H X.T h es t r u c t u r e so f H o p f*-a l g e b r ao n R a d f o r da l g e b r a sJ.C
16、z e c h o s l o v a kM a t h e m a t i c a l J o u r n a l,2 0 1 9,6 9(1 4 4):3 6 5-3 7 6.8 李诗雨,周海楠,沈雯洁,等.伪酉矩阵与R a d f o r d代数的*-结构J.曲阜师范大学学报(自然科学版),2 0 1 9,4 5(3):1 9-2 2.9 王晓红.矩阵在量子计算与量子信息中的应用J.大学数学,2 0 0 7,2 3(3):1 5 5-1 6 0.1 0 郭华.次正规矩阵、次酉矩阵、次厄米特矩阵及反次厄米特矩阵J.大学数学,2 0 0 7,2 3(2):1 7 4-1 7 7.22大 学 数 学 第3 8卷T h eC l a s s i f i c a t i o no fP s e u d o-U n i t a r yM a t r i c e sL IS h i y u,CHE N H u i x i a n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c a lS c i e n c e s,Y a n g z h o uU n i v e r