1、h t t p:/ww w.j s j k x.c o mD O I:1 0.1 1 8 9 6/j s j k x.2 2 0 8 0 0 1 1 8到稿日期:2 0 2 2-0 8-1 2 返修日期:2 0 2 2-1 1-0 9通信作者:张鼎(2 0 1 3 1 2 0 1 0 0 0 9h h u.e d u.c n)圣维南方程的3次B样条拟插值数值解钱 江张 鼎河海大学理学院 南京2 1 1 1 0 0(q i a n j i a n g j o b h h u.e d u.c n)摘 要 首先针对不同阶的连续可导函数,对3次B样条拟插值算子进行相应的误差估计。其次将3次B样条拟插值
2、方法用于求解圣维南方程,利用3次B样条拟插值的一阶导数近似圣维南方程的空间导数,同时使用向前差分近似其一阶时间导数,求出其数值解。最后将所得结果与4阶龙格库塔法和蛙跳格式所得数值解进行对比分析,结果表明3次B样条拟插值方法具有一定的优越性。关键词:B样条;样条拟插值;圣维南方程;偏微分方程数值解中图法分类号 O 2 4 1.8 2 N u m e r i c a l S o l u t i o no fS a i n t-V e n a n tE q u a t i o nb yC u b i cB-s p l i n eQ u a s i-i n t e r p o l a t i o nQ
3、 I ANJ i a n ga n dZ HANGD i n gC o l l e g eo fS c i e n c e,H o h a iU n i v e r s i t y,N a n j i n g2 1 1 1 0 0,C h i n a A b s t r a c t F i r s t l y,t h ee r r o re s t i m a t e so fc u b i cs p l i n eq u a s i-i n t e p o l a t i n go p e r a t o r sa r ed e r i v e df o rc o n t i n u o u
4、 sd i f f e r e n t i a l f u n c t i o nw i t hd i f f e r e n to r d e r s.S e c o n d l y,c u b i cB-s p l i n eq u a s i-i n t e r p o l a t i o n i su s e dt og e t t h en u m e r i c a l s o l u t i o no fS a i n t-V e n a n t e q u a t i o n.S p e c i f i c a l l y,t h ed e r i v a t i v e so
5、 f t h eq u a s i-i n t e r p o l a t i o na r eu s e dt oa p p r o x i m a t e t h es p a t i a l d e r i v a t i v eo f t h ed e p e n d e n t v a r i a b l ea n df o r w a r dd i f f e r e n c em e t h o d i su s e dt oa p p r o x i m a t et h et i m ed e r i v a t i v eo f t h ed e p e n d e n t
6、v a r i a b l e.F i n a l l y,t h en u m e r i c a l s o l u t i o n sa r ec o m p a r e dw i t ht h e s o l u t i o no b t a i n e db y t h e f o u r t ho r d e rR u n g e-K u t t am e t h o da n d t h e l e a p f r o gs c h e m e.T h e nn u m e r i c a l e x a m-p l e ss h o wt h a t c u b i cs p
7、l i n eq u a s i-i n t e p o l a t i n gm e t h o dh a ss o m ea d v a n t a g e s.K e y w o r d s Bs p l i n e,S p l i n eq u a s i-i n t e p o l a t i o n,S a i n t-V e n a n t e q u a t i o n,N u m e r i c a l s o l u t i o n so fp a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s 1 引言样条函数是保持
8、一定连续阶的分段或分片的多项式函数1,由于其具有良好的性质,如保凸性、光滑性等,因此在计算机几何设计、微分方程数值解等诸多领域有着较好的应用。拟插值方法作为函数逼近中的重要方法,由于其无须求解方程组的优点而得到了广泛的研究与应用。W a n g在文献2 中对多元样条函数及其应用进行了论述,而后又构建了非均匀2型三角剖分上的二元2次拟插值算子3-4。文献5 给出了一类非均匀二元3次样条空间S1,23(2)m n)的样条拟插值,并在后续给出了其逼近误差6。文献7 对有界区间上的离散拟插值进行了进一步的研究,验证了B样条拟插值方法对某类函数一阶导数的逼近效果优于有限差分法。在此基础上,诸多学者尝试使
9、用一元3次B样条拟插值方法求解方 程 的 数 值 解8-1 4,如D e g a s p e r i s-P r o c e s i方 程、B u r g e r s-H u x l e y方程、波动 方 程 等,且 都 取 得 了 较 好 的 数 值 结 果。文献1 5 利用光滑余因子方法给出了4次B样 条基 函数及4次B样条拟插值,并将其用于求解对流扩散方程。文献1 6 将3次B样条拟插值方法用于求 解 二维 的非 定常平流扩散方程。圣维南方程1 7作为水动力学中的基本方程,具有十分重要的意义。圣维南方程所描述的物理现象在现实生活中广泛存在,且其在洪水预报、水路规划、环境保护等方面都起着一
10、定的作用。但除了在极少数特殊情况下,圣维南方程一般难以求出解析解。因此,诸多学者针对不同情形下的圣维南方程,求解其数值解1 8-2 0。例如,文献2 1 提出了一种计算效率高的混合有限体积/有限差分法,用于求解一维明渠流中的圣维南方程;文献2 2 采用P r e d i c t o r-C o r r e c t o r方法进行求解;文献2 3 分别使用有限差分法以及特征线法求解圣维南方程,结果发现有限差分法的结果准确度高于特征线法,且随着时间以及距离的增加,两者的误差也逐渐增大;文献2 4 将圣维南方程组转化为常微分方程,使用4阶龙格库塔法进行求解;文献2 5 采用G o d u n o v
11、格式的有限体积法求解双曲守恒型圣维南方程;文献2 6 在P r e i s s m a n n差分格式研究的基础上,提出了4种优化算法并进行了仿真验证。据笔者所知,至今鲜有文章研究3次B样条拟插值的方法在圣维南方程组中的应用,故本文考虑将3次B样条拟插值方法用于求解圣维南方程的数值解。本文回顾3次B样条拟插值,针对不同阶的连续可导函数进行相应的误差分析,并利用3次B样条拟插值求解圣维南方程。具体步骤为:利用3次B样条拟插值的一阶导数来近似微分方程组的空间导数,利用欧拉方法近似微分方程组的时间导数。第2节引入了单变量3次B样条基函数及3次B样条拟插值的构造格式。第3节针对不同光滑度的函数,对3次
12、B样条拟插值算子进行误差估计。第4节使用3次B样条拟插值方法求解圣维南方程的数值解,并与4阶龙格库塔法及蛙跳格式进行对比。2 3次B样条拟插值本文的主要内容涉及3次B样条基函数与样条拟插值,故在本节对二者进行简单的介绍。给定参数轴x轴的一个剖分XN=xj=a+j h,0jN,可由光滑余因子协调法1或d eB o o r-C o x公式1递推得到3次B样条基函数Bj,3。Bi,0(x)=1,xxi,xi+1)0,xxi,xi+1)Bj(x)=(x-xj)3(xj+1-xj)(xj+2-xj)(xj+3-xj),xxj,xj+1)(x-xj)2(xj+2-x)(xj+2-xj)(xj+2-xj+1
13、)(xj+3-xj)+(x-xj)(xj+3-x)(x-xj+1)(xj+3-xj)(xj+3-xj+1)(xj+2-xj+1)+(xj+4-x)(x-xj+1)2(xj+2-xj+1)(xj+3-xj+1)(xj+4-xj+1),xxj+1,xj+2)(x-xj)(xj+3-x)2(xj+3-xj)(xj+3-xj+1)(xj+3-xj+2)+(x-xj+1)(xj+3-x)(xj+4-x)(xj+3-xj+2)(xj+3-xj+1)(xj+4-xj+1)+(xj+4-x)2(x-xj+2)2(xj+4-xj+1)(xj+4-xj+2)(xj+3-xj+2),xxj+2,xj+3)(xj+4
14、-x)3(xj+4-xj+1)(xj+4-xj+2)(xj+4-xj+3),xxj+3,xj+4)(1)用B(4),B(3),B(2)分别表示4重、3重及2重节点情形的3次B样条基函数。3次B样条基函数图像(包含重节点)如图1所示。图2为非均匀情形下的B样条基函数,具体的节点为0,1,3,4,7。图3为节点为0,4,6,7,1 0情形下的B样条基函数图像。对于区间I=a,b,给定均匀划分XN=xj=a+j h,0jn,h=b-an。用Sd(Xn)表示d次一元样条空间。Bj的支撑集记为s u p p(Bj)=xj-d-1,xj。在两侧端点处增加重节点x-d=x-d+1=x-d+2=x-1=x0=
15、a,b=xn=xn+1=xn+d。d次一元B样条拟插值的一般形式为:Qdf=n+dj=1jBj(x)f(2)其中,j(f)与x无关,其为函数f在s u p p(Bj)区域中某些节点处离散值fi的线性组合。本文考虑使用3次B样条拟插值求解圣维南方程,设fi=f(xi),i=0,1,2,n,x-3=x-2=x-1=x0 x1x2xn=xn+1=xn+2=xn+3,空间步长h=xi-xi-1,i=1,2,n,可得:定理17 一元3次B样条基函数的拟插值算子为:Qnf=n+3j=1j(f)Bj,3(x)(3)使其在S3(Xn)上精确成立,即对f=1,x,x2,x3成立,可得其中各项系数为:1(f)=f
16、0,2(f)=11 8(7f0+1 8f1-9f2+2f3),j(f)=16(-fj-3+8fj-2-fj-1),j=3,n+1n+2(f)=11 8(2fn-3-9fn-2+1 8fn-1+7fn)n+3(f)=fn 利用3次B样条拟插值的一阶导数近似因变量的空间导数,即Qnf=n+3j=1jB j(x),可得:Qnf(xi)=1h-1 16f0+3f1-32f2+13f3(),i=01h-13f0-12f1+f2-16f3(),i=11h-11 2fi-2-23fi-1+23fi+1-11 2fj+2(),2in-21h13fn+12fn-1-fn-2+16fn-3(),i=n-11h1 16fn-3fn-1+32fn-2-13fn-3(),i=n图1 3次B样条基函数F i g.1 C u b i cB-s p l i n eb a s i s f u n c t i o n s图2 非均匀节点为0,1,3,4,7时的三次B样条基函数F i g.2 C u b i cB-s p l i n eb a s i s f u n c t i o n sw h e nt h en o n