1、数学学习活动要能引发学生的数学思考，让学生在创造性思维的过程中形成清晰的逻辑，并逐步学会运用科学的思维方式发现问题和解决问题。如何让学习的过程从知识与技能的“堆砌”走向思维和能力的“发展”？我们开展了“运用思维可视化发展小学生数学思维的实践研究”，通过大量案例的观察和实践、对比和研究、分析和反思，摸索出能把“看不见、摸不着”的思维变得“看得见、听得着”的几种可视化形式，这些思维可视化的方式在促进学习真正发生方面确有其特有的价值，同时也看到思维可视化方式与其他任何一种教学模式、教学方式一样，不可避免地存在着运用中的困扰，我们也据此提出可视化方式的一些实施建议。一、思维可视化的形式及其独特价值（一
2、）语解数学：语言可视化语解数学是指借助语言（直观、形象、有情境感的语音）表达、反馈数学思维，是学生依靠口头语言来交流思想和传递信息的一种学习方式。在数学学习过程中，学生的思维是由一些互相补充、互相交织的各种类型思维的综合，而言语思维（建立在语言基础上进行的思维）是思维各种类型中很重要的一种。关于思维不可能离开语言的论断，得到了黑格尔、康德、穆勒以及物理学家尼尔斯 鲍尔的支持1。语解数学的实施至少能在以下几个方面促进学习的发生。1.调动学生语言表达前的相关思维活动。不容置辩，当学生试图给某一数学现象起名字、对某一数学概念下定义、就某一数学问题表达观点时，必须先认识他所打算称呼的那个事物、分析他要
3、定义的那个概念、了解他要解决的那个问题。而这个过程，如果不进行思维，不具备一定经验，是不可能实现的。所以说，当学生用语言来表达时，每一个词语的产生之前都有与想认识的数学现象、想解决的数学问题相关联的思维活动大量存在。例如，在摘要：真正的数学学习活动就是要能引发学生的数学思考，让学生在创造性思维的过程中形成清晰的逻辑，并逐步学会运用科学的思维方式发现问题、提出问题和解决问题。思维可视化能把“看不见、摸不着”的思维变得“看得见、听得着”，通过语言可视化、图示可视化和动作可视化的方式搭建起以学生需求为基础、以多元表征为本真的交流平台时，学生就一定能在真正的学习中实现自我生长。思维可视化方式对学生的数
4、学学习有着积极的作用，但在教学应用中又不可避免地存在着可视化的形式与其深层次的数学内涵之间无法对接的困境，因此在实际教学中需要规避不利因素的干扰，基于问题解决合理选择，既要有多元表征，又要注意减少注意分散，以达到思维可视化辅助教学的最佳效果。关键词：思维可视化；语解数学；图解数学；小学生数学思维基金项目：苏州市十三五规划重点课题“运用思维可视化发展小学生数学思维的实践研究”（编号：191007059）。中图分类号：G44文献标志码：A文章编号：1674-2311（2023）01-0071-08作者简介：陈云，女，南京师范大学苏州实验学校中小学高级教师，省特级教师（江苏苏州215100）。教育学
5、术月刊2023年第1期EDUCATION RESEARCH MONTHLY思维可视化：小学生数学思维发展的实践研究陈云71DOI:10.16477/ki.issn1674-2311.2023.01.002教育学术月刊 2023年第1期“圆的认识”之前，老师布置了学生相关的自学和操作活动，课堂上，老师开门见山要求学生谈谈对“圆”的认识，学生脑海中立刻就会浮现出很多的画面，有的同学想到了圆的性状、有的同学想到了圆的物体、有的同学想起自己在“画圆”操作中遇到的困惑等等，这些思维活动我们看不见，但却可以在接下来学生回答的语言中听出他刚刚联想到了什么。也就是爱因斯坦所说的“在用词进行思维之前有联想的活动
6、”2。当我们在课堂上经常要求学生用语言简洁而迅速地表达自己的想法时，学生就必然有更多的表达前思维活动、联想活动的发生和存在，而这些思维活动、联想活动又为语言的即时表达提供了依据，也成为后面进一步学习的重要基点。2.挖掘学生直觉思维可能带来的创造性。根据思维的逻辑性，可以将思维分为逻辑思维、直觉思维3，其中的直觉思维是一种对数学对象、结构以及关系作出直接反映的心智活动，属于某种直接领悟或洞察的思维类别。未经过一步步分析、推理，在面对问题时突然间就能产生洞察、领悟和理解是直觉思维的重要特点，它能够以高度省略、简化、浓缩的方式表达问题实质或给出问题答案。数学直觉思维往往是受到当前既定的问题情境或语言
7、情境的触发，迅速地领悟道理、做出判断或得出结论。很显然，课堂上有效的“问”与“答”的交锋就是这种直觉思维最明显的呈现。例如，在四年级“认识平行线”的教学中，老师请学生画出已知直线a的平行线，有的同学在a的左边画了一条，有的同学在a的右边画了一条，老师把两个作业“搬”到一起，学生瞬间脱口而出：“如果两条直线都与直线a平行，那么这两条直线也应该互相平行”“至少我们可以先有这样的猜想”。那么，像这样没有进行过详尽分析和推理，仅依靠口头语言来交流思想和传递信息的直觉思维有没有价值？显然是有的。直觉思维是一种逻辑的跳跃，会促成学习过程中产生新的突破、新的结论，带有极强的创造性，而且课堂上的直觉思维一定是
8、建立在学生较强的数学直觉和扎实的知识基础之上，是学生认知能力的一种表现，不是凭空想象的胡言乱语，当教师透过学生的语言表达准确捕捉学生瞬间产生的灵感时，就能为学习打开另一扇窗。3.同一学习场域内的成员最容易实现的思维碰撞方式。在学习的过程中，学生与学生之间、学生与老师之间是有着无法割裂的联系的，这种联系必须通过语言呈现出来，依靠它的帮助，师生、生生之间才可以最便捷地交流思想，达成相互的理解没有这种理解，处于集体中的学习是无法设想的。没有语言，共同的意识形态、共同的语言体系都会很难产生，因为个人认识世界、解决问题的经验，只有借助语言才有可能最直接地变为集体的认知、集体的经验。因此，在学习过程中，语
9、言就是一种工具，一种武器，诚如著名教育家乌申斯基所深信的那样，“思维的过程整个地是在词中实现的”4。当一个学生在表达完自己的想法时，有的同学提出质疑，“我不赞成你的观点”“我有不同的想法”；有的同学表示支持“我和他的想法一样”“我还可以进行补充”；等等。这样的交锋正是恩格斯所指出的:“劳动的发展必然促使社会成员更紧密地互相结合起来，因为它使互相帮助和共同协作的场合增多了，并且使每个人都清楚地意识到这种共同协作的好处。一句话，这些正在形成中的人已经到了彼此间有些什么非说不可的地步了”5。（二）图解数学：图示可视化图解数学是指借助图示（图形、表格、图像、思维导图等表征形式）提取、激发数学思维，是学
10、生依靠手绘图形来记录探究过程和思维路径的一种学习方式。加利福尼亚的罗杰斯伯雷通过实验发现，人脑的两边主要管理不同类型的活动，大多数人的左脑处理逻辑、词汇、列单、数字、线性和分析等所谓的“学术”活动，而右脑则负责节奏、相信、色彩、白日梦、空间感、形态和维度6。也就是说，右脑比较擅长处理感性表象。如果学生仅限于处理阅读、文字、逻辑等的学习，可能会导致左右脑开发不平衡，而大脑在工作时是需要左右脑协调进行的，因此，我们可以通过“画图”促进右脑的开发，进而发展感性思维。图解数学至少能从以下几个方面帮助学生实现学习的真正发生。1.保护思维的独创性。大多数心理学著作都把思维的一般品质归纳为深刻性、灵活性、独
11、创性、72批判性和敏捷性7。其中独创性就是指独立思考，学生在学习的过程中创造出有独特价值的、有新颖成分的、有个性特征的学习成果。在这个过程中，不论是关注思维过程，还是关注思维品质，都要具备“创造”的特征。事实上，每一个学生都有独创性，但如果我们一直采用如前文所述的“语解数学”这样即时的反馈形式，一个学生的快速做答会干扰和牵制其他同学思维的发生、发展，不利于群体中绝大多数学生独立思考过程的发生。所以，保护思维的独创性是学习过程中必须引起重视的事情。例如，当老师提出一个复杂的数学问题时，有些同学快速举手，而老师却示意学生先把手放下：“咱们不急着说出自己的结果，你从问题中获得了哪些信息？又是如何一步
12、步得到结果的？请先把你的想法选择合适的方式记录下来，稍后我们会结合你的记录来做交流。”像这样为学生创造必要的情境，先独立思考，对自己获取的信息独立完成输入、加工、储存和输出的完整过程，学生选择喜欢的方式图解思考的路径和结果，正是自我发展和自我调节的重要过程。2.记录思考的痕迹。人的探究思维隐藏在大脑中，但这种隐藏的思维过程很容易稍纵即逝，偶尔得来的思维灵感也会因时间推移而消失。特别是小学阶段的学生，其思维方式还处在“具体、形象”阶段，对于一些初次涉及的概念或者问题，学生的感知是瞬间且比较模糊的，当需要再回头去整理或提取思维过程时，常常迷茫或失去方向。但如果引导学生用直观的图示或者符号记录自己的
13、思考痕迹，被显性化的“思维方法和思维过程”会帮助知识的记忆和理解，保留这样的思维痕迹，能支持学生从最初的情境出发，提炼整个思考过程的关键步骤或关键点，形成学习新知的触发点。例如，在研究“一一间隔”现象时，面对“舞台上有4盆花，可以放几个气球就能形成一一间隔排列现象”这一问题，学生想到可以用简单图形代替花和气球，例如用代替花，用代替气球，画图记录下自己能想到的情况（如图1）。基于每一位“小设计师”的不同设计方案，当学生需要进一步对输入信息进行比较、分类、加工时，就会发现原来的情境已经准确地储存下来，并未消失，接下来的探究就有了重要的视觉基础。图13.促成建构的发生。建构主义学习观认为个人知识并非
14、通过传授而得，而是个体利用学习资源，在与教师、同学等学习伙伴的共同协作下，通过构建的方式获得的8。然而在实际教学中，“伪建构”现象却十分明显，缺乏认知的切入，看不到过程中的论证，更别说对结果的反思了。避免“伪建构”我们需要通过构建可视图符帮助学生建立视觉表象，形成可视化激发点。这些图符作为“看得见”的视觉表象，是一种介于具体形象与抽象符号之间的认知形象，构成了认知心理学所谓的“视觉表象”，扮演“视觉组织者”9的角色，帮助学生对问题情境和信息进行扫描、提取、整合和激发，完成信息的“初步分类”和“线索搜寻”，开启新知建构至关重要的触发阶段。可视化的图符还会提高过程论证的指向性，减少信息重现和再整合
15、的时间，为建构腾出足够的心理资源。被显性化的思维方法和思维过程还可以成为学生理解自己思维过程和反思自己思维路径的抓手，完成对新知从“理解”到“贯通”的过程，也就是实现“思维能在上一步的基础上自然向下延伸”10。（三）动解数学：动作可视化动解数学就是指借助对具体操作物的动手操作（制作、实验、模拟表演等身临其境的活动）建构、再现数学思维，是学生依靠操作外部实物或自身肢体器官来呈现思考过程和展示思考结果的一种学习方式。当我们对某一数学现象或问题有了初步的猜想和假设时，没有充分的动手操作、实验或表演，探究和验证过程可能就非常贫乏，结论的得到会显得苍白无力。在多维学习观的指导下，我们确信通过动作使学习过
16、程外显化的方式更容易调动学生的肢体和感官参与到学习中来，这样的情境可思维可视化：小学生数学思维发展的实践研究73教育学术月刊 2023年第1期视化必定能带给学生全新的心理体验。1.降低可视认知负荷。“图解数学”能促进学生感性思维的发展，但单纯的视觉呈现方式又有可能增加学生的认知负荷，因为图解数学所带来的视觉表征，其认知加工大量发生在视觉通道，而视觉通道的容量一定是有限的，这样势必容易造成视觉通道超载。因此，我们需要借助其他更多的表征形式，呈现“视觉听觉触觉”的多通道形式的表征，利用视觉、听觉、触觉等多个相对独立的信息通道，来实现最大信息量输入的同时降低认知负载。正如美国华盛顿儿童博物馆的格言：“我听见了就忘记了，我看见了就记住了，我做了就理解了。”动起来、做起来就能使学生进一步加深对所学知识的印象，且便于应用。2.改善数学学习态度。大量的课堂实践表明，在数学课上（特别是低年级数学课堂）使用操作物的学生数学学习兴趣和态度都优于那些不使用操作物的学生，即使好处可能是微小的。而且，这些需要实际动手操作、实验的过程所能带来的好处不受学生所在年级、能力以及教学主题的限制，因为操作、表演、视频案例