1、文章编号：1000-5641(2023)02-0012-05强 Gorenstein 弱平坦模宋彦辉,郭婷（兰州信息科技学院,兰州730300）摘要:引入强 Gorenstein 弱平坦模,给出了强 Gorenstein 弱平坦模的一些同调刻画.证明了 Gorenstein 弱平坦模是强 Gorenstein 弱平坦模的直和项.关键词:超有限表现模;弱平坦模;强 Gorenstein 弱平坦模;直和项中图分类号:O154.2文献标志码:ADOI:10.3969/j.issn.1000-5641.2023.02.003Strongly Gorenstein weak flat modulesSO
2、NG Yanhui,GUO Ting（Lanzhou College of Information Science and Technology,Lanzhou730300,China）Abstract:In this paper,we introduce the notion of strongly Gorenstein weak flat modules,and wesubsequently provide homological characterizations of strongly Gorenstein weak flat modules.It is shownthat a Gor
3、enstein weak flat module is a summand of a strongly Gorenstein weak flat module.Keywords:super finitely presented module;weak flat module;strongly Gorenstein weak flatmodule;summand 0 引言RRM自 20 世纪 60 年代以来,Gorenstein 同调代数受到学者们的广泛关注.文献 1 介绍了当 是双边Noether 环时,有限生成 -模 的 Gorenstein 维数,即 G-dimRM.Enochs 等2推广
4、了经典的平坦模,引入 Gorenstein 平坦模.近十年来,众多学者对 Gorenstein 平坦模进行了深入广泛的研究和推广3-8.其中,文献 6 引入了强 Gorenstein 平坦模,给出了该模的许多性质,证明了 Gorenstein 平坦模是某个强 Gorenstein 平坦模的直和项.文献 9对平坦模进行了推广,引入弱平坦模,并探讨了相关性质.文献 10 推广了弱平坦模的概念,引入并研究了 Gorenstein 弱平坦模,给出了相关的性质和等价刻画.受以上工作的启发,本文引入了强 Gorenstein 弱平坦模,给出了其等价刻画,并证明了 Gorenstein弱平坦模是某个强 Go
5、renstein 弱平坦模的直和项.1 预备知识R本文中的环 均指有单位元的结合环,所有模均是酉模.未解释的标记、事实和概念见参考文献 3,11-12.下面回顾一些基本概念.令 f:MN 是左 R-模同态,f 的核、余核和象分别记为 Kerf、Cokerf、Imf.收稿日期:2021-04-02基金项目:甘肃省高校教师创新基金项目(2023B-387)第一作者:宋彦辉,男,讲师,研究方向为同调代数.E-mail: 第 2 期华东师范大学学报(自然科学版)No.22023 年 3 月Journal of East China Normal University(Natural Science)M
6、ar.2023 P1 P0 L 0PiL定义 113设 L 是左 R-模.若存在一个左 R-模的正合列 ,其中所有的 都是有限生成投射模,则称 是超有限表现模.显然超有限表现模是有限表现的.FLTorR1(F,L)=0F定义 29设 是右 R-模.若对任意超有限表现左 R-模 ,都有 ,则称 是弱平坦模.显然平坦模是弱平坦的.M定义 310设 是右 R-模.若存在一个右 R-模的正合列F=F1 F0 F0 F1 ,FiM?=Coker(F0 F0)LF RLM其中 Fi,为弱平坦模,使得 ,并且对任意投射维数有限的超有限表现左 R-模 ,是正合的,则称 是 Gorenstein 弱平坦模.显然
7、每个(弱)平坦模是 Gorenstein 弱平坦模.2 强 Gorenstein 弱平坦模本章引入强 Gorenstein 弱平坦模的概念,并给出它的一些同调性质.定义 4设 M 是右 R-模,如果存在弱平坦右 R-模的正合列F=f Ff Ff Ff ,M?=KerfL RLFM使得 ,且对任意投射维数有限的超有限表现左 R-模 ,函子 保持序列 正合,则称 是强 Gorenstein 弱平坦模.F显然,平坦模是强 Gorenstein 弱平坦模,每个强 Gorenstein 弱平坦模是 Gorenstein 弱平坦模.由对称性可知,定义 4 中 的所有核、余核及象都是强 Gorenstein
8、 弱平坦模.命题 1强 Gorenstein 弱平坦右 R-模的类对直和与直积封闭.MiiIi I证明设 是一族强 Gorenstein 弱平坦右 R-模.则对任意 ,存在弱平坦右 R-模的正合列Fi=fi Fifi Fifi Fifi ,Mi?=KerfiLFiRL使得 ,且对任意投射维数有限的超有限表现左 R-模 ,是正合的.于是有正合列iIFi=iIFiiIfi iIFiiIfi iIFi ,iIMi?=Ker(iIfi)iIFiL(iIFi)RL?=iI(FiRL)且 ,其中 是弱平坦右 R-模9.对任意投射维数有限的超有限表现左 R-模 ,由于 ,考虑以下交换图:iIMi因为上图中第
9、二行序列是正合的,所以第一行序列也正合,故 是强 Gorenstein 弱平坦模,即强 Gorenstein 弱平坦模的类对直和封闭.iIFiL(iIFi)RL?=iI(FiRL).由文献 9 可知,弱平坦模的类对直积封闭,从而 中的元素是弱平坦右 R-模.注意到 是投射维数有限的超有限表现左 R-模,再由文献 14 可知,考虑以下第 2 期宋彦辉,等:强 Gorenstein 弱平坦模13交换图:iIMi因为第二行序列是正合的,所以第一行序列也正合,故 是强Gorenstein 弱平坦模,即强Gorenstein弱平坦模的类对直积封闭.下面给出强 Gorenstein 弱平坦模的等价刻画.M
10、定理 1设 是右 R-模.则以下断言等价:(1)M 是强 Gorenstein 弱平坦模;0 M F M 0FLTorR1(M,L)=0(2)存在右 R-模的正合列 ,其中 是弱平坦模,且对任意投射维数有限的超有限表现左 R-模 ,有 ;0 M F M 0FL0 M RL F RL M RL 0(3)存在右 R-模的正合列 ,其中 是弱平坦模,且对任意投射维数有限的超有限表现左 R-模 ,序列 是正合的.(1)(2)(2)(3)证明“”由定义 4 可得.“”显然成立.(3)(1)0 M F M 0F“”.由条件知,存在右 R-模的正合列 ,其中 是弱平坦模,于是存在以下交换图:0 00 0M
11、M/F/F/F/F/.MM M#0=000L0 M RL F RL M RL 0设 是投射维数有限的超有限表现左 R-模,则有正合列 .考虑以下交换图:0%00%0M RL9%M RL%9/F RL9/F RL%/F RL9/F RL%/.M RL9M RL9%M RL#00900 F RL F RL F RL M所以序列 是正合的,即 是强 Gorenstein 弱平坦模.MLn 1TorRn(M,L)=0推论 1设 是强 Gorenstein 弱平坦右 R-模.则对任意投射维数有限的超有限表现左 R-模 及任意的 ,.14华东师范大学学报(自然科学版)2023 年命题 2弱平坦模是强 Go
12、renstein 弱平坦的.F证明设 是弱平坦右 R-模.考虑正合列F=f F Ff F Ff F Ff ,f:(x,y)|(0,x),0 F=Kerf=Imf?=FL RLF则有 .设 是投射维数有限的超有限表现左 R-模,将函子 作用于 上,得到以下交换图:F因为上图中第二行序列是正合的,所以第一行序列也正合.故 是强 Gorenstein 弱平坦右 R-模.MMn设 是左 R-模.由文献 12 可知,如果 有长度为 的投射分解,即存在正合列0 Pn P0 M 0,PiMnpdRM n其中所有的 都是投射模,则称 的投射维数小于等于 .此时记作 .下面减弱定义 4 中强 Gorenstei
13、n 弱平坦模的条件.MM命题 3设 是右 R-模,则 是强 Gorenstein 弱平坦模当且仅当存在弱平坦右 R-模的正合列F=f Ff Ff Ff ,M?=Kerf使得 .()证明 由定义 4,显然成立.()LF RLpdRL=n +nn=0n 1n 1L0 K P L 0PKpdRK n 1 +F 由定义 4 可知,只需证对任意投射维数有限的超有限表现左 R-模 ,是正合的.不妨设 ,对 运用数学归纳法来证明.当 时,结论显然成立.令 ,假设结论对 成立.因为 是超有限表现模,所以存在左 R-模的正合列 ,其中 是有限生成投射模,是超有限表现模,从而 .由于 中元素都是弱平坦模,从而有复
14、形的正合列0 F RK F RP F RL 0,F RPF RKF RL其中 正合.由归纳假设知,是正合的.因此 正合.通过命题 3,可以减弱定理 1 中强 Gorenstein 弱平坦模的等价条件,得到以下结论.M命题 4设 是右 R-模.则以下等价:M(1)是强 Gorenstein 弱平坦模;F=f Ff Ff Ff M?=Kerf(2)存在弱平坦右 R-模的正合列 使得 ;0 M F M 0F(3)存在右 R-模的正合列 ,其中 是弱平坦模.以下通过强 Gorenstein 弱平坦模给出 Gorenstein 弱平坦模的新性质.MMM定理 2设 是右 R-模.若 是 Gorenstei
15、n 弱平坦模,则 是某个强 Gorenstein 弱平坦模的直和项.M证明因为 是 Gorenstein 弱平坦模,所以存在弱平坦右 R-模的正合列F=F1d1 F0d0 F1d1 F2d2 ,第 2 期宋彦辉,等:强 Gorenstein 弱平坦模15M?=Im d0L RLFi ZmF(mF)i=Fim,dmFi=dim使得 ,且对任意投射维数有限的超有限表现左 R-模 ,保持序列 正合.对任意,表示一个右 R-模的正合列,其中 .考虑正合列W=(mF):=W=Fidi W=Fidi W=Fidi .Im(di)?=Im diMIm(di)FiIm(di)M因为 ,所以 是 的直和项.由文
16、献 9 可知,是弱平坦右 R-模,再由命题 3 可得 是强 Gorenstein 弱平坦模,因此 是强 Gorenstein 弱平坦模的直和项.参考文献 AUSLANDER M,BRIDGER M.Stable Module Theory M.Rhode Island:American Mathematical Society,1969.1 ENOCHS E E,JENDA O M G,TORRECILLAS B.Gorenstein 平坦模 J.南京大学学报数学半年刊,1993,10(1):1-9.2 HOLM H.Gorenstein homological dimensions J.Journal of Pure and Applied Algebra,2004,189:167-193.3 BENNIS D.Rings over which the class of Gorenstein flat modules is closed under extensions J.Communications in Algebra,2009,37(3):855-868.4 DING N Q