1、第 卷第期 年月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t yo fA r t sa n dS c i e n c e(N a t u r a lS c i e n c e s)V o l N o J u l 收稿日期:基金项目:贵州省科学技术基金项目();贵州省教育厅自然科学基金项目(Q J J )作者简介:刘艳(),女,贵州纳雍人,在读硕士,研究方向为矩阵理论及其应用 E m a i l:q q c o m通信作者:王峰(),男,山东临沂人,教授,博士,硕士生导师,研究方向为数值代数 E m a i l:w
2、a n g f e n gg z m u e d u c n 文章编号:()AB的无穷范数的上界估计刘艳,敖地珍,刘兰兰,王峰(贵州民族大学 数据科学与信息工程学院,贵州 贵阳 )摘要:S D S D D 矩阵是H 矩阵的一个子类,其逆的无穷范数在计算数学中有着重要的应用价值当A是S D S D D 矩阵且B是一般矩阵时,得到了AB的上界估计式特别地,当B为单位矩阵时,给出了S D S D D 矩阵逆的无穷范数的上界和最小奇异值的下界,且新估计式只利用矩阵A的元素表示数值算例表明了新估计式的有效性关键词:S D S D D 矩阵;H 矩阵;无穷范数;上界;下界;奇异值中图分类号:O 文献标志码
3、:AE s t i m a t i o no fU p p e rB o u n df o r I n f i n i t yN o r mo fABL I UY a n,A OD i z h e n,L I UL a n l a n,WANGF e n g(C o l l e g eo fD a t aS c i e n c ea n dI n f o r m a t i o nE n g i n e e r i n g,G u i z h o uM i n z uU n i v e r s i t y,G u i y a n g ,C h i n a)A b s t r a c t:S D
4、 S D D m a t r i c e sa r eas u b c l a s so fH m a t r i c e sw h o s e i n v e r s e i n f i n i t en o r mh a s i m p o r t a n t a p p l i c a t i o n s i nc o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s Wh e nAi saS D S D D m a t r i xa n dBi sag e n e r a lm a t r i x,t h eu p p e rb o u n de s
5、 t i m a t o r f o rABi so b t a i n e d I np a r t i c u l a r,w h e nBi sa nu n i tm a t r i x,w ep r e s e n t a nu p p e rb o u n df o r t h e i n f i n i t en o r mo f i n v e r s eo fS D S D D m a t r i c e sa n da l o w e rb o u n df o r t h em i n i m u ms i n g u l a rv a l u eo fS D S D D
6、m a t r i c e s,a n dt h e s en e we s t i m a t i o n sa r eo n l yb a s e do n t h e e l e m e n t s o f t h em a t r i x N u m e r i c a l e x a m p l e s s h o wt h ev a l i d i t yo f t h en e we s t i m a t o r s K e yw o r d s:S D S D D m a t r i c e s;H m a t r i c e s;i n f i n i t en o r m
7、 s;u p p e rb o u n d;l o w e rb o u n d;s i n g u l a rv a l u e0引言A B和最小奇异值n(A)在研究大型稀疏线性方程组迭代解的收敛性分析、误差分析和扰动分析中有着重要的应用近年来,特殊结构矩阵逆的无穷范数上界的估计得到了广泛的关注和研究,取得了很多好的结果 本文继续研究A B的上界,且当B为单位矩阵时,给出S D S D D 矩阵A的A 上界估计式和n(A)的下界估计式1基础知识为叙述方便,给出以下记号用Cnn表示nn阶复矩阵的集合,N,n 非空子集SN,SNS设A(ai j)Cnn,n,且ai i,i,kn,且ri(A)ki
8、ai k,riS(A)kS,iai k,RiS(A)kSirkS(A)|ak k|ai k|,Ri(A),|A|(|ai j|),AB为ai jbi j(i,jN)定义设A(ai j)Cnn,若|ai i|ri(A)(iN),则称A为严格对角占优矩阵,简称A是S D D 矩阵定义设A(ai j)Cnn,如果对任意的j,iN,ij,都有ai j,则称A为Z矩阵,记AZn设AZn,则A可表示为As IB,其中B当s(B)时,称A为M矩阵定义设A(ai j)Cnn,若其比较矩阵(A)(i j)为M矩阵,则称A为H矩阵,其中:i jai j,ij;|ai j|,ij定义设A(ai j)Cnn(n),且
9、ai i若存在非空子集SN,使得riS(A)RiS(A),iS,()riS(A)RiS(A)()rSj(A)RjS(A)()RSi(A)RSj(A),iS,jS,()则称A为S D S D D 矩阵注:由 文 献 知S D DS D S D D,S D S D D S D D,S D S D D S D D 引理设A(ai j)Cnn,若A为S D S D D 矩阵,则A是H矩阵引理设A(ai j)Cnn,若A是H矩阵,则|A|(A)引理 A(ai j)Cnn是S D D矩阵,则A m i niN|ai i|ri(A)m a xiN|ai i|ri(A)()2主要结果定理设A(ai j)Cnn
10、为S D S D D矩阵,且B(bi j)Cnm,则A B m a xiNxi m a x,()其中:xirSi(A)ai i(iS),xirSi(A)ai i(iS),m a xiSjS(rSj(A)RSj(A)mkbi kRSi(A)mkbj k/rSi(A)RSi(A)()rSj(A)RSj(A)()RSi(A)RSj(A),m a xiSjSRSj(A)mkbi k(rSi(A)RSi(A)mkbj k/rSi(A)RSi(A)()rSj(A)RSj(A)()RSi(A)RSj(A)证明因为A是S D S D D矩阵,则由式()和式()知riS(A)(iS)且rjS(A)(jS)构造正
11、对角矩阵Xd i a gx,x,xn(),其中:xirSi(A)ai i(iS),xirSi(A)ai i(iS)由引理和引理知A是H矩阵且|A|(A)令g|A B|e(g,g,gn)T,y(A)|B|e(y,y,yn)T,且e(,)T是m维列向量,则y(A)|B|e|A B|e|A B|eg因此,yX X(A)|B|e,即(A)X X y|B|e令X yz(z,z,zn)T,zpm a xiSzi,zqm a xjSzj,则|ai i|xizikN,i|ai k|xkzkmkbi k(iN)于是,mkbp k|ap p|rSp(A)ap pzpkS,p|ap k|rSk(A)ak kzkkS
12、|ap k|rSk(A)ak kzkrSp(A)zpkS,p|ap k|rSk(A)ak kzkkS|ap k|rSk(A)ak kzkrSp(A)zpkS,p|ap k|rSk(A)ak kzpkS|ap k|rSk(A)ak kzq,()兰州文理学院学报(自然科学版)第 卷且mkbq k|aq q|rSq(A)aq qzqkS|aq k|rSk(A)ak kzkkS,q|aq k|rSk(A)ak kzkrSq(A)zqkS|aq k|rSk(A)ak kzkkS,q|aq k|rSk(A)ak kzkrSq(A)zqkS|aq k|rSk(A)ak kzpkS,q|aq k|rSk(A)
13、ak kzq()下面分两种情况讨论情况当|zp|zq|时,由式()rSq(A)kS,q|aq k|rSk(A)ak k式()kS|ap k|rSk(A)ak k得,mkbp krSq(A)kS,q|aq k|rSk(A)ak kmkbq kkS|ap k|rSk(A)ak k(rSp(A)zpkS,p|ap k|rSk(A)ak kzpkS|ap k|rSk(A)ak kzq)rSq(A)kS,q|aq k|rSk(A)ak k(rSq(A)zqkS|aq k|rSk(A)ak kzpkS,q|aq k|rSk(A)ak kzq)kS|ap k|rSk(A)ak kzprSp(A)kS,p|a
14、p k|rSk(A)ak krSq(A)kS,q|aq k|rSk(A)ak kkS|ap k|rSk(A)ak kkS|aq k|rSk(A)ak k从而,zpmkbp k(rSq(A)kS,q|aq k|rSk(A)ak k)mkbq kkS|ap k|rSk(A)ak k/rSp(A)kS,p|ap k|rSk(A)ak krSq(A)kS,q|aq k|rSk(A)ak kkS|ap k|rSk(A)ak kkS|aq k|rSk(A)ak km a xiSjSmkbi k(rSj(A)kSkj|aj k|rSk(A)ak k)mkbj kkS|ai k|rSk(A)ak k/rSi(
15、A)kS,i|ai k|rSk(A)ak krSj(A)kS,j|aj k|rSk(A)ak kkS|ai k|rSk(A)ak kkS|aj k|rSk(A)ak km a xiSjSmkbi krSj(A)RSj(A)()RSi(A)mkbj k/rSi(A)RSi(A)()rSj(A)RSj(A)()RSi(A)RSj(A)又因为A B(A)Bm a xiNyim a xiNxizim a xiNxim a xiNzizpm a xiNxi,所以A B m a xiNxi m a xiSjSrSj(A)RSj(A)()mkbi kRSi(A)mkbj k/rSi(A)RSi(A)()rS
16、j(A)RSj(A)()第期刘艳等:AB的无穷范数的上界估计RSi(A)RSj(A)()情况当|zq|zp|时,由式()kS|aq k|rSk(A)ak k式()rSp(A)kS,p|ap k|rSk(A)ak k得,mkbp k()kS|aq k|rSk(A)ak kmkbq k()rSp(A)kS,p|ap k|rSk(A)ak k(rSp(A)zpkS,p|ap k|rSk(A)ak kzpkS|ap k|rSk(A)ak kzq)kS|aq k|rSk(A)ak k(rSq(A)zqkS|aq k|rSk(A)ak kzpkS,q|aq k|rSk(A)ak kzq)rSp(A)kS,p|ap k|rSk(A)ak kzqrSp(A)kS,p|ap k|rSk(A)ak krSq(A)kS,q|aq k|rSk(A)ak kkS|ap k|rSk(A)ak kkS|aq k|rSk(A)ak k于是,zqmkbp k()kS|aq k|rSk(A)ak kmkbq k()rSp(A)kS,p|ap k|rSk(A)ak k/rSp(A)kSkp|ap k|rSk(A)ak kr