1、文章编号：1000-5641(2023)04-0043-09Cartan-Egg 域与复欧氏空间的不相关性程晓亮1,王博1,郝毅红2（1.吉林师范大学 数学与计算机学院,吉林 四平136000;2.西北大学 数学学院,西安710127）摘要:多复变中某些特定度量下的域与复欧氏空间的相关性一直是近年来研究的热点问题.如果两个Khler 流形具有公共的 Khler 子流形,则称它们是相关的,否则称为不相关的.Cartan-Egg 域是一类非常好的有界非齐性域,其 Bergman 核函数的显表达式可以通过膨胀原理构造得到,研究具有 Bergman 度量的 Cartan-Egg 域与具有平坦度量的复欧
2、氏空间的相关性是有意义的.如果一个域的 Bergman 核函数是Nash 函数,容易分析在其诱导的 Bergman 度量下与复欧氏空间的相关性,而 Cartan-Egg 域的 Bergman 核函数不是 Nash 函数.通过分析 Cartan-Egg 域的 Bergman 核函数的偏导函数的代数性质,得到具有Bergman 度量的 Cartan-Egg 域与具有平坦度量的复欧氏空间是不相关的.关键词:Cartan-Egg 域;等距嵌入;Nash 函数;Bergman 度量中图分类号:O174.56文献标志码:ADOI:10.3969/j.issn.1000-5641.2023.04.005No
3、n-relativity of Cartan-Egg domains and complex Euclidean spacesCHENG Xiaoliang1,WANG Bo1,HAO Yihong2（1.College of Mathematics and Computer,Jilin Normal University,Siping,Jilin136000,China;2.School of Mathematics,Northwest University,Xian710127,China）Abstract:In recent years,the relativity between do
4、mains with specific metrics and complex Euclideanspaces has been a topic of interest in the study of complex variables.Two Khler manifolds are calledrelatives if they admit a common Khler submanifold with their induced metrics.A Cartan-Egg domain is atype of bounded non-homogeneous domain.Its Bergma
5、n kernel function can be constructed as an explicitexpression using the expansion principle.In this paper,the relativity between a Cartan-Egg domain withBergman metrics and a complex Euclidean space with canonical metrics is explored.In relation research ofcomplex Euclidean spaces,the working premis
6、e is that a Bergman kernel function is a Nash function.However,the Bergman kernel function of Cartan-Egg domains are not necessarily Nash functions.Therefore,existing methods cannot be used directly.By analyzing the algebraic properties of a Bergmankernel functions partial derivative function of a C
7、artan-Egg domain,we show that a Cartan-Egg domainwith Bergman metrics is not related to a complex Euclidean space with canonical metrics.Keywords:Cartan-Egg domains;isometric embedding;Nash function;Bergman metrics 0 引言近年来,从 Khler 流形到复空间形式的全纯等距嵌入问题引起了许多数学家的关注.文献 1 给 收稿日期:2021-08-12基金项目:国家自然科学基金(1202
8、6420);吉林省教育厅“十三五”科学技术项目(JJKH20200405KJ);吉林省科技发展计划项目(YDZJ202201ZYTS627)第一作者:程晓亮,男,教授,博士生导师,研究方向为复分析与数学教育.E-mail: 第 4 期华东师范大学学报(自然科学版)No.42023 年 7 月Journal of East China Normal University(Natural Science)Jul.2023出了不同类型的 Hermite 对称空间具有不可嵌入的结果.与全纯等距嵌入的存在性密切相关的研究课题是 Khler 流形的公共 Khler 子流形的存在性问题.文献 2 将两个复流
9、形在各自的诱导度量下具有公共的 Khler 子流形的情形称为相关的,否则称为不相关的,并证明了具有 Bergman 度量的有界域与具有 Fubini-Study 度量的射影流形是不相关的.Mossa3证明了具有 Khler 度量的有界齐性域与具有 Fubini-Study 度量的射影流形是不相关的.文献 4 通过不同的方法证明了非紧型的 Hermite对称空间与具有平坦度量的复欧氏空间是不相关的.Loi 等5证明了具有 Khler 度量的有界齐性域与任何射影 Khler 流形都是不相关的.随后,Cheng 等6给出了有限维 Fubini-Study 空间与不同曲率空间相关的充要条件,这是 Um
10、ehara 结论的非平凡推广.Cheng 等7证明了具有 Bergman 度量的 Cartan-Hartogs 域与具有平坦度量的复欧氏空间是不相关的.Su 等8证明了具有正则度量的对称多圆盘与具有平坦度量的复欧氏空间是不相关的.Cheng 等9给出了实解析 Khler 流形与具有标准度量的复空间形式不具有相关性的充分条件.作为直接应用,可以得出具有 Bergman 度量的最小球、有界齐性域与复欧氏空间均为不相关的.本文主要研究具有 Bergman 度量的 Cartan-Egg 域与具有平坦度量的复欧氏空间的相关性.Cartan-Egg 域是一类非常好的有界非齐性域,其 Bergman 核函数
11、具有显表达式.如果一个域的Bergman 核函数是 Nash 函数,容易分析在其诱导的 Bergman 度量下与复欧氏空间的相关性,而Cartan-Egg 域的 Bergman 核函数不是 Nash 函数,故已有方法不能直接使用.在定理 1 的证明过程中,通过分析 Cartan-Egg 域的 Bergman 核函数的偏导函数的性质克服了这一困难.1 Nash 函数和相关性h1:S M1h2:S M2M1M2SM1M2M1M2定定义义 12如果存在两个 Khler 嵌入 ,使得 Khler 流形 和 具有公共的 Khler 子流形 ,则称 和 是相关的.否则称 和 是不相关的.DnCnfDx0
12、Dx0UP:Cn C CP=0 x UP(x,f(x)=0定定义义 24设 是 维复欧氏空间 上的连通开集,是 上的全纯函数,对于任意的 ,存在 的开邻域 和多项式函数 ,其中 .使得对于任意的 有 ,其中P(x,t)=0(x)ts+1(x)ts1+s(x),s0,1,sCn0=0fx0 为自然数,是 上的多项式且 .则称 是在 处的 Nash 函数.D引引理理 14在 的开子集上,全纯多项式和全纯有理函数都是 Nash 函数.DN(D)f,g N(D)引引理理 24 上的 Nash 函数族记作 ,设 .则有以下性质:f g,fg,fg N(D)1 i nfzi N(D)(1),且对于 都有
13、;(z0k+1,z0k+2,z0n)f(z1,z2,zk,z0k+1,z0k+2,z0n)z1,z2,zk(2)固定 ,则 是 的 Nash 函数.VC=(1,2,)V.H1(1,2,),H2(1,2,),HS(1,2,),H(1,2,)VS1,2,S引引理理 34设 是 上的连通开集,是 上的全纯 Nash 函数,其中 和 是正整数.如果对于某些实数 有exp(H(1,2,)=Si=1(Hi(1,2,)i,V,H(1,2,)V那么 是 上的常值函数.2 Cartan-Egg 域的 Bergman 核函数n 维复欧氏空间中的有界域都存在唯一的 Bergman 核函数,但是可以显式求出 Berg
14、man 核函数44华东师范大学学报(自然科学版)2023 年的域只有有界齐性域和蛋型域.殷慰萍10引进如下 Cartan-Hartogs 域:M()=(Z,W)CN?|W|2 N(Z,Z).NN(Z,W)上式中:是正整数;是正实数;是 4 类典型域;表示典型域上的一般模.4 类 Cartan-Hartogs 域的 Bergman 核函数都具有显表达式11.在此基础上,殷慰萍10将上述 Cartan-Hartogs 域推广为 Cartan-Egg 域:M()=(Z,W1,W2)CN CM?|W1|2+|W2|2 N(Z,Z).M,NE,E,E,E上式中:是正整数;是正实数;是 4 类典型域.用
15、分别表示第 1 类,第 2 类,第 3 类,第 4 类 Cartan-Egg 域:E(M,N,m,n;):=W1 CM,W2 CN,Z R(m,n)?|W1|2+|W2|2 0,E(M,N,p;):=W1 CM,W2 CN,Z R(p)?|W1|2+|W2|2 0,E(M,N,q;):=W1 CM,W2 CN,Z R(q)?|W1|2+|W2|2 0,E(M,N,n;):=W1 CM,W2 CN,Z R(n)?|W1|2+|W2|2 0.m,n,p,qZm np pq q1 nZZZTZR,R,R,RM=N=1W1W2M,N上式中:是正整数;是正实数;分别表示 矩阵,对称方阵,斜对称方阵和 矩
16、阵;表示 的共轭;表示 的转置;分别表示第 1 类典型域,第 2 类典型域,第 3 类典型域,第 4 类典型域.要算出上述 Cartan-Egg 域的 Bergman 核函数,只需算出当 时相应 Cartan-Egg 域的 Bergman 核函数.再对 和 连续两次应用膨胀原理就可以得到 为一般情况时的 Bergman 核函数.下面给出 4 类 Cartan-Egg 域的 Bergman 核函数的显表达式11.第 1 类 Cartan-Egg 域的 Bergman 核函数:KM()=KE(w,Z,w,Z)=(mn+M+N)M+N2XM11XN12F(X1,X2)det(I ZZT)(m+n+M+N).F(X1,X2)=mn+M+Nr=0brr+M+Nk=0dk(r)(k+1)(1 X1)N X2)(k+M)(1 X1)(r+M+Nk)0 r mn+M+N0 k r+M+N上式中:;.第 2 类 Cartan-Egg 域的 Bergman 核函数:KM()=KEII(w,Z,w,Z)=2pp2(n+M+N)M+N2XM11XN12F(X1,X2)(det(I ZZT)(p+1+M+N).