1、第 卷 第 期吉林师范大学学报(自然科学版).年 月 ().收稿日期:基金项目:国家自然科学基金项目()吉林省自然科学基金项目()第一作者简介:刘伟佳()女吉林省四平市人讲师博士.研究方向:非线性振动.:./.振子预估校正谐波平衡法求解刘伟佳张与同(吉林师范大学 数学与计算机学院吉林 四平)摘 要:利用预估校正谐波平衡方法求解 振子建立了系统的解析近似周期与周期解.所得近似解与由数值方法计算得到的精确解比具有高精度.结果表明预估校正谐波平衡方法在求解强非线性系统时是一种行之有效的方法.关键词:振子预估校正谐波平衡法近似解中图分类号:文献标志码:文章编号:()引言自然界和工程技术中的动力学现象本
2、质上都是非线性的为了方便解释各种非线性现象的物理本质和解决工程中的非线性振动问题非线性振动分析与计算方法的研究就显得尤为重要.考虑恢复力以有理形式表示的 振子 ()().()近年来多位学者用不同的方法对该振子进行了研究如:谐波平衡法、平均法、迭代法、同伦分析法等.谐波平衡法的突出特点是不要求所求解的非线性振动问题的非线性项是小量但难以构造更高精度的近似解.根据上述问题.等基于预估校正的思想结合牛顿法对谐波平衡法进行改进.本文用预估校正谐波平衡法求解了方程()仅应用一次预估校正迭代便可得到显式的、简洁的、高精度近似周期与周期解表明该方法求解强非线性振子的有效性.预估校正谐波平衡法将式()变形并引
3、进新的变量 得 ()()().()其中 符号圆点表示对 的微分.选择这个新的独立变量可使方程()的解为一个关于 的周期为 的周期函数非线性振动的相应的频率为 周期解 ()和频率 都取决于振幅.周期解()可由 级数表示为()()根据单项谐波平衡法首先设()()第 期 刘伟佳等:振子预估校正谐波平衡法求解这个近似满足方程()中的初始条件.将式()代入到方程()所得结果展成 级数再令 的系数设为零即可解出 作为 的函数.由此可得初始解析近似周期及相应的周期解/()()()其中 ().接下来对方程()进行线性化周期解和频率的平方可表示成 ()将式()代入方程()中忽略关于 和 的二阶及以上次项可得到(
4、)()()()().()此处 是关于变量 的周期为 的周期函数和 都为未知量.方程()的解析逼近解可以通过将()设成下述形式导出()()再利用谐波平衡法解得 和 ()()().因此预估的解析近似周期和相应的周期解为/()()()()()()其中 ().基于上述预估解方程组()的周期解和频率可以进一步表示成 .()将式()代入方程()然后仍然在 和 处关于校正项 和 做线性化得()()()()().()方程()的解析解可以通过将()设成下述形式()()()再利用谐波平衡法解出 和 作为 的函数具体如下:()()()()()().其中 ()()().最后校正的解析近似周期和周期解的表达式为/()(
5、)()()()吉林师范大学学报(自然科学版)第 卷其中/.数值结果及讨论上述非线性系统的精确频率和周期分别为()/()()().()表 中列出了由式()、式()和式()表示的近似周期、和式()表示的精确周期 的比值.从该表可看出这些表达式给出的近似频率的精度很高.对于 .和 .通过数值积分方程()得到的(数值)精确周期解 ()和分别由式()、式()和式()得到的近似周期 ()、()和()以及其与精确周期解的绝对误差见图.这些图形指出校正后的解析近似解具有很高的逼近精度.表 振子解析逼近周期和精确周期对比./.图 时近似解和数值解对比()及近似解和数值解绝对误差对比().()()图 时近似周期解和数值解对比()及近似周期解和数值解绝对误差对比().()()第 期 刘伟佳等:振子预估校正谐波平衡法求解 结论本文利用预估校正谐波平衡方法研究了 振子建立的解析逼近周期解不仅适用于小振幅同样也适用于大振幅特别也包括了振幅趋于无穷的情形.本文给出的解析逼近周期和周期解精度高形式简洁方便用于工程问题的求解.参 考 文 献 .:.:.:.():.:.:.:.:.:.冯少东陈立群.简谐振子同伦分析法求解.应用数学和力学():.:.():.:(责任编辑:孙爱慧)